させて私 {\displaystyle I} 実数直線 の区間を 次の形式で表す[ 1 、 ∞ ） {\displaystyle [a,\infty )} [ 1 、 b ] {\displaystyle [a,b]} [ 1 、 b ） {\displaystyle [a,b)} 1 < b {\displaystyle a<b} β {\displaystyle \beta } u {\displaystyle u} 連続関数である。 私 {\displaystyle I} u {\displaystyle u} 内部 で微分可能 である私 ∘ \displaystyle I^{\circ }} 私 {\displaystyle I} 私 {\displaystyle I} 1 {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
u ′ （ t ） ≤ β （ t ） u （ t ） 、 t ∈ 私 ∘ 、 {\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },} それからu {\displaystyle u} 対応する微分方程式 の解によって制限されるv ′ （ t ） = β （ t ） v （ t ） {\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t)}
u （ t ） ≤ u （ 1 ） exp （ ∫ 1 t β （ s ） d s ） \displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}} すべての人々のためにt ∈ 私 t ∈ I
注記： 関数の符号については仮定していませんβ {\displaystyle \beta } u {\displaystyle u}
証拠 関数を定義する
v （ t ） = exp （ ∫ 1 t β （ s ） d s ） 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.} ご了承くださいv {\displaystyle v}
v ′ （ t ） = β （ t ） v （ t ） 、 t ∈ 私 ∘ 、 {\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),\qquad t\in I^{\circ },} とv （ 1 ） = 1 {\displaystyle v(a)=1} v （ t ） > 0 {\displaystyle v(t)>0} t ∈ 私 t ∈ I 商の法則 により
d d t u （ t ） v （ t ） = u ′ （ t ） v （ t ） − v ′ （ t ） u （ t ） v 2 （ t ） = u ′ （ t ） v （ t ） − β （ t ） v （ t ） u （ t ） v 2 （ t ） ≤ 0 、 t ∈ 私 ∘ 、 \displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {u(t)}{v(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-\beta (t)\,v(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}\leq 0,\qquad t\in I^{\circ },} したがって、関数の導関数はu （ t ） / v （ t ） {\displaystyle u(t)/v(t)} 1 {\displaystyle a} 私 {\displaystyle I}
u （ t ） v （ t ） ≤ u （ 1 ） v （ 1 ） = u （ 1 ） 、 t ∈ 私 、 {\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I,} これはグロンウォールの不等式である。
I を 実数直線の [ a , ∞) または[ a , b ] [ a , b ) ( a < b 区間 とする。α 、 β u を I u α I と
(a) β uが u （ t ） ≤ α （ t ） + ∫ 1 t β （ s ） u （ s ） d s 、 ∀ t ∈ 私 、 {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I,} それから u （ t ） ≤ α （ t ） + ∫ 1 t α （ s ） β （ s ） exp （ ∫ s t β （ r ） d r ） d s 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I.} u （ t ） ≤ α （ t ） exp （ ∫ 1 t β （ s ） d s ） 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.} 備考：
関数α u 微分形式と比較して、積分形式ではuの微分可能性は必要ない。 β u
証拠 (a) 定義する
v （ s ） = exp （ − ∫ 1 s β （ r ） d r ） ∫ 1 s β （ r ） u （ r ） d r 、 s ∈ 私 。 {\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.} 積の法則 、連鎖律、 指数関数 の導関数、微積分学の基本定理 を用いると、導関数に対して次の式が得られる。
v ′ （ s ） = （ u （ s ） − ∫ 1 s β （ r ） u （ r ） d r ⏟ ≤ α （ s ） ） β （ s ） exp （ − ∫ 1 s β （ r ） d r ） 、 s ∈ 私 、 {\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I,} ここで、上限推定には仮定した積分不等式を使用しました。βと指数関数は非負であるため、 v （ s ） {\displaystyle v(s)} v （ 1 ） = 0 {\displaystyle v(a)=0} aから t
v （ t ） ≤ ∫ 1 t α （ s ） β （ s ） exp （ − ∫ 1 s β （ r ） d r ） d s 。 {\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.} 定義を用いてv （ t ） {\displaystyle v(t)} e 1 e b = e 1 + b {\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}}
∫ 1 t β （ s ） u （ s ） d s = exp （ ∫ 1 t β （ r ） d r ） v （ t ） ≤ ∫ 1 t α （ s ） β （ s ） exp （ ∫ 1 t β （ r ） d r − ∫ 1 s β （ r ） d r ⏟ = ∫ s t β （ r ） d r ） d s 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s.\end{aligned}}} この結果を仮定した積分不等式に代入すると、グロンウォールの不等式が得られる。
(b) 関数α α ( s ) ≤ α ( t )
u （ t ） ≤ α （ t ） + α （ t ） ∫ 1 t β （ s ） exp （ ∫ s t β （ r ） d r ） d s ≤ α （ t ） + α （ t ） （ − exp （ ∫ s t β （ r ） d r ） | s = 1 s = t ） = α （ t ） exp （ ∫ 1 t β （ r ） d r ） 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha (t)+\alpha (t)\int _{a}^{t}\beta (s)\exp \left(\int _{s}^{t}\beta (r)dr\right)ds\\&\leq \alpha (t)+\alpha (t){\biggl (}{-}\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}{\biggr )}\\&=\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I.\end{aligned}}}
I を 実数直線 の区間 [ a , ∞) または [ a , b ] または [ a , b ) (a < b ) とします。α と u をI 上 で 定義 さ た 可 測 関数 と し、 μ を 代数 上 の 非負 測度で、すべての t ∈ I に対して μ ([ a , t ]) < ∞ を満たすものとします( これ 、 μが 局所 的 有限 な 測度 で ある 場合 に確実 に 満たされます)。uは、 μ
∫ [ 1 、 t ） | u （ s ） | μ （ d s ） < ∞ 、 t ∈ 私 、 {\displaystyle \int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,} そして、u は
u （ t ） ≤ α （ t ） + ∫ [ 1 、 t ） u （ s ） μ （ d s ） 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.} さらに、
関数α 関数t ↦ μ ([ a , t ])はt ∈ I αは μ ∫ [ 1 、 t ） | α （ s ） | μ （ d s ） < ∞ 、 t ∈ 私 、 {\displaystyle \int _{[a,t)}|\alpha (s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,} すると、u は
u （ t ） ≤ α （ t ） + ∫ [ 1 、 t ） α （ s ） exp （ μ （ 私 s 、 t ） ） μ （ d s ） {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\,\mu (\mathrm {d} s)} すべてのt ∈ I I s,t は開区間( s , t ) を表す。
関数 α u グロンウォールの不等式における積分は、無限大の値をとることが許される。 α u uが uの μ 反例 として、μ を 単位区間 [ 0, 1 ] ルベーグ測度 とし、u (0) = 0 およびu ( t ) = 1/ t ( t ∈ (0, 1 ]) α を S. Ethier と T. Kurtzの教科書[ 4 ] で示されているバージョンでは、 α が u が μ R n ( t )
証明の概要 証明は3つのステップに分かれています。まず、仮定した積分不等式をn 。主張2では、積測度の置換不変性を用いて、単体の測度を扱いやすい形に書き換えます。そして、3番目のステップでは、 nを 無限大に近づけることで、グロンウォールの不等式の目的の変形を導出します。
詳細な証明
主張1：不等式を繰り返す ゼロを含むすべての自然数 n
u （ t ） ≤ α （ t ） + ∫ [ 1 、 t ） α （ s ） ∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k （ A k （ s 、 t ） ） μ （ d s ） + R n （ t ） {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)} 残り
R n （ t ） := ∫ [ 1 、 t ） u （ s ） μ ⊗ n （ A n （ s 、 t ） ） μ （ d s ） 、 t ∈ 私 、 {\displaystyle R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I,} どこ
A n （ s 、 t ） = { （ s 1 、 … 、 s n ） ∈ 私 s 、 t n ∣ s 1 < s 2 < ⋯ < s n } 、 n ≥ 1 、 {\displaystyle A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1,} n 単体 であり、
μ ⊗ 0 （ A 0 （ s 、 t ） ） := 1. {\displaystyle \mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1.}
クレーム1の証明 我々は数学的帰納法 を用いる。n = 0の場合 、 空和は ゼロと定義されているからである。
nから n + 1u
R n （ t ） ≤ ∫ [ 1 、 t ） α （ s ） μ ⊗ n （ A n （ s 、 t ） ） μ （ d s ） + R ～ n （ t ） {\displaystyle R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)} と
R ～ n （ t ） := ∫ [ 1 、 t ） （ ∫ [ 1 、 q ） u （ s ） μ （ d s ） ） μ ⊗ n （ A n （ q 、 t ） ） μ （ d q ） 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I.} フビニ・トネリの定理 を用いて2つの積分を入れ替えると、次の式が得られる。
R ～ n （ t ） = ∫ [ 1 、 t ） u （ s ） ∫ （ s 、 t ） μ ⊗ n （ A n （ q 、 t ） ） μ （ d q ） ⏟ = μ ⊗ n + 1 （ A n + 1 （ s 、 t ） ） μ （ d s ） = R n + 1 （ t ） 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.} したがって、主張1はn +1
請求項２：単体の尺度 ゼロを含むすべての自然数n I s < tに対して
μ ⊗ n （ A n （ s 、 t ） ） ≤ （ μ （ 私 s 、 t ） ） n n ! {\displaystyle \mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}} t ↦ μ ([ a , t ])がt ∈ I
請求の証明2 n = 0n ≥ 1 の場合を考える。
S n を {1, 2, ..., n 順列 の集合とする。すべての順列σ ∈ S n
A n 、 σ （ s 、 t ） = { （ s 1 、 … 、 s n ） ∈ 私 s 、 t n ∣ s σ （ 1 ） < s σ （ 2 ） < ⋯ < s σ （ n ） } 。 {\displaystyle A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}.} これらの集合は異なる順列に対して互いに素であり、
⋃ σ ∈ S n A n 、 σ （ s 、 t ） ⊂ 私 s 、 t n 。 {\displaystyle \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}.} したがって、
∑ σ ∈ S n μ ⊗ n （ A n 、 σ （ s 、 t ） ） ≤ μ ⊗ n （ 私 s 、 t n ） = （ μ （ 私 s 、 t ） ） n 。 {\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}.} これらはすべてμの n S n にはn ! 個の順列があるため、主張された不等式が成り立つ。
ここで、t ↦ μ ([ a , t ])がt ∈ I i , j ∈ {1, 2, . . . , n
{ （ s 1 、 … 、 s n ） ∈ 私 s 、 t n ∣ s 私 = s j } {\displaystyle \{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}} は超平面 内に含まれるため、フビニの定理 を適用すると、μ n
私 s 、 t n ⊂ ⋃ σ ∈ S n A n 、 σ （ s 、 t ） ∪ ⋃ 1 ≤ 私 < j ≤ n { （ s 1 、 … 、 s n ） ∈ 私 s 、 t n ∣ s 私 = s j } 、 {\displaystyle I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\},} 主張されている平等は、以下の通りである。
すべての自然数n 2 は、主張 1の残りの部分について以下を意味する。
| R n （ t ） | ≤ （ μ （ 私 1 、 t ） ） n n ! ∫ [ 1 、 t ） | u （ s ） | μ （ d s ） 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle |R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.} 仮定により、 μ ( I a , t u
リム n → ∞ R n （ t ） = 0 、 t ∈ 私 。 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I.} 主張 ２と指数関数の級数表現 は、推定値を意味する。
∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k （ A k （ s 、 t ） ） ≤ ∑ k = 0 n − 1 （ μ （ 私 s 、 t ） ） k k ! ≤ exp （ μ （ 私 s 、 t ） ） {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}} I s < t α u
t ↦ μ ([ a , t ])がt ∈ I 2は
∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k （ A k （ s 、 t ） ） = ∑ k = 0 n − 1 （ μ （ 私 s 、 t ） ） k k ! → exp （ μ （ 私 s 、 t ） ） として n → ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{as }}n\to \infty } また、関数α の積分可能性により、優収束定理 を用いてグロンウォールの不等式を導出することができる。
参考文献 ↑ Gronwall, Thomas H. (1919), "微分方程式系の解のパラメータに関する導関数についての注記", Ann. of Math. 20 (2): 292– 296, doi : 10.2307/1967124 , JFM 47.0399.02 , JSTOR 1967124 , MR 1502565 ↑ Bellman, Richard (1943), "線形微分方程式の解の安定性" , Duke Math. J. , 10 (4): 643–647 , doi : 10.1215/s0012-7094-43-01059-2 , MR 0009408 , Zbl 0061.18502 ↑ Pachpatte, BG (1998). 微分方程式と積分方程式の不等式 . サンディエゴ: Academic Press. ISBN 9780080534640 。↑ Ethier, Steward N.; Kurtz, Thomas G. (1986), Markov Processes, Characterization and Convergence , New York: John Wiley & Sons , p. 498, ISBN 0-471-08186-8 MR 0838085、Zbl 0592.60049 この記事は、PlanetMathに掲載されている Gronwall の補題からの資料を取り入れています。この資料 は Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
