ハラナイ不平等

ハラナイ不等式は、遅延のある微分方程式の比較定理である。^{[1]この不等式とその一般化は、遅延微分方程式の}安定性、特にデッドタイムの​​ある産業プロセスの安定性^{[2]と遅延ニューラルネットワーク[ 3} ]の分析に適用されている。^[4]

を実数、を非負の数とします。が を満たし 、 と がの定数である場合 、および となります。 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle v:[t_{0}-\tau ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}v(t)\leq -\alpha v(t)+\beta \left[\sup _{s\in [t-\tau ,t]}v(s)\right],t\geq t_{0}}$$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha >\beta >0}$$${\displaystyle v(t)\leq ke^{-\eta \left(t-t_{0}\right)},t\geq t_{0}}$$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \eta >0}$

• グレンヴァルの不等式