大円

数学において、大円または正円とは、球の中心点を通る平面と球との円形の交線である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

大円の任意の弧は球面の測地線であるため、球面幾何学における大円は、ユークリッド空間における直線の自然な類似物である。球面上の任意の異なる非対蹠点のペアに対して、両点を通る唯一の大円が存在する。（任意の点を通るすべての大円は、その対蹠点も通過するため、2つの対蹠点を通る大円は無限に存在する。）球面上の2つの異なる点の間の2つの大円弧のうち短い方を劣弧と呼び、それは両点間の最短の表面経路である。その弧長は、2点間の大円距離（球面上の固有距離）であり、 2点と球の中心によって形成される中心角の大きさに比例する。

大円とは、任意の球面上に描くことができる最大の円のことです。大円の直径は球面の直径と一致するため、すべての大円は球面と同心円であり、同じ半径を持ちます。球面上のその他の円は小円と呼ばれ、球面の中心を通らない平面と球面との交線です。小円は、ユークリッド空間における円に相当する球面幾何学上の概念です。

ユークリッド3次元空間におけるすべての円は、ちょうど1つの球面からなる大円である。

大円で囲まれた円盤は、大円盤と呼ばれます。これは、球と、その中心を通る平面との交線です。高次元では、 n次元球面上の大円は、n次元球面と、ユークリッド空間R ^{n + 1}の原点を通る 2 次元平面との交線です。

大円の半分は、大半円と呼ばれることがある（例えば、天文学における子午線の一部など）。

大円の短弧が球面上の2点を結ぶ最短経路であることを証明するには、変分法を適用すればよい。

ある点からのすべての正則パスのクラスを考えてみましょう。${\displaystyle p}$別の点について${\displaystyle q}$球面座標を導入して、${\displaystyle p}$北極と一致する。両端を除いて、どちらの極とも交差しない球面上の曲線は、次のようにパラメータ化できる。

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

提供された${\displaystyle \phi }$は任意の実数値をとることができる。これらの座標における微小弧長は

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

つまり、曲線の長さは${\displaystyle \gamma }$から${\displaystyle p}$に${\displaystyle q}$は、で与えられる曲線の関数である。

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

オイラー・ラグランジュ方程式によれば、${\displaystyle S[\gamma ]}$最小化されるのは、

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$、

どこ${\displaystyle C}$は${\displaystyle t}$-独立定数、そして

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\シータ }}}.}$

これら2つの式のうち最初の式から、次のことが得られる。

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$。

両辺を積分し、境界条件を考慮すると、実際の解は次のようになる。${\displaystyle C}$はゼロです。したがって、${\displaystyle \phi '=0}$そして${\displaystyle \theta }$0 から までの任意の値になります$\displaystyle \theta _{0}}$これは、曲線が球面の経線上にある必要があることを示しています。デカルト座標系では、これは

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

これは原点、つまり球の中心を通る平面である。

天球上の大円の例としては、天の地平線、天の赤道、黄道などがあります。大円は、地球の表面（完全な球体ではありませんが）や楕円体状の天体において、航空や海上航行のための測地線のかなり正確な近似値としても使用されます。

理想化された地球の赤道は大円であり、任意の経線とその反対側の経線は大円を形成します。もう一つの大円は、陸地と水域の半球を分ける円です。大円は地球を二つの半球に分け、ある点を通る大円は必ずその対蹠点を通ります。

ファンク変換は、球面上のすべての大円に沿って関数を積分する。

• 大楕円
• 等角航路

• 大円 – MathWorldより抜粋 大円の説明、図、および方程式。Mathworld、Wolfram Research, Inc. c1999
• メルカトル図法における大円、ジョン・スナイダー著、ジェフ・ブライアント、プラティク・デサイ、カール・ウォルによる追加貢献、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。