GCDドメイン

数学において、GCD 領域とは、任意の 2 つの要素が最大公約数(GCD)を持つという性質を持つ整域Rのことである。すなわち、与えられた 2 つの要素によって生成されるイデアルを含む最小主イデアルが存在する。言い換えれば、 Rの任意の 2 つの要素は最小公倍数(LCM)を持つ。^{[ 1 ]}

GCD領域は、一意因数分解領域（UFD）を非ネーター的設定に一般化したもので、次の意味を持ちます。整域は、主イデアルの昇鎖条件を満たすGCD領域である場合（特にネーター的である場合）に限り、UFDとなります。

GCDドメインは、以下のクラス包含の連鎖に現れます。

rngs ⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃最大公約数域⊃一意分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数閉体

最大公約数領域の既約要素はすべて素数である。最大公約数領域は整閉集合であり、すべての非零要素は原始要素である。言い換えれば、すべての最大公約数領域はシュライアー領域である。

GCD 領域Rの任意の要素のペアx、yに対して、 xとyのGCD dとxとyのLCM m をdm = xyとなるように選択できます。言い換えれば、 xとyがゼロでない要素で、dがxとyの任意のGCD dである場合、xy / dはxとyの LCM であり、その逆もまた同様です。このことから、GCD と LCM の演算によって商R /~が分配束になることがわかります。ここで「~」は、同類要素であるという同値関係を表します。GCD の存在と LCM の存在の間の同値性は、完全束に関する同様の結果の系ではありません。なぜなら、商R /~ は GCD 領域Rに対して完全束である必要はないからです。

Rが最大公約数領域である場合、多項式環R [ X ₁ ,..., X _n ] も最大公約数領域である。^{[ 2 ]}

R が GCD 領域であるのは、その主イデアルの有限個の共通部分が主イデアルである場合に限る。特に、${\displaystyle (a)\cap (b)=(c)}$、 どこ${\displaystyle c}$は、の最小公倍数です。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$。

最大公約数領域上のXに関する多項式については、その内容をすべての係数の最大公約数として定義することができる。すると、多項式の積の内容は、それらの内容の積となる。これは、最大公約数領域上で有効なガウスの補題によって表される。

• 一意分解領域は最大公約数領域である。最大公約数領域の中で、一意分解領域とは、原子領域でもある領域（つまり、任意の非ゼロ非単位に対して、少なくとも1つの既約要素への分解が存在する領域）である。
• ベズー整域（すなわち、すべての有限生成イデアルが主イデアルである整域）は、最大公約数整域である。主イデアル整域（すべてのイデアルが主イデアルである整域）とは異なり、ベズー整域は一意分解整域である必要はない。例えば、整関数環は非原子ベズー整域であり、他にも多くの例がある。整域がプリューファー最大公約数整域であるのは、それがベズー整域である場合に限る。^{[ 3 ]}
• Rが非原子的な最大公約数領域である場合、 R [ X ] は、一意分解領域（非原子的であるため）でもベズー領域（XとRの非可逆かつ非ゼロの元aが 1 を含まないイデアルを生成するが、それでも 1 はXとaの最大公約数であるため）でもない最大公約数領域の例です。より一般的には、任意の環R [ X ₁ ,..., X _n ] はこれらの性質を持ちます。
• 可換モノイド環${\displaystyle R[X;S]}$GCDドメインであるのは、${\displaystyle R}$GCDドメインであり、${\displaystyle S}$はねじれのない消去可能なGCD半群である。GCD半群とは、任意の に対して という追加の性質を持つ半群である。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$半群において${\displaystyle S}$存在する${\displaystyle c}$そのため${\displaystyle (a+S)\cap (b+S)=c+S}$特に、${\displaystyle G}$はアーベル群である。${\displaystyle R[X;G]}$GCDドメインであるのは、${\displaystyle R}$GCDドメインであり、${\displaystyle G}$ねじれがない。^{[ 4 ]}
• 指輪${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-d}}]}$は、すべての平方因子を持たない整数の最大公約数領域ではない。${\displaystyle d\geq 3}$[ ^{5 ]​}

GCD 領域の多くの特性は、一般化 GCD 領域^{[ 6 ]}にも引き継がれます。一般化 GCD 領域では、主イデアルが可逆イデアルに一般化され、2 つの可逆イデアルの共通部分が可逆であるため、可逆イデアルの群が格子を形成します。GCD 環では、イデアルは主イデアルである場合に限り可逆であり、つまり、GCD と LCM の演算も可逆イデアルの演算として扱うことができます。

G-GCD ドメインの例としては、GCD ドメイン、GCD ドメイン上の多項式環、プリューファー ドメイン、および π ドメイン (すべての主イデアルが素イデアルの積であるドメイン) があり、これはベズー ドメインと一意分解ドメインの GCD 特性を一般化したものです。