楕円（投影面）

射影幾何学において、楕円とは、入射特性によって定義される平面上の点集合のことである。標準的な例としては、非退化円錐曲線が挙げられる。しかし、円錐曲線はパッピアン平面でのみ定義されるのに対し、楕円はあらゆる種類の射影平面に存在し得る。文献には、楕円が円錐曲線であることを示唆する多くの基準が存在するが、パッピアン平面における無限および有限の楕円の中には、円錐曲線ではないものも数多く存在する。

前述のように、射影幾何学では楕円は入射特性によって定義されますが、他の分野では、例えば微分幾何学では実平面における微分可能性条件など、他の基準を満たすように楕円が定義される場合があります。

楕円のより高次元版は、射影空間における卵形である。

楕円の概念を一般化したものとして、抽象楕円という概念がある。これは必ずしも射影平面に埋め込まれているとは限らない構造である。実際、いかなる射影平面にも存在し得ない抽象楕円も存在する。

楕円の定義

射影平面において、点の集合 $Ωは、以下の条件を満たす場合に$ 楕円と呼ばれる。

任意の直線 $lは$ $Ω$ と最大 2 点で交わり、
任意の点 $P \in Ωに対して、$ $P$ を通る接線 $t$ がちょうど 1 つ存在する。すなわち、 $t$ $\cap Ω = {$ $P$ } である。

$| l \cap Ω | = 0$ の場合、直線 $lは$ 外接線(または通過線)であり、 ^{[ 1 ]} $| l \cap Ω | = 1$ の場合、接線であり、 $| l \cap Ω | = 2$ の場合、直線は割線である。

有限平面（つまり点の集合が有限）の場合、より便利な特徴付けがあります。 ^{[ 2 ]}

次数 $n$ の有限射影平面(つまり、任意の直線が $n + 1$ 個の点を含む) の場合、点の集合 $Ωが楕円であるのは、$ $| Ω | = n + 1であり、かつどの 3 点も$ 同一直線上にない(同一直線上にない)場合に限る。

上記の定義を満たすアフィン平面上の点の集合をアフィン楕円と呼びます。

アフィン楕円は、基となるアフィン平面の射影閉包（無限遠点に直線を追加したもの）において、常に射影楕円となる。

楕円は特別な二次集合とみなすこともできる。^{[ 3 ]}

例

円錐曲線

任意のパッピアン射影平面には非退化射影円錐曲線が存在し、非退化射影円錐曲線はすべて楕円である。このことは、任意の円錐曲線（放物線や双曲線など）について簡単な計算を行うことで検証できる。

非退化円錐曲線は、特別な性質を持つ楕円です。

パスカルの定理とその様々な派生形は有効である。
円錐不変量を残す射影変換は数多く存在する。

円錐曲線ではない楕円

実際の飛行機の中で

円の半分と楕円の半分を滑らかに貼り合わせると、円錐形ではない楕円が得られる。
円錐楕円の非均質表現を放物線と無限遠点としたものとし、式 $x 2を$ $x 4$ に置き換えると、円錐ではない楕円が得られます。
$円錐楕円の非均質表現を$ 双曲線と無限遠点の 2 点として扱い、式 1 / x を 1 / x 3 に置き換える $と、円錐で$ $は$ $ない$ $楕円$ $が$ 得 $られ$ ます $。$
陰関数曲線 $x 4 + y 4 = 1$ は円錐曲線ではない楕円です。

偶数次の有限平面において

偶数次の有限パッピアン平面では、非退化円錐曲線は核（すべての接線が通過する一点）を持ち、その核を円錐曲線の任意の点と交換することで、円錐曲線ではない楕円を得ることができます。
$2$ $m$ 個の要素を持つ体K $= GF(2 m)に対して、$

\Omega =\{(x,y)\in K^{2}\;|y=x^{2^{k}}\;\}\;\cup \;\{(\infty )\}

k \in {2,..., m - 1}

で

k

と

m

が互いに素である場合、集合

Ω

は楕円であり、円錐曲線ではない。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

さらなる有限の例は、こちらで見つけることができます: ^{[ 6 ]}

楕円が円錐曲線となるための基準

楕円が円錐曲線となるためには、楕円および／または平面が追加の条件を満たす必要があります。以下にいくつかの結果を示します。

パスカルの定理の入射条件または5点退化を満たす任意の射影平面上の楕円は、非退化円錐曲線である。 ^{[ 7 ]}
$Ω が$ パッピアン射影平面上の楕円であり、 $Ω を$ 不変に保つ射影群が3-推移的である、すなわち、2 つの点の組 $A 1 、 A 2 、 A 3 、 B 1 、 B 2 、 B 3$ $に対して、 π($ $A$ $i$ $) =$ $B$ $i$ $、 i = 1,2,3$ となる射影 $π$ が存在する。有限の場合、2-推移的であれば十分である。^[⁸^]
$特性が2 でない$ パッピアン射影平面上の楕円 $Ω は$ 、接線の任意の点 $Pに対して、$ $Ω を$ 不変に保つ中心 $Pを持つ対合的$ 透視性(対称性)が存在する場合に限り円錐曲線となる。^[⁹^]
$Ωが$ 奇数位数の有限デサルグ^{[ 10 ]}（パッピアン）射影平面 $PG(2,$ $q$ $)$ の楕円である場合、 $Ωは$ セグレの定理^[¹¹^]により円錐曲線となる。これは、座標変換後、奇数位数の $q$ を持つ $PG(2,$ $q$ $)$ のすべての楕円が次のパラメーター化を持つことを意味する。

\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}.

位相的楕円については、以下の単純な基準が成り立つ。

5.複素射影平面上の任意の閉じた楕円は円錐曲線である。^[¹²^]

有限平面における楕円に関するさらなる結果

$位数q$ の有限射影平面における楕円は( $q + 1, 2$ )弧、つまり $q + 1個の点の集合であり、3 点が同一直線上にない。奇数$ $q$ の場合のDesarguesian (Pappian) 射影平面 $PG(2, q)$ における楕円は、非特異円錐曲線に等しい。しかし、偶数 $q$ の場合の $PG(2,$ $q$ $)$ における楕円はまだ分類されていない。

$任意の奇数位数q$ の有限射影平面において、 $q + 1$ を超える点の集合で、かつその集合内のどの 3 つの点も同一直線上にないような集合は存在しない。これは、この種の数学を実験の統計的設計に応用した 1947 年の論文でボーズが最初に指摘したものである。さらに、クヴィストの定理によれば、楕円上にない任意の点には、その楕円の接線が 0 本または 2 本しか通らない。

qが偶数の場合、状況は全く異なる。

この場合、 $q + 2$ 個の点の集合（どの 3 個も同一直線上にない）が、次数 $q$ の有限射影平面上に存在することがあり、これらはハイパーオーバルと呼ばれます。これらは次数 2 の最大弧です。

楕円が与えられた場合、各点を通る接線は一意に定まり、 $qが$ 偶数であれば、クヴィストの定理^{[ 13 ]}によれば、これらの接線はすべて楕円の外側の点 $P$ で交わります。この点（楕円の核、または結び目と呼ばれることもあります）を楕円に加えると、超楕円が得られます。逆に、超楕円から任意の1点を取り除くと、すぐに楕円が得られます。

偶数位数の場合のすべての楕円は超楕円に含まれるため、（既知の）超楕円の説明は暗黙のうちにすべての（既知の）楕円を与えます。超楕円から点を取り除いて得られる楕円は、取り除かれた点が超楕円の自己同型群の同じ軌道にある場合に限り、射影的に同値です。超楕円の自己同型群がその点に関して推移的である例は（デサルグ平面では）3つしかありません^{[ 14 ]。}したがって、一般に、1つの超楕円には異なるタイプの楕円が含まれます。

デサルグジアンケース：PG(2,2 ^h )

これは最も研究されている事例であり、したがって、これらの超楕円体について最も多くのことが知られている。

射影平面上のすべての非特異円錐曲線は、その核とともに超楕円を形成します。これらは超円錐曲線と呼ばれることもありますが、より伝統的な用語は正則超楕円です。これらの各集合に対して、次の座標系が存在します。

\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0)\}.

しかし、 q > 8 の場合、PG(2, q )の他の多くのタイプの超楕円が見つかります。qが偶数のPG(2, q )の超楕円は、現在までにq < 64の場合のみ分類されています。

PG(2,2 ^h ) において、h > 0 の場合、ハイパーオーバルには少なくとも 4 つの点が含まれ、そのうち 3 つは共線ではありません。したがって、射影幾何学の基本定理により、射影座標が (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1) および (1,1,1) の点が任意のハイパーオーバルに含まれると常に仮定できます。ハイパーオーバルの残りの点 (h > 1 の場合) は (t, f(t),1) の形になります。ここで、t は有限体 GF(2 ^h ) の値の範囲にあり、fはその体上の関数で、置換を表し、次数が最大 2 ^h - 2の多項式として一意に表現できます。つまり、置換多項式です。f(0) = 0 および f(1) = 1 は、指定された点の包含に関する仮定によって強制されることに注意してください。f に対するその他の制約は、3つの点が共線ではないという条件によって強制されます。このように超楕円を生成する関数 f は、o-多項式と呼ばれます。次の表は、PG(2,2 ^h ) の既知の超楕円 (2011 年現在) をすべて、o-多項式と、表示される関数が o-多項式となるために必要なhの値に関する制約とともに示しています。すべての指数は mod(2 ^h - 1) で計算されることに注意してください。

PG(2,2 ^h )における既知の過卵形

^a)スビアコのo多項式は次のように表されます。 $f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \over {t^{4}+d^{2}t^{2}+1}}+t^{1/2},$ いつでも $tr(1/d)=1{\hbox{ and }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})$ ここで、trは GF(2 ^h )の絶対トレース関数である。この o-多項式は、以下の条件を満たす場合に一意の超楕円を生成する。 $h\not \equiv 2({\bmod {4}})$ そして、2 つの非等価な超楕円に $h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2$ 。

^b)アデレード超楕円を説明するために、もう少し一般的な設定から始めます。F = GF(q)およびK = GF(q ² )とします。 $b\in K$ ノルム 1 の要素であり、1 とは異なる、つまり b ^q+1 = 1 である。 $b\neq 1$ 多項式を考えてみましょう。 $t\in F$ 、

f(t) = ( tr (b)) ⁻¹tr (b ^m )(t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹tr ((bt + b ^q ) ^m )(t + tr (b)t ^1/2 + 1) ^1−m + t ^1/2、

ここでtr (x) = tr _K/F (x) = x + x ^qです。q = 2 hの場合、^hは偶数で m = ±(q - 1)/3 であれば、上記の f(t) はアデレード超楕円の o 多項式になります。

^c)ペンティラ・オキーフのo多項式は次のように表される。

f(t) = t ⁴ + t ¹⁶ + t ²⁸ + η ¹¹ (t ⁶ + t ¹⁰ + t ¹⁴ + t ¹⁸ + t ²² + t ²⁶ ) + η ²⁰ (t ⁸ + t ²⁰ ) + η ⁶ (t ¹² + t ²⁴ ),

^{ここでηは、η 5} = η ² + 1を満たすGF(32)の原始根である。

PG(2, q)におけるハイパーオーバル、qは偶数、q≦64

デサルグ平面の2次、4次、8次の超楕円はすべて超円錐曲線であるため、ここでは16次、32次、64次の平面のみを考察する。

PG(2,16)

( Lunelli & Sce 1958 )では、B. Segre の提案により行われた、小次数平面における完全弧のコンピュータ探索の詳細が示されています。PG(2,16) では、ハイパーコニックではないハイパーオーバルが多数見つかりました。1975 年、M. Hall Jr. は、コンピュータの多大な助けを借りて、 ^{[ 15 ]}この平面には、ハイパーコニックと Lunelli と Sce によって見つかったハイパーオーバルの 2 つのクラスのみが存在することを示しました。Lunelli -Sce ハイパーオーバルを与える 2040 個の o 多項式のうち、ここでは 1 つだけを示します。

f(x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ²、

ここで、η はη ⁴ = η + 1を満たすGF(16)の原始要素です。

1975 年の論文で、ホールは、ルネリ・スチェ超楕円を安定化させる平面のいくつかの共線化について述べたが、それらがこの超楕円の完全な自己同型群を生成することは示さなかった。ペインとコンクリン (1978)は、関連する一般化四角形の性質を用いて、自己同型群はホールが与えた群より大きくなることはないことを示した。コルチマロス (1978) は、この結果の構成的証明を独自に与え、また、デサルグ平面では、ルネリ・スチェ超楕円は推移的自己同型群を許容する唯一の不規則超楕円 (非超円錐) であり、そのような群を許容する超円錐は位数 2 と 4 のものだけであることを示した。

O'Keefe & Penttila (1991) は、コンピュータを使用せずに Hall の分類結果を反証しました。彼らの議論は、GF(16)上で定義された o-多項式の数の上限を見つけ、次に、この平面のハイパーオーバルの可能な自己同型群を調べることによって、この平面に既知のもの以外のハイパーオーバルが存在する場合、上限を超えることを示すことにあります。Brown & Cherowitzo (2000) は、PGL(3,16) の部分群として考えられる PGU(3,4) のエレーションによって生成される群の軌道の和集合として、Lunelli-Sce ハイパーオーバルの群論的構成を提供します。この論文には、Lunelli-Sce ハイパーオーバルとハイパーコニックの交点に関するいくつかの注目すべき性質についての議論も含まれています。Cherowitzoらは、 (1996) では、ルネリ・スチェ超楕円がスビアコ族の最初の非自明なメンバーであることが示されています^{[ 16 ]。}チェロウィッツォ、オキーフ、ペンティラ(2003)では、アデレード族の最初の非自明なメンバーであることが示されています。

PG(2,32)

h = 5 は奇数であるため、既知のファミリーのいくつかはここに代表を持ちますが、平面のサイズが小さいため、いくつかの偽の同値性があります。実際、Glynn 型のハイパーオーバルはそれぞれ、射影的に並進ハイパーオーバルと同値であり、Payne ハイパーオーバルは、射影的に Subiaco ハイパーオーバルと同値です (これは、より大きな平面では発生しません)。具体的には、(単項式型の) ハイパーオーバルには、ハイパーコニック (f(t) = t ² )、適切な並進ハイパーオーバル (f(t) = t ⁴ )、および Segre ハイパーオーバル (f(t) = t ⁶ ) の 3 つのクラスがあります。^{[ 17 ]} Payne ハイパーオーバルと Cherowitzo ハイパーオーバルに対応するクラスもあります。^{[ 18 ]} O'Keefe、Penttila 、およびPraeger (1991)では、これらのハイパーオーバルをそれぞれ安定化する共線群が決定されています。ペイネ超楕円のコリネーション群を最初に決定した際、q = 32 の場合は別個に処理する必要があり、コンピュータによる計算結果に大きく依存していたことに注意してください。O'Keefe 、Penttila 、 Praeger (1991)では、コンピュータ計算に依存しない別の証明方法が示されています。

1991年、オキーフとペンティラは、仮説上の超楕円の自己同型群の位数の可除性に関する詳細な調査によって、この平面上に新しい超楕円を発見した。^{[ 19 ]}そのo-多項式の1つは次のように与えられる。

f(x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶ ) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰ ) + η ⁶ (x ¹² + x ²⁴ ),

ここでηは、 η ⁵ = η ^{2 + 1を満たす}GF(32)の原始根である。この超楕円の完全自己同型群の位数は3である。

Penttila & Royle (1994) は、この平面上のすべての超楕円を網羅的にコンピュータで探索する巧妙な仕組みを構築しました。その結果、上記のリストは完全であり、PG(2,32) には 6 つのクラスの超楕円が存在することがわかりました。

PG(2,64)

O'Keefe & Penttila (1992)のアイデアをPG(2,64) に拡張することで、Penttila & Pinneri (1994)は、自己同型群が位数 5 の共線化を許容する超楕円を探すことができました。彼らは 2 つの超楕円を発見し、この平面にはそのような自己同型を持つ他の超楕円は存在しないことを示しました。これは、超円錐曲線以外にこの平面に超楕円が存在するかどうかを知りたいと考えていた B. Segre の長年の未解決問題を肯定的に解決しました。超楕円は次のとおりです。

f(x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ³⁰ +x ³⁸ +x ⁴⁴ +x ⁴⁸ +x ⁵⁴ +x ⁵⁶ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ +x ⁶² ) + η ⁴² (x ² + x ⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴⁰ ),

位数15の自己同型群を持ち、

f(x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ +x ⁸ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ³⁴ +x ³⁸ +x ⁴⁰ +x ⁴⁴ +x ⁴⁶ +x ⁵² +x ⁵⁴ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ ) + η ⁴² (x ⁶ + x ¹² + x ¹⁸ + x ²⁰ + x ²⁶ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴² + x ⁴⁸ +x ⁵⁰ ),

これは位数60の自己同型群を持ち、ηはη ⁶ = η + 1を満たすGF(64)の原始元である。Cherowitzoら(1996)では、これらがSubiaco超楕円であることが示されている。PenttilaとRoyle(1994)は、コンピュータ検索プログラムを改良し、位数3の自己同型を許容する超楕円に検索範囲を拡張し、次の超楕円を発見した。

f(x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x 42 + x 48 ⁺^x 62 ⁺ η ²¹ (x ⁶ +x ¹⁶ +x ²⁶ +x ²⁸ +x ³⁰ +x ³² +x ⁴⁰ +x ⁵⁸ ) + η ⁴² (x ¹⁰ + x ¹⁸ + x ²⁴ + x ³⁶ + x ⁴⁴ + x ⁵⁰ + x ⁵² + x ⁶⁰ ),

これは位数12の自己同型群を持つ（ηは上記のようにGF(64)の原始元である）。この超楕円は、初めて異なるアデレード超楕円である。

ペンティラとロイル^{[ 20 ]}は、この平面上の他のハイパーオーバルは自明な自己同型群を持たなければならないことを示した。これは、そのようなハイパーオーバルの射影的に同値なコピーが多数存在することを意味するが、これまでの一般的な探索ではそのようなコピーは見つかっておらず、この平面上には他に存在しないという予想に信憑性を与えている。

抽象的な楕円形

（Bue1966）に続いて、B楕円とも呼ばれる抽象的な楕円は、次数 $n$ ペアです $(F,{\mathfrak {G}})$ どこ $F$ は、 $n+1$ ポイントと呼ばれる要素と ${\mathfrak {G}}$ は、に作用する対合の集合である。 $F$ 鋭い準2推移的な方法で、つまり任意の2つに対して $(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\in F$ と $a_{i}\neq b_{j}$ のために $i,j\in \{1,2\}$ ちょうど1つ存在する $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ と $\sigma (a_{1})=a_{2}$ そして $\sigma (b_{1})=b_{2}$ 位数の射影平面に埋め込まれた任意の楕円 $q$ 同じオーダーの抽象的な楕円の構造を備えている可能性がある。一般に、その逆は当てはまらない。 $n\geq 8$ ;実際、 $n=8$ 射影平面に埋め込まれない可能性のある抽象的な楕円が2つあります（Fa1984を参照）。

いつ $n$ が偶数の場合、同様の構成により抽象的な超楕円が得られます。 ( Po1997 ) を参照してください。次数の抽象的な超楕円 $n$ ペアです $(F,{\mathfrak {G}})$ どこ $F$ は、 $n+2$ 要素と ${\mathfrak {G}}$ は、に作用する固定点のない対合の集合である。 $F$ 任意の4つの異なる要素の集合に対して $a,b,c,d\in F$ ちょうど1つあります $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ と $\sigma (a)=b,\sigma (c)=d$ 。

注記

↑英語の文献では、この用語は通常、通過句として翻訳されるのではなく、フランス語で表現されます。
↑デンボウスキー 1968、p. 147。
↑ Beutelspacher & Rosenbaum 1998、p. 144.
↑ B. セグレ： Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due、Re。数学。 Pures Appl. 2 (1957)、289 ～ 300 ページ。
↑デンボウスキー 1968、p. 51。
↑ E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), p. 45.
↑ F. ブエケンハウト: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens、アーチ。 d.数学。 Vol. XVII、1966 年、89-93 ページ。
↑ J. ティッツ: Ovoides à Translations、Rend.マット。 21 (1962)、37–59 ページ。
↑ H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene、Abh.数学。セム。 Hamburg 45 (1976)、237 ～ 244 ページ。
↑すべてのパッピアン平面はデサルグ平面であり、有限平面の場合もその逆が成り立ちます。したがって、有限平面についてはどちらの記述子も有効ですが、有限平面に関する文献では「デサルグ平面」という用語が主流です。
↑セグレ 1955。
↑こ。ブキャナン:複雑なプロジェクトにおける楕円形とケーゲルシュニット Ebene、数学物理学。 Smesterberichte 26 (1979、pp. 244-260)。
↑クヴィスト 1952。
↑コルチマロス 1978 .
↑ホール 1975。
↑ Brown & Cherowitzo 2000も参照。
↑より小さな次数平面では、これらの超楕円は超円錐曲線と区別されません。Segre & Bartocci (1971)で示されたそれらの存在証明は、線形化された多項式を利用しています。
↑詳細はCherowitzo 1988を参照。
↑オキーフ＆ペンティラ 1992。
↑ペンティラ＆ロイル 1995。

参考文献

Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / from foundations to applications , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Buekenhout、F. (1966)、「Études intrinsèque des ovales」、Rend。マット。 E アプリケーション、25 (5): 333–393、MR 0218956
Brown, Julia MN; Cherowitzo, William E. (2000)、「PG(2,16)におけるルネリ-Sce超楕円」、J. Geom.、69 ( 1–2 ): 15–36、doi : 10.1007/BF01237471、MR 1800454
Cherowitzo, William (1988)、「偶数次のデサルグ平面におけるハイパーオーバル」、Ann. Discrete Math.、Annals of Discrete Mathematics、37：87–94、doi：10.1016/s0167-5060(08)70228-0、ISBN 978-0-444-70369-9MR 0931308 {{citation}}: CS1メンテナンス: ISBNを使用した作業パラメータ (リンク)
Cherowitzo, W. (1996), "Desarguesian平面におけるハイパーオーバル：最新情報", Discrete Math. , 155 ( 1– 3): 31– 38, doi : 10.1016/0012-365X(94)00367-R , MR 1401356
Cherowitzo、W. (1998)、「α-flocks and hyperovals」、Geom.デディカタ、72 (3): 221–246、土井: 10.1023/A:1005022808718、MR 1647703
Cherowitzo, William E.; O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim (2003)、「特性2におけるq-クランに関連する有限幾何学の統一的構成」、 Adv. Geom.、3 (1): 1– 21、doi : 10.1515/advg.2003.002、MR 1956585
Cherowitzo, W.; Penttila, T.; Pinneri, I.; Royle, GF (1996)、「Flocks and ovals」、Geom. Dedicata、60 (1): 17–37、doi : 10.1007/BF00150865、MR 1376478
Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8MR 0233275
Faina, G. (1984)、「次数q ≤ 8の B 楕円」、J. Combin. Theory Ser. A、36 (3): 307–314、doi : 10.1016/0097-3165(84)90038-4、MR 0744079
Glynn, David G. (1983)、「偶数位数の有限デサルグ平面における2つの新しい楕円列」、（組合せ数学、X）Lecture Notes in Math.、第1036巻、ベルリン：Springer、pp. 217–229、doi：10.1007/BFb0071521、MR 0731584
Hall, Marshall Jr. (1975)、「次数16のデサルグ平面上の楕円」、Ann. Mat. Pura Appl. (4)、102 : 159–176、doi : 10.1007/bf02410604、MR 0358552
Hirschfeld, JWP (1998), 『有限体上の射影幾何学』（第2 版）、ニューヨーク：クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、 xiv+555頁、ISBN 0-19-850295-8MR 1612570
Korchmáros, G. (1978), "偶数qに対するS _2,qの楕円[ q+2-弧]の点上で推移する共線群", Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena (イタリア語および英語), 27 (1): 89–105 (1979), MR 0551092
Korchmáros, G. (1991), "有限射影平面における楕円に関する新旧の結果", (組合せ論概論、1991) London Math. Soc. Lecture Note Ser.、第166巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. 41–72、MR 1161460
ルネリ、L.、スチェ、M. (1958)k -archi completi nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 e 16（イタリア語）、ミラノ：Centro di Calcoli Numerici、ミラノ工科大学、p. 15、MR 0157276
O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim (1992)、「PG(2,32)における新しい超楕円」、J. Geom.、44 ( 1–2 ): 117–139、doi : 10.1007/BF01228288、MR 1169414
O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim (1991)、「PG(2,16)におけるハイパーオーバル」、European Journal of Combinatorics、12 (1): 51–59、doi : 10.1016/s0195-6698(13)80007-8、MR 1087648
O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim; Praeger, Cheryl E. (1991)、「PG(2,32)におけるハイパーオーバルの安定化因子」、Advances in finite geometries and designs、Chelwood Gate、1990、ニューヨーク：Oxford Univ. Press、pp. 337–351、MR 1138755
Payne, Stanley E. (1985)、「一般化された四角形の新しい無限族」、Congressus Numerantium、49：115–128、MR 0830735
Payne, Stanley E.; Conklin, James E. (1978)、「16次の珍しい一般化四角形」、Journal of Combinatorial Theory, Series A、24 (1): 50–74、doi : 10.1016/0097-3165(78)90044-4、MR 0462984
Penttila, Tim; Pinneri, Ivano (1994)、「PG(2,64)における不規則な超楕円」、J. Geom.、51 ( 1–2 ): 89–100、doi : 10.1007/BF01226860、MR 1298348
Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1994)、「PG(2,32)における超楕円の分類」、J. Geom.、50 ( 1–2 ): 151–158、doi : 10.1007/BF01222672、MR 1280636
Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1995)、「小さな射影平面における超楕円について」、J. Geom.、54 ( 1–2 ): 91–104、doi : 10.1007/BF01222857、MR 1358279
Polster, B. (1997)、「抽象ハイパーオーバルとアダマールデザイン」、Australas. J. Combin.、16：29–33、MR 1477516
Qvist, B. (1952)「有限平面における2次曲線に関するいくつかの考察」Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A I. Math.-Phys. , 1952 (134): 27, MR 0054977
セグレ、ベニアミノ（1955）「有限射影平面における楕円」、カナダ数学ジャーナル、7：414–416、doi：10.4153/CJM-1955-045-x、ISSN 0008-414X、MR 0071034
Segre、Beniamino (1962)、「楕円曲線 σ nei piani di Galois di caratteristica due.」、Atti Accad。ナズ。リンセイレンド。 Cl.科学。 Fis.マット。ナット。 (8) (イタリア語)、32 : 785– 790、MR 0149361
セグレ、B. Bartocci, U. (1971)、「Ovali ed altre Curve nei piani di Galois di caratteristica due」、Acta Arithmetica (イタリア語)、18 : 423–449、doi : 10.4064/aa-18-1-423-449、MR 0295201

外部リンク

ビル・チェロウィッツォのハイパーオーバルページ

[1] 英語の文献では、この用語は通常、通過句として翻訳されるのではなく、フランス語で表現されます。

[FOOTNOTEDembowski1968147-2] デンボウスキー 1968、p. 147。

[FOOTNOTEBeutelspacherRosenbaum1998144-3] Beutelspacher & Rosenbaum 1998、p. 144.

[4] B. セグレ： Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due、Re。数学。 Pures Appl. 2 (1957)、289 ～ 300 ページ。

[FOOTNOTEDembowski196851-5] デンボウスキー 1968、p. 51。

[6] E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), p. 45.

[7] F. ブエケンハウト: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens、アーチ。 d.数学。 Vol. XVII、1966 年、89-93 ページ。

[8] J. ティッツ: Ovoides à Translations、Rend.マット。 21 (1962)、37–59 ページ。

[9] H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene、Abh.数学。セム。 Hamburg 45 (1976)、237 ～ 244 ページ。

[10] すべてのパッピアン平面はデサルグ平面であり、有限平面の場合もその逆が成り立ちます。したがって、有限平面についてはどちらの記述子も有効ですが、有限平面に関する文献では「デサルグ平面」という用語が主流です。

[FOOTNOTESegre1955-11] セグレ 1955。

[12] こ。ブキャナン:複雑なプロジェクトにおける楕円形とケーゲルシュニット Ebene、数学物理学。 Smesterberichte 26 (1979、pp. 244-260)。

[FOOTNOTEQvist1952-13] クヴィスト 1952。

[FOOTNOTEKorchmáros1978-14] コルチマロス 1978 .

[FOOTNOTEHall1975-15] ホール 1975。

[16] Brown & Cherowitzo 2000も参照。

[17] より小さな次数平面では、これらの超楕円は超円錐曲線と区別されません。Segre & Bartocci (1971)で示されたそれらの存在証明は、線形化された多項式を利用しています。

[18] 詳細はCherowitzo 1988を参照。

[FOOTNOTEO'KeefePenttila1992-19] オキーフ＆ペンティラ 1992。

[FOOTNOTEPenttilaRoyle1995-20] ペンティラ＆ロイル 1995。

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