グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー状態

物理学において、量子情報理論の分野におけるグリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー( GHZ )状態は、少なくとも 3 つのサブシステム (粒子状態、量子ビット、または量子ディット) を含む量子もつれ 状態です。この状態を最初に説明した 3 人の著者にちなんで名付けられた GHZ 状態は、あらゆる古典的な局所隠れた変数理論による予測と直接矛盾する実験結果を予測します。この状態は量子コンピューティングに応用されています。

4粒子バージョンは、1989年にダニエル・グリーンバーガー、マイケル・ホーン、アントン・ツァイリンガーによって初めて研究されました。 ^[1]翌年、アブナー・シモニーが参加し、 N・デイヴィッド・マーミンの提案に基づいて3粒子バージョン^[2]を発表しました。^{[3] [4]}このような状態の実験的測定は、局所性と因果関係の直感的な概念と矛盾しています。多数の量子ビットのGHZ状態は、他の量子ビットの重ね合わせ状態と比較して、計測のパフォーマンスが向上すると理論化されています。^[5]

GHZ状態は3量子ビットの量子もつれ 状態であり、 量子ビットの0または1の値が任意の2つの物理状態に対応するよう に記述できます。たとえば、2つの状態は、ある物理軸に沿ったスピンダウンとスピンアップに対応します。物理学のアプリケーションでは、状態 の番号がスピン固有値を表すように記述される場合があります。^[3]$${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}.}$$$${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|1,1,1\rangle +|-1,-1,-1\rangle }{\sqrt {2}}}.}$$

GHZ状態のもう一つの例^{[6]は、ある}座標系に対して、すべて水平偏光（HHH）またはすべて垂直偏光（VVV）の重ね合わせ状態にある3つの光子がエンタングルメント状態にある場合である。GHZ状態は、ブラケット記法で次のように 表すことができる。

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {HHH} \rangle +|\mathrm {VVV} \rangle )。}$

測定が行われる前は、光子の偏光は不確定です。座標系の軸に揃った 2 チャンネル偏光子を使用して光子の 1 つを測定すると、各方向が 50% の確率で観測されます。ただし、状態に対する 3 つの測定結果はすべて同じ結果になります。つまり、3 つの偏光はすべて同じ軸に沿って観測されます。

一般化されたGHZ状態は、 M > 2個のサブシステムの量子もつれ状態です。各システムの次元が、つまり局所ヒルベルト空間が と同型である場合、 -部分システムの全ヒルベルト空間は です。このGHZ状態は、 -部分量子GHZ状態とも呼ばれます。テンソル積としての式は、 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {tot}}=(\mathbb {C} ^{d})^{\otimes M}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{i=0}^{d-1}|i\rangle \otimes \cdots \otimes |i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}(|0\rangle \otimes \cdots \otimes |0\rangle +\cdots +|d-1\rangle \otimes \cdots \otimes |d-1\rangle )}$。

各サブシステムが2次元の場合、つまりM個の量子ビットの集合の場合、次のように表される。

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}}.}$

実際の実験の結果は、局所的実在論ではなく量子力学の予測と一致している。^[7]

量子計算の言語では、各光子の偏光状態は量子ビットであり、その基底は次のように選択できる。

${\displaystyle |0\rangle \equiv |\mathrm {H} \rangle ,\qquad |1\rangle \equiv |\mathrm {V} \rangle 。}$

およびの位相因子を適切に選択すると、実験で使用される両方のタイプの測定はパウリ測定となり、2つの可能な結果はそれぞれ+1と-1として表されます。^{[引用が必要]}${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$

• 45°直線偏光子はパウリ測定を実行し、固有状態を区別する。${\displaystyle X}$

${\displaystyle |{+X}\rangle \equiv |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle +|\mathrm {V} \rangle ) ,\qquad |{-X}\rangle \equiv |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle -|\mathrm {V} \rangle ).}$

• 円偏光子はパウリ測定を実行し、固有状態を区別する。${\displaystyle Y}$

${\displaystyle |{+Y}\rangle \equiv |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle +i|\mathrm {V} \rangle ),\qquad |{-Y}\rangle \equiv |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle -i|\mathrm {V} \rangle ).}$

3 つの量子ビットそれぞれに対するこれらの測定の組み合わせは、破壊的なマルチ量子ビット パウリ測定と見なすことができ、その結果は各単一量子ビット パウリ測定の積になります。たとえば、「光子 1 と 2 に円偏光子、光子 3 に 45° 直線偏光子」の組み合わせは測定に対応し、4 つの可能な結果の組み合わせ (RL+、LR+、RR-、LL-) は、まさに全体の結果が -1 に対応するものです。 ${\displaystyle Y_{1}Y_{2}X_{3}}$

GHZ実験の量子力学的予測は次のようにまとめられる。

${\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}Y_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}X_{2}Y_{ 3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |X_{1}Y_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =-1,}$

${\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |X_{1}X_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =+1,}$

これは量子力学において一貫している。なぜなら、これらすべてのマルチキュービットのパウリスは互いに可換であり、

${\displaystyle Y_{1}Y_{2}X_{3}\cdot Y_{1}X_{2}Y_{3}\cdot X_{1}Y_{2}Y_{3}\cdot X_{1}X_ {2}X_{3}=-1}$

との間には反可換性があるためです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

これらの結果は、各測定値が隠れた変数によって決定される 明確な（古典的な）値を持たなければならないという局所隠れ変数理論において矛盾を生じさせる。${\displaystyle x_{i},y_{i}=\pm 1}$

${\displaystyle y_{1}y_{2}x_{3}\cdot y_{1}x_{2}y_{3}\cdot x_{1}y_{2}y_{3}\cdot x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}y_{1}^{2}y_{2}^ {2}y_{3}^{2}}$

+1であってはならず、-1ではない。^[3]

多部分エンタングルメントには相互に変換できない異なる種類のものが存在するため、多部分エンタングルメントの標準的な測定法は存在しません。しかし、多くの測定法では、GHZ 状態が最大限にエンタングルメントされた状態であると定義されています。^[要出典]

GHZ状態のもう一つの重要な性質は、3つのシステムのうちの1つに 部分トレースをとると、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{3}\left[\left({\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}\right)\left({\frac {\langle 000|+\langle 111|}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)}{2}},}$

これはエンタングルメントのない混合状態です。これは特定の 2 粒子 (キュービット) 相関を持っていますが、これらは古典的な性質のものです。一方、状態 0 と 1 を区別するような方法でサブシステムの 1 つを測定すると、エンタングルメントのない純粋な状態であるまたはが残ります。これは、サブシステムの 1 つを測定しても 2 部エンタングルメントが残るW 状態とは異なります。 ^[要出典]${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

パーティの純粋な状態は、パーティを 2 つの空でない互いに素な部分集合 と に分割して となるものを見つけることができる場合、つまりが分割に関して積状態である場合、双分離可能と呼ばれます。GHZ 状態は非双分離可能であり、局所量子操作によって互いに (確率的にも) 変換できない 3 量子ビット状態の 2 つの非双分離可能クラスのうちの 1 つを表します。もう 1 つはW 状態、です。^{[8] : 903} したがって、 と は、3 つ以上の粒子の 2 つの非常に異なる種類のエンタングルメントを表します。^{[9] W 状態は、ある意味では GHZ 状態よりも「エンタングルメントが少ない」ですが、そのエンタングルメントは、ある意味では、単一粒子測定に対してより堅牢であり、} N量子ビットの W 状態 の場合、単一粒子測定後にエンタングルメントされた ( N  − 1) 量子ビット状態が残ります。対照的に、GHZ 状態に関する特定の測定では、GHZ 状態が混合物または純粋な状態に縮小されます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cup B=\{1,\dots ,N\}}$${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle _{A}\otimes |\gamma \rangle _{B}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle A|B}$${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle =(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )/{\sqrt {3}}}$${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle }$

GHZ状態の実験では、驚くべき非古典的な相関が明らかになった（1989年）。この状態で準備された粒子はベルの定理の一種につながり、有名なアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンの論文で導入された現実の要素の概念の内部矛盾を示している。GHZ相関の最初の実験室観測は、アントン・ツァイリンガーのグループ（1998年）によるもので、ツァイリンガーはこの研究で2022年のノーベル物理学賞を共同受賞した。^{[10]その後、より正確な観測が数多く行われた。この相関は、いくつかの}量子情報タスクで利用できる。これには、マルチパートナー量子暗号（1998年）や通信複雑性タスク（1997年、2004年） などがある。

2 つの状態を区別する GHZ 状態の 3 番目の粒子の測定では、エンタングルメントのないペアが生成されますが、直交方向に沿った測定では、最大限にエンタングルメントされたベル状態が残ることがあります。これは、以下に示されています。

3量子ビットGHZ状態は次のように記述できる。

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|000\rangle +|111\rangle \right)={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)\otimes |+\rangle +{\frac {1}{2}}\left(|00\rangle -|11\rangle \right)\otimes |-\rangle ,}$

ここで、3 番目の粒子は、X基底 ( Z基底ではなく)での重ね合わせとして、およびとして表されます。 ${\displaystyle |0\rangle =(|+\rangle +|-\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |1\rangle =(|+\rangle -|-\rangle )/{\sqrt {2}}}$

3 番目の粒子のX基底に沿った GHZ 状態の測定により、 が測定された場合は、が測定された場合はのいずれかが得られます。後者の場合、 Z量子ゲートを適用して位相を回転させてを得ることができますが、前者の場合、追加の変換は適用されません。どちらの場合も、操作の結果は最大限にエンタングルされたベル状態になります。 ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle =(|00\rangle +|11\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle =(|00\rangle -|11\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |-\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

この例は、GHZ の状態は、どの測定が行われるかによって、最初に見えるよりも微妙であることを示しています。直交方向に沿った測定と、それに続く測定結果に依存する量子変換により、最大限にエンタングルされた状態が残る可能性があります。

GHZ状態は、秘密共有^[11]や量子ビザンチン合意など、量子通信や暗号のいくつかのプロトコルで使用されています。

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