ハバードモデル

ハバードモデルは、導電システムと絶縁システム間の遷移を記述するために使用される近似モデルです。^[1]特に固体物理学で役立ちます。このモデルはジョン・ハバードにちなんで名付けられました。

ハバードモデルによれば、各電子は競合する力を受ける。1つの力は電子を隣接する原子にトンネルさせるように押し、もう1つの力は電子を隣接する原子から遠ざける。[ ^2]そのため、ハミルトニアンは2つの項を持つ。1つは格子サイト間の粒子のトンネル（「ホッピング」）を可能にする運動項、もう1つはサイト内相互作用を反映する電位項である。粒子は、ハバードの元の研究のようにフェルミオン、またはボソンのいずれかであり、後者の場合、モデルは「ボーズ-ハバードモデル」と呼ばれる。

ハバードモデルは、十分に低温での周期的ポテンシャル内の粒​​子に対する有用な近似であり、すべての粒子は最低ブロッホ帯にあると仮定でき、粒子間の長距離相互作用は無視できる。格子の異なる位置にある粒子間の相互作用が含まれる場合、モデルは「拡張ハバードモデル」と呼ばれることが多い。特に、ハバード項（最も一般的にはUと表記される）は、密度汎関数理論（DFT）を使用した第一原理に基づくシミュレーションに適用される。DFTシミュレーションにハバード項を含めることは、電子の局在の予測を改善し、絶縁システムにおける金属伝導の誤った予測を防ぐため重要である。^[3]

ハバード モデルは、タイト バインディング モデルに電子間の短距離相互作用を導入します。タイト バインディング モデルには、運動エネルギー (「ホッピング」項) と格子の原子との相互作用 (「原子」ポテンシャル) のみが含まれます。電子間の相互作用が強い場合、ハバード モデルの動作はタイト バインディング モデルとは質的に異なる可能性があります。たとえば、ハバード モデルは、モット絶縁体の存在を正しく予測します。モット絶縁体は、単位セルあたりの電子数が奇数であるなど、導体の通常の基準を満たしているにもかかわらず、電子間の強い反発により絶縁体となる材料です。

このモデルはもともと1963年に固体中の電子を記述するために提案されました。^[4]ハバード、マーティン・グッツヴィラー、金森淳次郎がそれぞれ独立して提案しました。^[2]

それ以来、高温超伝導、量子磁性、電荷密度波の研究に応用されてきました。 ^[5]

ハバードモデルは固体物理学のタイトバインディング近似に基づいており、これは周期的なポテンシャル（通常は格子と呼ばれる）内を移動する粒子を記述する。実際の材料では、各格子サイトはイオンコアに対応し、粒子はこれらのイオンの価電子となる。タイトバインディング近似では、ハミルトニアンはワニエ状態 で記述される。ワニエ状態は各格子サイトを中心とした局在状態である。隣接する格子サイトのワニエ状態は結合しており、1つのサイトの粒子が別のサイトに「ホップ」できる。数学的には、この結合の強さは、近くのサイト間の「ホッピング積分」または「移動積分」によって与えられる。ホッピング積分の強さが距離とともに急速に低下するとき、システムはタイトバインディング限界にあると言われる。この結合により、各格子サイトに関連付けられた状態が混成化され、そのような結晶系の固有状態はブロッホ関数となり、エネルギーレベルは分離されたエネルギーバンドに分割されます。バンドの幅はホッピング積分の値に依存します。

ハバード模型は、格子の各サイトにある反対のスピンの粒子間の接触相互作用を導入する。ハバード模型を電子系の説明に使用する場合、これらの相互作用は遮蔽されたクーロン相互作用に起因する反発的なものになると予想される。しかし、引力相互作用も頻繁に考慮されてきた。ハバード模型の物理的性質は、系の運動エネルギーを特徴付けるホッピング積分の強さと相互作用項の強さとの間の競合によって決定される。したがって、ハバード模型は、相互作用する特定の系における金属から絶縁体への遷移を説明できる。例えば、この模型は金属酸化物を加熱したときの説明に使用されており、このとき、最近接粒子間隔の対応する増加によってホッピング積分が減少し、オンサイト電位が支配的になる点に達する。同様に、ハバードモデルは、希土類金属の原子番号が増加するにつれて、希土類 パイロクロアなどのシステムで導体から絶縁体への遷移を説明できます。これは、希土類元素の原子番号が増加すると格子定数が増加する（または原子間の角度も変化する）ため、オンサイト反発と比較したホッピング積分の相対的な重要性が変化するためです。

水素原子は、いわゆるs軌道に電子を 1 つ持っており、スピンが上向き ( ) または下向き ( ) のいずれかになります。この軌道は、スピンが上向きの電子 1 つとスピンが下向きの電子 1つの合計 2 つの電子によって占有されます(パウリの排他原理を参照)。 ${\displaystyle \uparrow}$${\displaystyle \downarrow}$

バンド理論によれば、1次元の水素原子鎖では、1s軌道は連続したバンドを形成し、ちょうど半分満たされる。したがって、従来のバンド理論では、1次元の水素原子鎖は導体であると予測される。この1次元の弦は、直接解くことができるほど単純な唯一の構成である。^[2]

しかし、水素原子間の間隔が徐々に広がる場合、ある時点で鎖は絶縁体にならざるを得ません。

ハバードモデルを用いて表現すると、ハミルトニアンは2つの項から構成される。最初の項はシステムの運動エネルギーを表し、ホッピング積分によってパラメータ化される。2番目の項は、電子の反発を表すオンサイト相互作用の強さである。第2量子化記法で書き表すと、ハバードハミルトニアンは次の形式になる。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow },}$

ここで、は - 番目のサイトのスピンのスピン密度演算子です。密度演算子は で、波動関数の - 番目のサイトの占有率はです。通常、tは正とされ、U は正または負のいずれでもかまいませんが、電子システムを考慮する場合は正であると想定されます。 ${\displaystyle {\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}}_{i}\vert \Phi \rangle }$

2 番目の項の寄与がなければ、ハミルトニアンは、通常のバンド理論からの 緊密結合式に解決されます。

2 番目の項を含めると、相互作用とホッピングの比率が変化すると導体から絶縁体への遷移も予測する現実的なモデルが得られます。この比率は、たとえば原子間隔を増やすことで変更できます。これにより、に影響を与えずにの大きさが減ります。 の極限では、チェーンは単に孤立した磁気モーメントのセットに解決されます。が大きすぎない場合、重なり積分によって隣接する磁気モーメント間の超交換相互作用が提供され、モデル パラメータに応じて、強磁性、反強磁性などのさまざまな興味深い磁気相関が発生する可能性があります。 1 次元ハバード モデルは、Bethe 仮説 を使用してLiebと Wuによって解決されました。1990 年代には重要な進歩が達成されました。隠れた対称性が発見され、散乱行列、相関関数、熱力学および量子エンタングルメントが評価されました。^[6]${\displaystyle U/t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U/t\gg 1}$${\displaystyle U/t}$

ハバードは 1D 水素原子鎖などのシステムを説明するのに役立ちますが、より複雑なシステムではハバード モデルが考慮しない他の効果が発生する可能性があることに注意することが重要です。一般に、絶縁体はモット - ハバード絶縁体と電荷移動絶縁体に分けられます。

モット・ハバード絶縁体は次のように記述できる。

${\displaystyle (\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2- }+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.}$

これは、単位セル間の伝導を転送積分で記述できる水素鎖のハバードモデルに類似していると考えられます。

しかし、電子が別の種類の動作を示す可能性もあります。

${\displaystyle \mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.}$

これは電荷移動として知られ、電荷移動絶縁体をもたらします。モット・ハバード絶縁体とは異なり、電子移動は単位格子内でのみ起こります。

複雑なイオン系では、これら両方の効果が存在し、競合する可能性があります。

ハバード模型が任意の次元で解析的に解かれていないという事実は、これらの強く相関した電子系の数値計算法に関する熱心な研究につながった。^{[7] [8]}この研究の主な目標の1つは、このモデルの低温相図、特に2次元相図を決定することである。有限系上のハバード模型の近似数値処理は、さまざまな方法で可能である。

こうした方法の 1 つであるLanczos アルゴリズムは、システムの静的および動的特性を生成できます。この方法を使用した基底状態の計算では、状態の数と同じサイズのベクトルを 3 つ保存する必要があります。状態数はシステムのサイズとともに指数的に増加するため、21 世紀のハードウェアでは格子内のサイトの数が約 20 に制限されます。プロジェクターと有限温度補助場モンテカルロでは、システムの特定の特性を取得できる 2 つの統計的手法が存在します。低温では、いわゆるフェルミオン符号問題により、温度の低下とともに計算量が指数関数的に増加する収束問題が発生します。

ハバード模型は、動的平均場理論(DMFT)で研究することができます。このスキームは、ハバード ハミルトニアンを単一サイト不純物模型にマッピングします。このマッピングは、形式的には無限次元でのみ正確であり、有限次元ではすべての純粋に局所的な相関関係のみの正確な処理に対応します。DMFT を使用すると、与えられたおよび与えられた温度に対するハバード模型の局所グリーン関数を計算できます。DMFT 内では、スペクトル関数の発展を計算でき、相関関係が増加するにつれて上部および下部のハバード バンドの出現を観察できます。 ${\displaystyle U}$

異種2次元遷移金属ジカルコゲニド（TMD）のスタックは、1次元以上の形状をシミュレートするために使用されています。二セレン化タングステンと硫化タングステンが積み重ねられました。これにより、六角形のスーパーセル（2つの材料の関係によって定義される繰り返し単位）で構成されるモアレ超格子が作成されました。各スーパーセルは、単一の原子であるかのように動作します。スーパーセル間の距離は、それらの中の原子の約100倍です。この大きな距離により、スーパーセル間の電子トンネルが大幅に減少します。^[2]

それらはウィグナー結晶を形成するために使用できる。電極を取り付けることで電場を調節することができる。電場は各スーパーセルを満たす電子の数を制御する。スーパーセルあたりの電子数によって、格子がシミュレートする「原子」が実質的に決定される。1つの電子/セルは水素のように動作し、2つの電子/セルはヘリウムのように動作する。2022年現在、最大8つの電子（酸素）を持つスーパーセルをシミュレートできる。シミュレーションの結果の1つは、金属と絶縁体の違いが電場強度の連続関数であることを示した。^[2]

「逆方向」のスタッキング方式では、異常な量子ホール効果（デバイスの端が導体として機能し、内部が絶縁体として機能する）を介してチャーン絶縁体を作成することができます。デバイスは5ケルビンの温度で機能し、効果が最初に観測された温度をはるかに上回りました。^[2]

• アンダーソン不純物モデル
• ブロッホの定理
• 電子バンド構造
• 固体物理学
• ボーズ・ハバードモデル
• tJモデル
• ハイゼンベルクモデル（量子）
• 動的平均場理論
• ストーナー基準

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