動的平均場理論

動的平均場理論（DMFT ）は、強く相関した物質の電子構造を決定する方法である。このような物質では、密度汎関数理論や通常のバンド構造計算で使用される独立した電子の近似は破綻する。動的平均場理論は、電子間の局所相互作用の非摂動的な扱いであり、凝縮物質物理学のほぼ自由な電子ガス限界と原子限界の間のギャップを埋める。^[1]

DMFT は、多体格子問題を不純物モデルと呼ばれる多体局所問題にマッピングすることから成ります。 ^[2]格子問題は一般に扱いにくいですが、不純物モデルは通常、さまざまなスキームを通じて解決できます。マッピング自体は近似を構成しません。通常の DMFT スキームで行われる唯一の近似は、格子の自己エネルギーが運動量に依存しない (局所的な) 量であると仮定することです。この近似は、無限の配位を持つ格子の極限で正確になります。^[3]

DMFTの主な成功の1つは、電子相関の強度が増大した場合の金属とモット絶縁体間の相転移を記述したことです。密度汎関数理論の局所密度近似と組み合わせて、実際の材料に適用することに成功しました。^{[4] [5]}

格子量子モデルのDMFT処理は、イジングモデルなどの古典モデルの平均場理論（MFT）処理に似ています。^[6]イジングモデルでは、格子問題は有効な単一サイト問題にマッピングされ、その磁化は有効な「平均場」を介して格子磁化を再現します。この条件は自己無撞着条件と呼ばれます。これは、単一サイトの観測可能量が、有効場によって格子の「局所的」観測可能量を再現する必要があることを規定しています。Nサイトイジングハミルトニアンは解析的に解くのが困難ですが（現在までに、解析解は1Dと2Dの場合のみ存在します）、単一サイト問題は簡単に解けます。

同様に、DMFT は格子問題 (例:ハバード モデル)を単一サイトの問題にマッピングします。DMFT では、局所観測量は局所グリーン関数です。したがって、DMFT の自己無撞着条件は、不純物グリーン関数が、DMFT では不純物モデルの混成関数である有効平均場を介して格子局所グリーン関数を再現することです。DMFT の名前は、平均場が時間依存、つまり動的であるという事実に由来しています。これは、Ising MFT と DMFT の主な違いも示しています。Ising MFT は、N スピン問題を単一サイト、単一スピン問題にマッピングします。DMFT は、格子問題を単一サイト問題にマッピングしますが、後者は基本的に、電子間相関による時間的変動を捉える N 体問題のままです。 ${\displaystyle \Delta (\tau )}$${\displaystyle \Delta (\tau )}$

ハバードモデル^[7]は、反対のスピンを持つ電子間のオンサイト相互作用を単一のパラメータで記述する。ハバードハミルトニアンは次の形を取ることができる。 ${\displaystyle U}$

${\displaystyle H_{\text{ハバード}}=t\sum _{\langle ij\rangle \sigma }c_{i\sigma }^{\dagger }c_{j\sigma }+U\sum _{i}n_{i\uparrow }n_{i\downarrow }}$

ここで、スピン1/2の指数を抑制して、サイト の局在軌道上の電子の生成および消滅演算子を表し、 となります。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle c_{i}^{\dagger },c_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n_{i}=c_{i}^{\dagger }c_{i}}$

以下の仮定が立てられています。

• 電子特性に寄与するのは1つの軌道のみである（超伝導銅酸化物中の銅原子の場合のように、その-バンドは非縮退である）。${\displaystyle d}$
• 軌道は非常に局所化されているため、最近傍ホッピングのみが考慮される。${\displaystyle t}$

ハバード モデルは、一般に、通常の摂動展開技術では扱いにくい。DMFT は、この格子モデルをいわゆるアンダーソン不純物モデル(AIM) にマッピングする。このモデルは、混成関数を介して、1 つのサイト (不純物) と電子レベルの「バス」(消滅演算子と生成演算子 で記述) との相互作用を記述する。この単一サイト モデルに対応するアンダーソン モデルは、単一軌道アンダーソン不純物モデルであり、そのハミルトニアン定式化は、いくつかのスピン 1/2 インデックス を抑制して、次のようになる。 ${\displaystyle a_{p\sigma}}$${\displaystyle a_{p\sigma}^{\dagger}}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle H_{\text{AIM}}=\underbrace {\sum _{p}\epsilon _{p}a_{p}^{\dagger }a_{p}} _{H_{\text{bath}}}+\underbrace {\sum _{p\sigma }\left(V_{p}^{\sigma }c_{\sigma }^{\dagger }a_{p\sigma }+hc\right)} _{H_{\text{mix}}}+\underbrace {Un_{\uparrow }n_{\downarrow }-\mu \left(n_{\uparrow }+n_{\downarrow }\right)} _{H_{\text{loc}}}}$

どこ

• ${\displaystyle H_{\text{風呂}}}$浴槽の非相関電子レベルを記述する${\displaystyle \epsilon_{p}}$
• ${\displaystyle H_{\text{loc}}}$不純物を記述し、2つの電子がエネルギーコストで相互作用する${\displaystyle U}$
• ${\displaystyle H_{\text{mix}}}$混成項を通して不純物と浴の間の混成（または結合）を記述する${\displaystyle V_{p}^{\sigma }}$

このモデルの松原グリーン関数は によって定義され、パラメータと、の虚数時間フーリエ変換であるいわゆる混成関数によって完全に決定されます。 ${\displaystyle G_{\text{imp}}(\tau )=-\langle Tc(\tau )c^{\dagger }(0)\rangle }$${\displaystyle U,\mu }$${\displaystyle \Delta _{\sigma }(i\omega _{n})=\sum _{p}{\frac {|V_{p}^{\sigma }|^{2}}{i\omega _{n}-\epsilon _{p}}}}$${\displaystyle \Delta _{\sigma }(\tau )}$

この混成関数は、電子が浴に出入りするダイナミクスを記述します。この関数は、不純物グリーン関数が局所格子グリーン関数と同じになるように格子ダイナミクスを再現します。この関数は、相互作用しないグリーン関数と次の関係で関連しています。

${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})=i\omega _{n}+\mu -\Delta (i\omega _{ n})}$（１）

アンダーソン不純物模型を解くには、与えられた混成関数とに対する相互作用グリーン関数などの観測量を計算する必要がある。これは難しいが、解決不可能な問題ではない。AIMを解く方法はいくつかある。例えば、 ${\displaystyle G(i\omega _{n})}$${\displaystyle \Delta (i\omega _{n})}$${\displaystyle U,\mu }$

• 数値繰り込み群
• 正確な対角化
• 反復摂動理論
• 非交差近似
• 連続時間量子モンテカルロアルゴリズム

自己無撞着条件は、不純物グリーン関数が局所格子グリーン関数と一致することを要求する。 ${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(\tau )}$${\displaystyle G_{ii}(\tau )=-\langle Tc_{i}(\tau )c_{i}^{\dagger }(0)\rangle }$

${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=G_{ii}(i\omega _{n})=\sum _{k}{\frac {1}{i\omega _{n}+\mu -\epsilon (k)-\Sigma (k,i\omega _{n})}}}$

ここで、は格子の自己エネルギーを表します。 ${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})}$

唯一の DMFT 近似は（アンダーソン モデルを解くために行える近似を除いて）、格子自己エネルギーの空間変動を無視し、それを不純物自己エネルギーと等しくすることです。

${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{imp}(i\omega _{n})}$

この近似は、格子の配位が無限大の限界、つまり各サイトの隣接数が無限大のときに正確になります。実際、格子の自己エネルギーの図式的展開では、無限配位の限界に入ると、局所的な図式のみが残ることが示せます。

したがって、古典的な平均場理論と同様に、DMFT は次元数 (つまり近傍の数) が増加するにつれて精度が増すと考えられます。言い換えると、低次元の場合、空間変動によって DMFT 近似の信頼性が低下します。

空間的変動は相転移の近傍でも重要になります。ここで、DMFT と古典的な平均場理論は平均場臨界指数をもたらし、相転移前の顕著な変化は DMFT 自己エネルギーに反映されません。

局所格子グリーン関数を見つけるには、対応する不純物グリーン関数が求めている局所格子グリーン関数と一致するように混成関数を決定する必要があります。この問題を解く最も一般的な方法は、前方再帰法を使用することです。つまり、与えられた、および温度に対して、次のようになります。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle T}$

1. （通常は）を推測することから始めます。${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})}$${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})=0}$
2. DMFT 近似を作成します。 ${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$
3. 局所グリーン関数を計算する${\displaystyle G_{\mathrm {loc} }(i\omega _{n})}$
4. 動的平均場を計算する${\displaystyle \Delta (i\omega )=i\omega _{n}+\mu -G_{\mathrm {loc} }^{-1}(i\omega _{n})-\Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$
5. 新しい不純物グリーン関数のAIMを解き、その自己エネルギーを抽出します。${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})-(G_{\mathrm {imp} })^{-1}(i\omega _{n})}$
6. 収束するまで、つまり になるまで、ステップ 2 に戻ります。${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }^{n}=G_{\mathrm {imp} }^{n+1}}$

局所格子グリーン関数とその他の不純観測量を使用して、相関、帯域幅、充填率（化学ポテンシャル）、温度の関数としていくつかの物理量を計算できます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$

• スペクトル関数（バンド構造を与える）
• 運動エネルギー
• サイトの二重占有
• 応答関数（圧縮率、光伝導率、比熱）

特に、が増加するにつれて二重占有率が低下することは、モット遷移の特徴です。 ${\displaystyle U}$

DMFT にはいくつかの拡張機能があり、上記の形式論を多軌道、多サイト問題、長距離相関、非平衡に拡張します。

DMFTは、複数の軌道、すなわち、とが異なる軌道を表す形の電子-電子相互作用を持つハバードモデルに拡張できます。密度汎関数理論（DFT+DMFT）^{[4] [8]}との組み合わせにより 、相関物質の現実的な計算が可能になります。^[9]${\displaystyle U_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

拡張 DMFT は非局所相互作用の局所不純物自己エネルギーを生成し、したがってtJ モデルなどのより一般的なモデルに DMFT を適用できるようになります。

DMFT 近似を改善するために、ハバード モデルをマルチサイト不純物 (クラスター) 問題にマッピングすることができます。これにより、不純物の自己エネルギーに空間依存性を追加できます。クラスターには、低温では 4 ～ 8 個のサイトが含まれ、高温では最大 100 個のサイトが含まれます。

典型的媒体動的クラスター近似（TMDCA）は、動的クラスター近似（DCA）に基づいて構築された、強く相関した多体系の電子基底状態を取得するための非摂動的なアプローチです。^[10]

DMFTを超える自己エネルギーの空間依存性は、相転移近傍の長距離相関を含め、解析的手法と数値的手法を組み合わせたDMFT ^[11]の図式的拡張によっても得ることができる。動的頂点近似^[12] と双対フェルミオンアプローチの 出発点は、局所的な2粒子頂点である。

DMFTは非平衡輸送と光励起の研究に利用されてきた。^{[13]ここで、}平衡外のAIMグリーン関数の信頼性の高い計算は大きな課題として残っている。DMFTは、熱力学的数の種を含むコミュニティの平均場ダイナミクスを記述するために生態学的モデルにも適用されてきた。 ^[14]

• 強く相関する物質

• 強相関物質: 動的平均場理論からの洞察 G. Kotliar と D. Vollhardt
• 強相関物質に対する LDA + DMFT アプローチに関する講義ノート Eva Pavarini、Erik Koch、Dieter Vollhardt、Alexander Lichtenstein (編)
• 講義ノート DMFT at 25: Infinite Dimensions Eva Pavarini、Erik Koch、Dieter Vollhardt、Alexander Lichtenstein (編)
• 講義ノート DMFT – 無限次元から現実の材料へ Eva Pavarini、Erik Koch、Dieter Vollhardt、Alexander Lichtenstein (編)
• 講義ノート 相関電子の動的平均場理論 Eva Pavarini、Erik Koch、Dieter Vollhardt、Alexander Lichtenstein (編)
• 2サイトハバードダイマーのDMFT：材料のための動的平均場理論、エヴァ・パヴァリーニ
• https://www.cond-mat.de/events/correl21/manuscripts/pavarini.pdf
• 2サイトハバードダイマーのDMFT：材料における強相関問題の解決、エヴァ・パヴァリーニ
• https://doi.org/10.1007/s40766-021-00025-8