アンダーソン不純物モデル

アンダーソン不純物モデルは、フィリップ・ウォーレン・アンダーソンにちなんで名付けられた、金属に埋め込まれた磁性不純物を記述するために使用されるハミルトニアンである。^{[1]これは、}重い電子系^[3]や近藤絶縁体^[要出典]などの近藤効果型の問題^[2] の記述によく適用される。最も単純な形式では、このモデルには、伝導電子の運動エネルギーを記述する項、不純物エネルギーレベルをモデル化するオンサイトクーロン反発を伴う2レベルの項、および伝導軌道と不純物軌道を結合する混成項が含まれる。単一の不純物の場合、ハミルトニアンは次の形式になる^[1]。

${\displaystyle H=\sum _{k,\sigma }\epsilon _{k}c_{k\sigma }^{\dagger }c_{k\sigma }+\sum _{\sigma }\epsilon _{\sigma }d_{\sigma }^{\dagger }d_{\sigma }+Ud_{\uparrow }^{\dagger }d_{\uparrow }d_{\downarrow }^{\dagger }d_{\downarrow }+\sum _{k,\sigma }V_{k}(d_{\sigma }^{\dagger }c_{k\sigma }+c_{k\sigma }^{\dagger }d_{\sigma })}$、

ここで、演算子 は伝導電子の消滅演算子、は不純物の消滅演算子、は伝導電子の波数ベクトル、 はスピンを表します。オンサイトクーロン反発は であり、混成を与えます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

このモデルは、不純物エネルギーレベルとフェルミレベル の関係に依存するいくつかの領域を生み出します。 ${\displaystyle E_{\rm {F}}}$

• または の空軌道領域。局所モーメントはありません。${\displaystyle \epsilon _{d}\gg E_{\rm {F}}}$${\displaystyle \epsilon _{d}+U\gg E_{\rm {F}}}$
• またはの中間状態。${\displaystyle \epsilon _{d}\approx E_{\rm {F}}}$${\displaystyle \epsilon _{d}+U\approx E_{\rm {F}}}$
• の局所モーメント領域。不純物に磁気モーメントが生じます。${\displaystyle \epsilon _{d}\ll E_{\rm {F}}\ll \epsilon _{d}+U}$

局所モーメント領域では、磁気モーメントは不純物サイトに存在します。しかし、十分に低い温度では、磁気モーメントは近藤遮蔽され、非磁性の多体シングルト状態になります。^{[2] [3]}

重いフェルミオン系では、不純物の格子は周期的アンダーソンモデルによって記述される。^[3] 1次元モデルは

${\displaystyle H=\sum _{k,\sigma }\epsilon _{k}c_{k\sigma }^{\dagger }c_{k\sigma }+\sum _{j,\sigma }\epsilon _{f}f_{j\sigma }^{\dagger }f_{j\sigma }+U\sum _{j}f_{j\uparrow }^{\dagger }f_{j\uparrow }f_{j\downarrow }^{\dagger }f_{j\downarrow }+\sum _{j,k,\sigma }V_{jk}(e^{ikx_{j}}f_{j\sigma }^{\dagger }c_{k\sigma }+e^{-ikx_{j}}c_{k\sigma }^{\dagger }f_{j\sigma })}$、

ここで、 は不純物サイトの位置であり、は不純物生成演算子です（重いフェルミオン系では慣例的に の代わりに使用されます）。混成項により、重いフェルミオン系のf軌道電子は、ヒル限界よりも大きな距離で隔てられても相互作用することができます。 ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d}$

アンダーソン模型にはSU(4)アンダーソン模型^[要出典]など他のバリエーションもあり、これは軌道自由度とスピン自由度を持つ不純物を記述するために使用される。これはカーボンナノチューブ量子ドット系に関係する。SU(4)アンダーソン模型のハミルトニアンは

${\displaystyle H=\sum _{k,\sigma }\epsilon _{k}c_{k\sigma }^{\dagger }c_{k\sigma }+\sum _{i,\sigma }\epsilon _{d}d_{i\sigma }^{\dagger }d_{i\sigma }+\sum _{i,\sigma ,i'\sigma '}{\frac {U}{2}}n_{i\sigma }n_{i'\sigma '}+\sum _{i,k,\sigma }V_{k}(d_{i\sigma }^{\dagger }c_{k\sigma }+c_{k\sigma }^{\dagger }d_{i\sigma })}$、

ここで、 は軌道の自由度（2 つの値のいずれかを取る）を表し、 は不純物の 数演算子を表します。${\displaystyle i}$${\displaystyle i'}$${\displaystyle n}$

• ハバードモデル
• 近藤効果
• 近藤モデル
• アンダーソンのローカリゼーション