フェルマーの螺旋

フェルマーの螺旋または放物線螺旋は、螺旋の周りの連続する2つの完全な回転の間の面積が不変であるという特性を持つ平面曲線です。その結果、回転間の距離は螺旋の中心からの距離に反比例して大きくなります。これは、この距離が不変であるアルキメデスの螺旋や、回転間の距離が中心からの距離に比例する対数螺旋とは対照的です。フェルマーの螺旋は、ピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられました。^[1]

その応用としては、曲線の曲率連続ブレンド^{[1] 、}植物の成長や特定の渦巻き銀河の形状のモデリング、可変コンデンサ、太陽光発電反射鏡アレイ、サイクロトロンの設計などがあります。

座標表現

ポーラー

フェルマー螺旋の極座標 $（ r 、 φ ）$ での表現は、 $φ\geq0$ $の$ 式で与えられます。 $r=\pm a{\sqrt {\varphi }}$

このパラメータは、スパイラルのサイズに影響しますが、形状には影響しないスケーリング係数です。 $a$

2 つの符号の選択により、螺旋の 2 つの枝が与えられ、原点で滑らかに交わります。同じ変数を直交座標として再解釈すると、これは水平軸を持つ放物線の方程式となり、これも軸の上下に 2 つの枝があり、原点で交わります。

デカルト

極方程式を持つフェルマー螺旋は、標準変換式 $x$ $=$ $r$ $cos$ $φ$ および $y$ $=$ $r$ $sin$ $φ$ を使用して、直交座標 $($ $x$ $、$ $y$ $)$ に変換できます。螺旋の極方程式を使用してこれらの変換から $r を$ 除去すると、曲線の 1 つの枝に対するパラメトリック方程式が生成されます。 $r=\pm a{\sqrt {\varphi }}$

{\begin{cases}x(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\ sin(\varphi )\end{cases}}

そして2つ目は

{\begin{cases}x(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\ sin(\varphi )\end{cases}}

$パラメータφ が$ 正の実数の範囲にあるとき、曲線の分岐点を生成します。

このようにして生成された任意の $(x, y)$ について、 $x を$ $y$ で割ると、パラメトリック方程式の $a \sqrt φ$ 部分がキャンセルされ、より単純な方程式が残ります $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠x/ええ⁠ = cot φ$ 。この式から、 $φ を$ $φ$ $=$ $⁠$ に $r2 ... / 2 つ ⁠$ (螺旋の極座標方程式を変形したもの)、次に $r を$ $r = \sqrt x 2 + y 2$ (直交座標から極座標への変換)で $代入すると、 x$ と $y$ のみに関するフェルマー螺旋の方程式が得られます。a $は$ 二乗すると符号が失われるため ${\frac {x}{y}}=\cot \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right).$

幾何学的特性

フェルマーの螺旋は平面を 2 つの連結した合同な領域に分割します (図: 黒と白)

平面の分割

完全なフェルマーの螺旋（両方の枝）は、アルキメデスの螺旋や双曲螺旋とは対照的に、滑らかな2 点自由曲線です。直線や円、放物線のように、平面を 2 つの接続された領域に分割します。

極傾斜

極座標のベクトル計算から次の式が得られる。

\tan \alpha ={\frac {r'}{r}}

極傾斜と、曲線の接線と対応する極円との間の角度 $α$ について(図を参照)。

フェルマーの螺旋 $r = a \sqrt φ$ の場合、

\tan \alpha ={\frac {1}{2\varphi }}.

したがって、傾斜角度は単調に減少します。

曲率

式から

\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}

$極方程式r = r (φ)$ とその導関数を持つ曲線の曲率

{\begin{aligned}r'&={\frac {a}{2{\sqrt {\varphi }}}}={\frac {a^{2}}{2r}}\\r''&=-{\frac {a}{4{\sqrt {\varphi }}^{3}}}=-{\frac {a^{4}}{4r^{3}}}\end{aligned}}

フェルマーの螺旋の曲率が得られます。 $\kappa (r)={\frac {2r\left(4r^{4}+3a^{4}\right)}{\left(4r^{4}+a^{4}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

原点では曲率は 0 です。したがって、完全な曲線は原点に変曲点を持ち、 $x$ 軸はそこでの接線となります。

円弧間の面積

フェルマー螺旋の2点 $($ $r$ $($ $φ1$ $)$ $,$ $φ1$ $)$ $と$ ( $r$ $($ $φ2$ $)$ $,$ $φ2$ $)$ $の$ $間$ の扇形の面積は

{\begin{aligned}{\underline {A}}&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi \,d\varphi \\&={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}^{2}-\varphi _{1}^{2}\right)\\&={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}+\varphi _{1}\right)\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).\end{aligned}}

$両方の角度を2π$ 上げると $、$

{\overline {A}}={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}+\varphi _{1}+4\pi \right)\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)={\underline {A}}+a^{2}\pi \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).

したがって、 2 つの隣接する円弧間の領域の面積 $Aは$ $、$ 角度自体ではなく、2 つの角度の差のみによって決まります。 $A=a^{2}\pi \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).$

図に示す例では、隣接するストライプの面積はすべて同じです: $A 1 = A 2 = A 3$ 。

この特性は電気工学において可変コンデンサーの構築に利用される。^[2]

フェルマーによる特別なケース

1636年、フェルマーはマリン・メルセンヌに宛てた手紙^[3]の中で、次のような特殊なケースを述べている。

$φ 1 = 0、 φ 2 = 2 π$ とすると、黒い領域の面積（図を参照）は $A 0 = a 2 π 2となり、これは半径$ $r$ $(2$ $π$ $)$ の円 $K 0$ の面積の半分になります。隣接する曲線（白、青、黄）の間の領域の面積は同じで、 $A$ $=$ $2$ $a$ $2$ $π$ $2$ です。したがって、

螺旋を一周した後の 2 つの弧の間の面積は、円 $K 0$ の面積に等しくなります。

弧の長さ

フェルマーの螺旋の2点間の弧の長さ（ $r （ φ i ）、 φ i ）$ は積分によって計算できる。

${\begin{aligned}L&=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {1}{\varphi }}+4\varphi }}\,d\varphi .\end{aligned}}$

この積分は楕円積分につながり、数値的に解くことができます。

フェルマー螺旋の正の枝の原点からの弧の長さは、超幾何関数 $2 F 1 (a, b; c; z)$ と不完全ベータ関数 $B(z; a, b)$ によって定義されることもできる。^[4]

${\begin{aligned}L&=a\cdot {\sqrt {\varphi }}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\tfrac {1}{2}},\,{\tfrac {1}{4}};\,{\tfrac {5}{4}};\,-4\cdot \varphi ^{2}\right)\\&=a\cdot {\frac {1-i}{8}}\cdot \operatorname {B} \left(-4\cdot \varphi ^{2};\,{\tfrac {1}{4}},\,{\tfrac {3}{2}}\right)\\\end{aligned}}$

円反転

単位円における反転は、極座標では $(r, φ) \mapsto (⁠ 1 / r ⁠ 、 φ)$ 。

$フェルマーの螺旋r = a \sqrt φの$ 単位円での反転の像は、極方程式を持つリトゥス螺旋 $で$ ある。φ $=$ $⁠$ $r={\frac {1}{a{\sqrt {\varphi }}}}.$ $1 / 2 つ ⁠$ 、両方の曲線は単位円上の固定点で交差します。
フェルマー螺旋の変曲点（原点）における接線（ $x$ 軸）は、それ自身にマッピングされ、リトゥス螺旋の漸近線となります。

黄金比と黄金角

ヒマワリやデイジーのようなディスク葉序では、螺旋の網目はフィボナッチ数列で発生する。これは、分岐（単一の螺旋配列における連続角度）が黄金比に近づくためである。螺旋の形状は、連続的に生成される要素の成長に依存する。成熟したディスク葉序では、すべての要素が同じサイズの場合、螺旋の形状は理想的にはフェルマー螺旋の形状になる。これは、フェルマー螺旋が等しい回転で等しい環状領域を横切るためである。1979年にH.フォーゲルによって提案された完全なモデル^[5]は、

${\begin{aligned}r&=c{\sqrt {n}},\\\theta &=n\times 137.508^{\circ },\end{aligned}}$

ここで $θ$ は角度、 $r$ は中心からの半径または距離、 $n$ は小花の指数、 $cは$ 定数のスケーリング係数です。角度137.508°は黄金角であり、フィボナッチ数列の比で近似されます。^[6]

Vogel のモデルによって生成された小花のパターン (中央の画像)。他の 2 つの画像は、角度の値がわずかに異なる場合のパターンを示しています。

結果として得られる単位円板の螺旋パターンは、対数螺旋上に配置された、幾何学的に増加する半径の接線円板によって形成されるパターンであるドイル螺旋とは区別する必要があります。

太陽光発電所

フェルマーの螺旋は、集光型太陽光発電所の鏡の効率的な配置であることもわかっています。^[7]

参照

参考文献

^ ab Lekkas, Anastasios M.; Dahl, Andreas R.; Breivik, Morten; Fossen, Thor I. (2013). 「フェルマーの螺旋を用いた連続曲率パス生成」(PDF) .モデリング、識別、制御. 34 (4): 183–198. ISSN 1890-1328. 2020-10-28にオリジナル(PDF)からアーカイブ。
^ フリッツ・ヴィッケ (2013). Die höhere Mathematik の Einführung。スプリンガー・フェルラーク。 p. 414.ISBN 978-3-662-36804-6。
^ ポール・タンナリー (編集)。「フェルマー・ア・メルセンヌの手紙 1636 年 3 月」。フェルマーの声。 Vol. 3.p. 277.
^ Weisstein, Eric W.「フェルマーの螺旋」。MathWorld 。 2023年2月4日閲覧。
^ Vogel, H. (1979). 「ヒマワリの頭を作るためのより良い方法」.数学生物科学. 44 (3–4): 179–189. doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4.
^ Prusinkiewicz, Przemyslaw ; Lindenmayer, Aristid (1990). 植物のアルゴリズム的美. Springer-Verlag. pp. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8。
^ Noone, Corey J.; Torrilhon, Manuel; Mitsos, Alexander (2011 年12 月)。「ヘリオスタットフィールド最適化: 計算効率の高い新しいモデルとバイオミメティックレイアウト」。太陽エネルギー。86 (2): 792–803。doi :10.1016/ j.solener.2011.12.007。

さらに読む

ローレンス、J. デニス (1972)。特殊平面曲線カタログ。ドーバー出版。pp. 31、186。ISBN 0-486-60288-5。

外部リンク

「フェルマー螺旋」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
JSXGraph (JavaScript) を使用したオンライン探索
フェルマーの自然螺旋、sciencenews.org

[Lekkas-1] Lekkas, Anastasios M.; Dahl, Andreas R.; Breivik, Morten; Fossen, Thor I. (2013). 「フェルマーの螺旋を用いた連続曲率パス生成」(PDF) .モデリング、識別、制御. 34 (4): 183–198. ISSN 1890-1328. 2020-10-28にオリジナル(PDF)からアーカイブ。

[2] フリッツ・ヴィッケ (2013). Die höhere Mathematik の Einführung。スプリンガー・フェルラーク。 p. 414.ISBN 978-3-662-36804-6。

[Fermat-3] ポール・タンナリー (編集)。「フェルマー・ア・メルセンヌの手紙 1636 年 3 月」。フェルマーの声。 Vol. 3.p. 277.

[4] Weisstein, Eric W.「フェルマーの螺旋」。MathWorld 。 2023年2月4日閲覧。

[5] Vogel, H. (1979). 「ヒマワリの頭を作るためのより良い方法」.数学生物科学. 44 (3–4): 179–189. doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4.

[6] Prusinkiewicz, Przemyslaw ; Lindenmayer, Aristid (1990). 植物のアルゴリズム的美. Springer-Verlag. pp. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8。

[7] ^ Noone, Corey J.; Torrilhon, Manuel; Mitsos, Alexander (2011 年12 月)。「ヘリオスタットフィールド最適化: 計算効率の高い新しいモデルとバイオミメティックレイアウト」。太陽エネルギー。86 (2): 792–803。doi :10.1016/ j.solener.2011.12.007。