初期トポロジ

一般位相幾何学や関連する数学の分野において、集合上の関数の族 に関する初期位相（または誘導位相^{[1] [2]}、強位相、極限位相、射影位相）は、それらの関数を連続にする上の最も粗い位相である。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

部分空間位相と積位相の構成は、どちらも初期位相の特殊なケースです。実際、初期位相の構成は、これらを一般化したものと考えることができます。

双対概念は最終位相であり、これは、集合にマッピングされる関数の特定の族に対して、それらの関数を連続にする 上の最も細かい位相です。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

集合と関数を持つ 位相空間のインデックス付き族が与えられた場合、 上の 初期位相は、それぞれ が連続するような 上 の最も粗い位相です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y_{i}\right)_{i\in I}}$$${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$$

開集合による定義

がでインデックス付けされた位相の族である場合、これらの位相の最小上界位相は、 上の各位相よりも細かい最も粗い位相である。この位相は常に存在し、 ^[3]によって生成される位相に等しい。${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau_{i}.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}\tau _{i}}.}$

任意の に対して が 上の位相を表す場合、は上の位相であり、の写像によるの初期位相は、位相の - インデックス付き族( に対して)の最小上界位相です。 ^[3]明示的に、初期位相は、の形式すべての集合によって生成される 開集合のコレクションです。ここで、は有限交差と任意の和の下で、 いくつかの に対しての開集合です。${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle Y_{i},}$${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)=\left\{f_{i}^{-1}(V):V\in \sigma _{i}\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle i\in I,}$

形式の集合は、しばしば円筒集合と呼ばれます。に要素が 1 つだけ含まれる場合、初期位相のすべての開集合は円筒集合です。 ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (X,\tau )}$

いくつかの位相的構成は、初期位相の特殊なケースとみなすことができます。

• 部分空間位相は、包含写像に関する部分空間上の初期位相です。
• 積位相は、射影マップの族に関する初期位相です。
• 任意の空間および連続写像の逆システムの逆極限は、標準射によって決定される初期位相と集合論的逆極限を組み合わせたものである。
• 局所凸空間上の弱位相は、その双対空間の連続線型形式に関する初期位相です。
• 固定された集合上の位相の族が与えられたとき、関数に関する上の初期位相は、上の位相の格子における位相の上限（または結合）である。つまり、初期位相は、位相の和集合によって生成される位相である。${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {id} _{i}:X\to \left(X,\tau _{i}\right)}$${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}.}$
• 位相空間が完全に正則であるためには、その位相空間が（有界な）実数値連続関数の族に関して初期位相を持つ必要がある。
• あらゆる位相空間は、からシェルピンスキー空間への連続関数の族に関する初期位相を持ちます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

上の初期位相は、次のような特性によって特徴付けられる。ある空間からへの関数 が連続であるためには、各に対して連続でなければならない。^[4]${\displaystyle X}$
${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}\circ g}$${\displaystyle i\in I.}$

非常に似ているように見えますが、これは普遍的な特性ではないことに注意してください。カテゴリ別の説明は以下に記載されています。

フィルタが 点に収束するのは、プレフィルタが任意の^[4]に対して収束する場合のみである。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$${\displaystyle i\in I.}$

積位相の普遍的性質により、連続写像の任意の族は一意の連続写像を決定すること が分かる。${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}}$$

この地図は評価マップ[^要出典]

マップのファミリーは${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$内の点を分離する場合、内のすべての点に対してとなるものが存在し族が点を分離する場合、関連付けられている評価マップが単射で。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y).}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle f}$

評価マップは、マップによって決定された初期位相を持ち、このマップの族が点を分離する場合に限り、位相的埋め込みとなる。${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle X.}$

が によって誘導される初期位相を持ち、任意の がハウスドルフである場合、 がハウスドルフ空間であることは、これらの写像が^[3]上の点を分離する場合に限ります。${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

が-インデックス付き写像族によって誘導される初期位相を持ち、任意の に対して上の位相が(上の範囲として)ある- インデックス付き写像族によって誘導される初期位相である場合、によって誘導される 上の初期位相は、上の範囲として、上の範囲として、の - インデックス付き写像族によって誘導される初期位相に等しい^[5] この事実のいくつかの重要な系がここで与えられている。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}}$${\displaystyle \left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$${\displaystyle j}$${\displaystyle J_{i}.}$

特に、の場合、を継承する部分空間位相は、によって定義される包含写像によって誘導される初期位相に等しい。したがって、がによって誘導される初期位相を持つ場合、を継承する部分空間位相は、の制約によってに誘導される初期位相に等しい^[4]${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\to X}$${\displaystyle s\mapsto s}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle S.}$

上の積位相は、が 上を範囲とするとき、正準射影によって誘導される初期位相に等しい^[4]。したがって、によって誘導される 上 の初期位相は、評価写像による上の積位相の逆像に等しい^[4]。 さらに、写像が上の点を分離する場合、評価写像は積空間の部分空間への同相写像である^[4]。${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$${\displaystyle \operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}.}$

空間に位相が備わっている場合、 上の位相が 上の写像の何らかの族によって誘導される初期位相であるかどうかを知ることは、多くの場合役に立ちます。このセクションでは、十分な（ただし必要ではない）条件を示します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

写像の族が内の閉集合から点を分離するとは、および内のすべての閉集合に対して、となるような ものが存在する場合をいいます。 ここで、 は閉包演算子を表します。 ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\not \in A,}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$$${\displaystyle \operatorname {cl} }$

定理。連続写像の族が閉集合から点を分離するのは、上の開円筒集合が上の位相の基底を形成する場合のみである。${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle f_{i}^{-1}(V),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y_{i},}$${\displaystyle X.}$

したがって、点を閉集合から分離するときはいつでも、空間は写像によって誘導される初期位相を持つことになります。逆は失敗します。なぜなら、一般に円筒集合は初期位相のサブベースのみを形成し (ベースではなく) るからです。 ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}.}$

空間がT ₀空間である場合、点を閉集合から分離するマップのコレクションは、点も分離する必要があります。この場合、評価マップは埋め込みになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$${\displaystyle X}$

が でインデックス付けされた上の一様構造の族である場合、の最小上限一様構造は、 上の各一様構造よりも細かい最も粗い一様構造です。この一様構造は常に存在し、フィルタサブベース^[6]によって生成された 上のフィルタに等しくなります。 が一様構造によって誘導される上の位相である 場合、最小上限一様構造に関連付けられた 上の位相は、 の最小上限位相に等しくなります。^[6]${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}.}$${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.}$${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.}$

ここで、 が写像の族であり、任意の に対してが上の一様構造であるとします。すると、の写像による初期の一様構造は、をすべて一様連続にする上の唯一の最も粗い一様構造です。 ^[6]これは、一様構造の - インデックス族の最小上限一様構造に等しくなります( について)。^[6]によって誘導される 上の位相は、すべての が連続するような 上の最も粗い位相です。^[6] 初期の一様構造は、恒等写像が一様連続になるような最も粗い一様構造にも等しくなります。^[6]${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$${\displaystyle Y_{i}.}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \operatorname {id} :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)}$

ハウスドルフ性:初期一様構造によって誘導される上の位相がハウスドルフであるための必要十分条件は、 に対してが異なる場合 ( ) に、 および の周辺が存在することであり、^[6] さらに、任意のインデックスに対して によって誘導される上の位相がハウスドルフであるための必要十分条件は、 が上の点を分離することである^[6] (または、評価写像が単射である場合に限ります) ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$${\displaystyle X}$${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$

一様連続性： が写像によって誘導される初期の一様構造である場合、ある一様空間からへの関数が一様連続であるためには、 が各 に対して一様連続である必要があります^[6]${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

コーシーフィルタ:上のフィルタが 上の コーシーフィルタであるのは、任意の 上のコーシープレフィルタが 上の場合のみである^[6]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

初期の均一構造の推移性: 上記の「初期のトポロジーの推移性」の記述で「トポロジー」という単語を「均一構造」に置き換えると、結果の記述も真になります。

圏論の言語では、初期の位相構成は次のように記述できる。 を離散圏から を写像する位相空間の圏への関手とする。 を から への通常の忘却関手とする。すると、写像はから への錐として考えることができる。つまり、 はからへの錐の圏の対象である。より正確には、この錐はにおける -構造化されたコシンクを定義する。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$${\displaystyle j\mapsto Y_{j}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {Top} }$${\displaystyle \mathrm {Set} }$${\displaystyle f_{j}:X\to Y_{j}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle UY.}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})}$${\displaystyle UY.}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {Set} .}$

忘却関手は関手 を誘導します。初期位相の特性は、からへの普遍射、つまりカテゴリ の終端オブジェクトが存在するというステートメントと同等です。明示的には、これは 内のオブジェクトと、内の任意のオブジェクトと射に対して、次の図が可換となる一意の射が存在するような 射から構成されます。 ${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$${\displaystyle {\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)}$${\displaystyle {\bar {U}}}$${\displaystyle (X,f);}$${\displaystyle \left({\bar {U}}\downarrow (X,f)\right).}$
${\displaystyle I(X,f)}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$${\displaystyle \varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)}$${\displaystyle (Z,g)}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)}$${\displaystyle \zeta :(Z,g)\to I(X,f)}$

初期位相を に配置する割り当ては、忘却関手 の 右随伴関手に拡張されます 。実際、は の右逆です。は の恒等関手であるためです。${\displaystyle (X,f)\mapsto I(X,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)}$${\displaystyle {\bar {U}}.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\bar {U}}}$${\displaystyle {\bar {U}}I}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY).}$

• 最終位相 – いくつかの関数を連続させる最も微細な位相
• 積位相 – 位相空間の直積上の位相
• 商空間（位相）  – 位相空間の構築
• 部分空間トポロジー – 継承されたトポロジー

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1967]。一般トポロジー 2: 第 5 章から第 10 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。 Vol. 4. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• ドゥグンジ、ジェームズ(1966)。トポロジー。ボストン: アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• グロタンディーク、アレクサンダー(1973)。位相ベクトル空間。翻訳：チャルジュブ、オーランド。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• ウィラード、スティーブン (1970)。一般位相幾何学。マサチューセッツ州レディング:アディソンウェスレー。ISBN 0-486-43479-6。

• PlanetMathでの初期トポロジー。
• PlanetMathの積位相と部分空間位相。