ε二次形式

数学、特に二次形式の理論において、ε-二次形式は、二次形式を歪対称設定および*-環に一般化したものです。ε = ±1は、対称または歪対称に対応します。これらはまた、${\displaystyle (-)^{n}}$-二次形式、特に外科理論の文脈において。

関連する概念として、 ε対称形式があり、これは対称形式、歪対称形式（＝シンプレクティック形式）、エルミート形式、および歪エルミート形式を一般化したものです。より簡潔に言えば、二次形式、歪二次形式、対称形式、および歪対称形式があり、「歪」は（−）を意味し、*（対合）は暗黙のうちに示されています。

この理論は2-局所的です。2から離れると、ε-二次形式はε-対称形式と等価になります。対称化マップの半分（下記）は明示的な同型を与えます。

ε対称形式とε二次形式は次のように定義される。^{[ 1 ]}

*-環R上の加群Mが与えられたとき、B ( M ) をM上の双線形形式の空間とし、T : B ( M ) → B ( M )を「共役転置」対合B ( u , v ) ↦ B ( v , u )*とする。 −1 による乗算も対合であり、線形写像と可換であるため、− Tも対合である。したがって、ε = ±1と書くことができ、 εTはTまたは − Tのいずれかの対合である(ε は ±1 より一般的な場合もある。以下を参照)。ε-対称形式をεTの不変量とし、ε-二次形式を共変量とする。 

正確な数列として、

${\displaystyle 0\to Q^{\varepsilon }(M)\to B(M){\stackrel {1-\varepsilon T}{\longrightarrow }}B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)\to 0}$

カーネルとコカーネルとして、

${\displaystyle Q^{\varepsilon }(M):={\mbox{ker}}\,(1-\varepsilon T)}$

${\displaystyle Q_{\varepsilon }(M):={\mbox{coker}}\,(1-\varepsilon T)}$

表記Q ^ε ( M ) 、Q _ε ( M ) は、群作用の不変量と共変量に対する標準的な表記M ^G、M _Gに従います。ここでは、位数 2 の群 (対合) です。

包含マップと商マップの構成（ただし1 − εTは除く）$\displaystyle Q^{\varepsilon }(M)\to B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)}$これにより、写像Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) が得られます。すべてのε対称形式はε二次形式を決定します。

行列の観点から（Vは2次元とする）、*が自明である場合：

• 行列${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$双線形形式に対応する
• 対称行列の部分空間${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}}$対称形に対応
• ( − 1)対称行列の部分空間${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}}$シンプレクティック形式に対応する
• 双線形形式${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$二次形式が得られる

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,}$、

• 1 + T のマップは、二次形式から対称形式へのマップです。${\displaystyle ex^{2}+fxy+gy^{2}}$

に${\displaystyle {\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}}$例えば持ち上げて${\displaystyle {\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}}$そして転置行列を加える。二次形式にマッピングし直すと、元の値の2倍になる。${\displaystyle 2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})}$。

もし${\displaystyle {\bar {\cdot }}}$複雑な共役の場合、

• 対称行列の部分空間はエルミート行列である${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}}$
• 歪対称行列の部分空間は、歪エルミート行列である。${\displaystyle {\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}}$

ε二次形式の簡単な例としては、標準的な双曲線ε二次形式が挙げられる。${\displaystyle H_{\varepsilon }(R)\in Q_{\varepsilon }(R\oplus R^{*})}$（ここで、R *  := Hom _R ( R , R )はR加群Rの双対を表す。）これは双線形形式で与えられる。${\displaystyle ((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})}$L理論の定義には、標準的な双曲線ε二次形式が必要です。

2つの要素からなる体R = F ₂の場合、 (+1)-二次形式と ( -1 )-二次形式に違いはなく、これらは単に二次形式と呼ばれます。F ₂上の非特異二次形式のArf不変量は、代数学と位相幾何学の両方で重要な応用を持つF ₂値不変量であり、標数が 2 でない場合の二次形式の判別式と同様の役割を果たします。

多様体

向き付けられた偶数次元多様体の中間ホモロジー群（整数係数）の自由部分は、ポアンカレ双対性を介して、交差形式であるε対称形式を持つ。単偶数次元4k +2の場合、これは歪対称であり、二重偶数次元4kの場合、これは対称である。幾何学的には、これは交差に対応し、n次元多様体内の2つのn /2次元部分多様体が、一般的に0次元部分多様体（点の集合）で、余次元を加えることによって交差する。単偶数次元の場合^、順序は符号が反転するが、二重偶数次元の場合、順序は符号を変えないため、ε対称性と^なる。最も単純なケースは球の積であり、積S2k × S2kとS2k ^{+1 ×} S2k + ^{1はそれぞれ対称}形式を^与える。${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$歪対称形${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right).}$2次元では、これはトーラスとなり、g個のトーラスの連結和を取ると、種数gの表面が得られ、その中間ホモロジーは標準的な双曲型となる。

追加の構造により、このε対称形式はε二次形式に細分化できます。 2 倍偶数次元の場合、これは整数値をとりますが、 1 倍偶数次元の場合はパリティまでしか定義されず、Z /2 の値をとります。 例えば、枠付き多様体が与えられた場合、このような細分化を作成できます。 1 倍偶数次元の場合、この歪二次形式の Arf 不変量はKervaire 不変量です。

R ³に埋め込まれた向き付けられた曲面 Σ が与えられたとき、中間ホモロジー群H ₁ (Σ) は、交差を介して歪対称形式だけでなく、自己連結を介して二次細分化と見なせる歪二次形式も持ちます。歪対称形式は曲面 Σ の不変量であり、歪二次形式は埋め込みΣ ⊂ R ³の不変量です。例えば、結び目のセイフェルト曲面の場合がこれに該当します。歪二次形式のArf 不変量は、最初の安定ホモトピー群を生成する枠付きコボルディズム不変量です。$\displaystyle \pi _{1}^{s}}$。

標準的な埋め込みトーラスの場合、歪対称形式は次のように与えられる。${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right)}$（標準シンプレクティック基底に関して）歪二次細分化は、この基底に関してxyで与えられます。Q (1, 0) = Q (0, 1) = 0 : 基底曲線は自己連結しません。Q (1, 1) = 1 :ホップファイブレーションのように(1, 1)は自己連結します。（この形式はArf 不変量0 を持ち、したがってこの埋め込みトーラスはKervaire 不変量0 を持ちます。）

重要な応用例は代数手術理論であり、CTCWallによれば、 L群はε二次形式のWitt群として定義される。