ダルシー摩擦係数の公式

流体力学において、ダルシー摩擦係数の式は、ダルシー-ワイスバッハ方程式で使用される無次元量であるダルシー摩擦係数を計算し、パイプの流れや開水路の流れにおける摩擦損失を記述するための式です。

ダルシー摩擦係数は、ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数、抵抗係数、または単に摩擦係数とも呼ばれ、定義上、ファニング摩擦係数の4倍の大きさです。^[1]

この記事では、次の規則と定義を理解する必要があります。

• レイノルズ数Re は Re = V D / νとみなされます。ここで、 Vは流体の平均速度、Dはパイプの直径、ν は動粘性μ / ρ です。μ は流体の動粘性、ρ は流体の密度です。
• パイプの相対粗さε / D。ここで、 ε はパイプの有効粗さの高さ、D はパイプ（内径）の直径です。
• f はダルシー摩擦係数を表します。その値は流れのレイノルズ数 Re とパイプの相対粗さ ε / Dに依存します。
• log 関数は、（工学分野では慣例となっているように）10 を底とするものと理解されています。つまり、x = log( y ) の場合、y = 10 ^xとなります。
• ln 関数は e を底とするものとして理解されます。つまり、x = ln( y ) の場合、y = e ^{x と}なります。

どの摩擦係数の式が適用できるかは、存在する流れの種類によって異なります。

• 層流
• 層流と乱流の遷移
• 滑らかな導管内の完全な乱流
• 粗い導管内の完全な乱流
• 自由表面流。

遷移流（完全な層流でも完全な乱流でもない）は、レイノルズ数 2300 から 4000 の範囲で発生します。この流れモードでは、ダルシー摩擦係数の値は大きな不確実性の影響を受けます。

ブラシウス相関式は、ダルシー摩擦係数を計算するための最も単純な式です。ブラシウス相関式にはパイプの粗さに関する項がないため、滑らかなパイプにのみ有効です。ただし、ブラシウス相関式は単純なため、粗いパイプで使用されることもあります。ブラシウス相関式は、レイノルズ数 100000 まで有効です。

粗い導管内の完全な乱流（レイノルズ数 4000 以上）のダルシー摩擦係数は、コールブルック・ホワイト方程式によってモデル化できます。

この記事のColebrook 方程式セクションの最後の式は、自由表面流れに関するものです。この記事の他の箇所で紹介されている近似値は、このタイプの流れには適用できません。

式を選択する前に、ムーディー チャートに関する論文で、ムーディーは、滑らかなパイプの精度は ±5%、粗いパイプの精度は ±10% であると述べていることを知っておく必要があります。検討中のフロー モードで複数の式を適用できる場合、式の選択は、次の 1 つ以上の要素によって影響を受ける可能性があります。

• 必要な精度
• 必要な計算速度
• 利用可能な計算技術:
  • 電卓（キー入力を最小限に抑える）
  • スプレッドシート（​​単一セルの数式）
  • プログラミング/スクリプト言語（サブルーチン）。

現象論的なコールブルック・ホワイト方程式（またはコールブルック方程式）は、ダルシー摩擦係数f をレイノルズ数 Re とパイプの相対粗さ ε / D _hの関数として表し、滑らかなパイプと粗いパイプ内の乱流の実験研究のデータに適合させます。^{[2] [3]この方程式は、}ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数f を （反復的に）解くために使用できます。

レイノルズ数が 4000 を超える場合、流体が完全に満たされた導管では次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{3.7D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

または

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{14.8R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

どこ：

• 水力直径、（m、ft） – 液体が充填された円形導管の場合、= D = 内径${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$
• 水力半径、（m、ft） – 液体が充填された円形導管の場合、= D/4 = （内径）/4${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$

注：一部の情報源では、上記の最初の式の粗さ項の分母に定数3.71を使用しています。^[4]

コールブルック方程式は、その暗黙的な性質のため、通常は数値的に解かれる。最近では、ランバートW関数を用いてコールブルック方程式を明示的に再定式化し、正確な解を得る方法が提案されている。^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt {f}}},b={\frac {\varepsilon }{14.8R_{h}}},a={\frac {2.51}{Re}}}$

${\displaystyle x=-2\log(ax+b)}$

または

${\displaystyle 10^{-{\frac {x}{2}}}=ax+b}$

${\displaystyle p=10^{-{\frac {1}{2}}}}$

取得します:

${\displaystyle p^{x}=ax+b}$

${\displaystyle x=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln p}{a}}\,p^{-{\frac {b}{a}}}\right)}{\ln p}}-{\frac {b}{a}}}$

それから：

${\displaystyle f={\frac {1}{\left({\dfrac {2W\left({\frac {\ln 10}{2a}}\,10^{\frac {b}{2a}}\right)}{\ln 10}}-{\dfrac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

コールブルック方程式の数学的に同等な追加の形式は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.7384\ldots -2\log \left({\frac {2\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {18.574}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

どこ：

1.7384... = 2 log (2 × 3.7) = 2 log (7.4)

18.574 = 2.51 × 3.7 × 2

そして

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots +2\log \left(D_{\mathrm {h} }/\varepsilon \right)-2\log \left(1+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} (\varepsilon /D_{\mathrm {h} }){\sqrt {f}}}}\right)}$

または

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots -2\log \left({\frac {\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

どこ：

1.1364... = 1.7384... − 2 log (2) = 2 log (7.4) − 2 log (2) = 2 log (3.7)

9.287 = 18.574 / 2 = 2.51 × 3.7。

上記の追加の同等の形式では、このセクションの冒頭の式にある定数 3.7 と 2.51 が正確であると想定しています。定数は、おそらく Colebrook が曲線フィッティング中に丸めた値ですが、明示的な式 (この記事の他の箇所にあるものなど) の結果を Colebrook の暗黙的な方程式で計算された摩擦係数と比較する場合 (小数点以下数桁まで)、実質的に正確な値として扱われます。

上記の追加形式に似た方程式（定数を小数点以下の桁数を減らして丸めたり、全体の丸め誤差を最小限に抑えるためにわずかにシフトしたりしたもの）は、さまざまな参考文献で見つけることができます。これらは基本的に同じ方程式であることに注意すると役立つかもしれません。

自由表面に対しては、コールブルック-ホワイト方程式の別の形式が存在します。このような状態は、部分的に流体が満たされて流れるパイプ内に存在する可能性があります。自由表面の流れの場合:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{12R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right).}$

上記の式は乱流に対してのみ有効です。自由表面流におけるfを推定する別のアプローチは、すべての流れの状態（層流、遷移流、乱流）で有効です。^[8]

${\displaystyle f=\left({\frac {24}{Re_{h}}}\right)^{a}\left[{\frac {0.86e^{W(1.35Re_{h})}}{Re_{h}}}\right]^{2(1-a)b}\left\{{\frac {1.34}{\left[\ln {12.21\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}\right]^{2}}}\right\}^{(1-a)(1-b)}}$

ここで、aは:

${\displaystyle a={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{678}}\right)^{8.4}}}}$

bは次のようになります。

${\displaystyle b={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{150\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}}\right)^{1.8}}}}$

ここで、Re _hはレイノルズ数、hは特性水力長さ (1D フローの水力半径または 2D フローの水深)、R _hは水力半径 (1D フローの場合) または水深 (2D フローの場合) です。Lambert W 関数は次のように計算できます。

${\displaystyle W(1.35Re_{h})=\ln {1.35Re_{h}}-\ln {\ln {1.35Re_{h}}}+\left({\frac {\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}{\ln {1.35Re_{h}}}}\right)+\left({\frac {\ln {[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}-2\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}}{2[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}}}\right)}$

ハーランド方程式は、1983年にノルウェー工科大学のSEハーランド教授によって提案されました。^{[9]これは、全流量円形パイプの}ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接解くために使用されます。これは暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似値ですが、実験データとの差異はデータの精度の範囲内です。

ハーランド方程式^[10]は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-1.8\log \left[\left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}\right)^{1.11}+{\frac {6.9}{\mathrm {Re} }}\right]}$

スワミー・ジェイン方程式は、全流量円形パイプのダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接解くために使用されます。これは暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似です。^[11]

${\displaystyle f={\frac {0.25}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$

セルギデスの解は、全流量円形パイプのダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接求めるために使用されます。これは暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似値です。ステフェンセン法を使用して導出されました。^[12]

解決するには、3 つの中間値を計算し、それらの値を最終方程式に代入します。

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{12 \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

^{この式は、7 つのレイノルズ数 (2500 ～ 10 8} )による 10 個の相対粗さ値 (0.00004 ～ 0.05 の範囲) で構成される 70 ポイントのマトリックスを持つテスト セットで、Colebrook–White 式と 0.0023% 以内で一致することがわかりました。

グーダール方程式は、全流量の円形パイプのダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接解く最も正確な近似式である。これは暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似式である。方程式は次の形式をとる^[13]。

${\displaystyle a={2 \over \ln(10)}}$

${\displaystyle b={\frac {\varepsilon /D}{3.7}}}$

${\displaystyle d={\ln(10)\mathrm {Re} \over 5.02}}$

${\displaystyle s={bd+\ln(d)}}$

${\displaystyle q={{s}^{s/(s+1)}}}$

${\displaystyle g={bd+\ln {d \over q}}}$

${\displaystyle z={\ln {q \over g}}}$

${\displaystyle D_{LA}=z{g \over {g+1}}}$

${\displaystyle D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}={a\left[\ln \left(d/q\right)+D_{CFA}\right]}}$

ブルキッチはランバートW関数に基づくコールブルック方程式の近似値を示している^[14]

${\displaystyle S=\ln {\frac {\mathrm {Re} }{\mathrm {1.816\ln {\frac {1.1\mathrm {Re} }{\ln \left(1+1.1\mathrm {Re} \right)}}} }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.71}}+{2.18S \over \mathrm {Re} }\right)}$

この式は、Colebrook–White 式と 3.15% 以内で一致することがわかりました。

ブルキッチとプラックスは、ランバートW関数の同族であるライト関数に基づくコールブルック方程式の近似値を示している^[15]${\displaystyle \omega }$

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8686\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {1.038\cdot C}{\mathrm {0.332+} \,x}}\right]\,}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0884}}}$、、、 そして${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.7794}$${\textstyle C=}$${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$${\textstyle x=A+B}$

この式は、Colebrook–White 式と 0.0497% 以内で一致することがわかりました。

プラックスとブルキッチは、ランバートW関数の同族であるライト関数に基づくコールブルック方程式の近似値を示している^[16]${\displaystyle \omega }$

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8685972\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {C}{x-0.5588\cdot C+1.2079}}\,\right]}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0897}}}$、、、 そして${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.779626}$${\textstyle C=}$${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$${\textstyle x=A+B}$

この式は、Colebrook–White 式と 0.0012% 以内で一致することがわかりました。

セルギデスの解は暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の最も正確な近似の一つであることが判明したため、ニアズカーはセルギデスの解を修正して、全流量円形パイプのダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接解くようにした。^[17]

Niazkar の解決策は次のとおりです。

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{4.5547 \over \mathrm {Re^{0.8784}} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

文献で行われたコールブルック摩擦係数を推定するための42の異なる明示的な方程式の比較分析に基づいて、ニアズカーの解が最も正確な相関関係であることがわかりました。^[17]

滑らかなパイプの初期の近似^[18]は、ポール・リチャード・ハインリッヒ・ブラシウスによってダルシー・ヴァイスバッハ摩擦係数の観点から示されており、1913年の論文^{[19]に掲載されている。}

${\displaystyle f=0.3164\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}}$。

ヨハン・ニクラセは1932年に、これが流体速度プロファイルのべき乗相関に対応すると提案した。 ^[20]

_{ミシュラとグプタは1979年に、等価曲線半径Rc}を考慮した曲面管や螺旋管の補正法を提案した。^[21]

${\displaystyle f=0.316\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}+0.0075{\sqrt {\frac {D}{2R_{c}}}}}$、

と、

${\displaystyle R_{c}=R\left[1+\left({\frac {H}{2\pi R}}\right)^{2}\right]}$

ここで、f は次の関数です。

• パイプ径、D (m、ft)
• 曲線半径、R (m、ft)
• らせんピッチ、H (m、ft)
• レイノルズ数、Re（無次元）

有効期間:

• 再_tr <再< 10 ⁵
• 6.7 < 2Rc _/ D < 346.0
• 0 <高さ/奥行き< 25.4

スワミー方程式は、全流れ状態（層流、遷移、乱流）における全流れ円管のダルシー・ワイスバッハ摩擦係数（f ）を直接解くために使用されます。これは、層流状態におけるハーゲン・ポアズイユ方程式の正確な解であり、乱流状態における暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似であり、指定された範囲で最大偏差は2.38％未満です。さらに、層流状態と乱流状態の間のスムーズな遷移を提供し、0 < Re < 10 ^8の全範囲の方程式として有効です。^[22]

${\displaystyle f=\left\lbrace \left({\frac {64}{\mathrm {Re} }}\right)^{8}+9.5\left[\ln \left({\frac {\varepsilon }{{3.7}{D}}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)-\left({\frac {2500}{\mathrm {Re} }}\right)^{6}\right]^{-16}\right\rbrace ^{\frac {1}{8}}}$

次の表は、圧力駆動流れに対するコールブルック・ホワイト関係式^[23]のこれまでの近似値を示しています。チャーチル方程式^[24] (1977) は、非常に遅い流れ (レイノルズ数 < 1) に対して評価できる唯一の方程式ですが、チェン (2008)、^[25]、およびベロスら (2018) ^{[8] の}方程式も、層流領域 (レイノルズ数 < 2300) における摩擦係数のほぼ正しい値を返します。その他はすべて、遷移流と乱流のみを対象としています。

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• Brkić, Dejan; Praks, Pavel (2019). 「Wright ω 関数に基づく Colebrook フロー摩擦方程式の正確で効率的な明示的近似」。数学7 (1): 記事 34。https://doi.org/10.3390/math7010034。ISSN 2227-7390
• プラークス、パベル。ブルキッチ、デヤン（2020）。 「新しい流れ摩擦方程式のレビュー: コールブルックの明示的な相関関係を正確に構築する」。 Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): 記事 41。https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001。 ISSN 1886-158X (オンライン版) - ISSN 0213-1315 (印刷版)
• Niazkar, Majid (2019)。「Colebrook 摩擦係数の推定の再検討: 人工知能モデルと CW ベースの明示的方程式の比較」。KSCE Journal of Civil Engineering。23 ( 10): 4311–4326。Bibcode :2019KSJCE..23.4311N。doi : 10.1007 /s12205-019-2217-1。S2CID 203040860  。

• Serghides の解による Darcy 摩擦係数の Web ベースの計算機。
• オープンソースのパイプ摩擦計算機。