扇状摩擦係数

ファニング摩擦係数（アメリカのエンジニア、ジョン・T・ファニングにちなんで名付けられた）は、連続体力学の計算で局所パラメータとして使用される無次元数である。これは、局所せん断応力と局所流動運動エネルギー密度の比として定義される： ^{[1] [2]}

$${\displaystyle f={\frac {\tau }{q}}}$$

どこ

fは局所的なファニング摩擦係数（無次元）です。

τは局所せん断応力（単位はパスカル（Pa）= kg/m ²、または平方フィートあたりの重量ポンド（psf）= lbm/ft ²）です。

qはバルク動圧（Pa または psf）で、次のように表されます。

$${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$$

ρは流体の密度（ kg/m ³またはlbm/ft ³）

uはバルク流速（m/s または ft/s）

特に、壁面せん断応力は、壁面せん断応力に壁面積（円形断面のパイプの場合）を掛け、断面積（円形断面のパイプの場合）で割ることで圧力損失と関連付けることができます。したがって、${\displaystyle 2\pi RL}$${\displaystyle \pi R^{2}}$${\displaystyle \Delta P=f{\frac {2L}{R}}q=f{\frac {L}{R}}\rho u^{2}}$

この摩擦係数はダルシー摩擦係数の 4 分の 1 であるため、参照する「摩擦係数」チャートまたは式でこれらのどちらが意味されているかに注意する必要があります。2 つのうち、ファニング摩擦係数は、化学技術者や英国の慣習に従う人々によってより一般的に使用されています。

一般的な用途におけるファニング摩擦係数を取得するには、以下の式を使用できます。

ダルシー摩擦係数は次のようにも表される^[3]。

${\displaystyle f_{D}={\frac {8{\bar {\tau }}}{\rho {\bar {u}}^{2}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \tau}$壁面のせん断応力は
• ${\displaystyle \rho}$流体の密度である
• ${\displaystyle {\bar {u}}}$流れの断面における平均流速である。

グラフから、顕微鏡レベルでの多少の粗さがあるため、滑らかなパイプであっても摩擦係数がゼロになることはないことがわかります。

円管内のニュートン流体の層流の摩擦係数は次のように表されることが多い。 ^[4]

${\displaystyle f={\frac {16}{Re}}}$^{[5] [2]}

ここで、Re は流れの レイノルズ数です。

正方形チャネルの場合、使用される値は次のとおりです。

${\displaystyle f={\frac {14.227}{Re}}}$

ブラシウスは1913年に、この領域の流れに対する摩擦係数の表現式を開発しました。 ${\displaystyle 2100<Re<10^{5}}$

${\displaystyle f={\frac {0.0791}{Re^{0.25}}}}$^{[6] [2]}

クーは1933年に、次の領域における乱流に関する別の明示的な式を導入した。 ${\displaystyle 10^{4}<Re<10^{7}}$

${\displaystyle f=0.0014+{\frac {0.125}{Re^{0.32}}}}$^{[7] [8]}

パイプが一定の粗さを持つ場合、ファニング摩擦係数を計算する際にこの係数を考慮する必要があります。パイプ粗さとファニング摩擦係数の関係は、Haaland (1983)によって、次の流れ条件下で開発されました。${\displaystyle {\frac {\epsilon }{D}}<0.05}$${\displaystyle 4\centerdot 10^{4} <Re<10^{7}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-3.6\log _{10}\left[{\frac {6.9}{Re}}+\left({\frac {\epsilon /D}{3.7}}\right)^{10/9}\right]}$^{[2] [9] [8]}

どこ

• ${\displaystyle \epsilon }$パイプの内面の粗さ（長さの寸法）
• Dはパイプの内径です。

スワミー・ジェイン方程式は、全流量円形パイプのダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接解くために使用されます。これは暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似値です。^[10]

${\displaystyle f={\frac {0.0625}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$

粗さが乱流中心部にまで広がると、ニクラドセとライヒェルト（1943）が の領域の流れについて示したように、ファニング摩擦係数は高レイノルズ数での流体粘性に依存しなくなります。以下の式は、ダルシー摩擦係数用に開発された元の形式から係数 だけ変更されています。${\displaystyle Re>10^{4};{\frac {k}{D}}>0.01}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=2.28-4.0\log _{10}\left({\frac {k}{D}}\right)}$^{[11] [12]}

乱流領域では、ファニング摩擦係数とレイノルズ数の関係はより複雑であり、コールブルック方程式^[6]によって支配され、これは次のように暗黙的に表される。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\mathit {f}}}}=-4.0\log _{10}\left({\frac {\frac {\varepsilon }{d}}{3.7}}+{\frac {1.255}{Re{\sqrt {\mathit {f}}}}}\right),{\text{turbulent flow}}}$

乱流に関しては、関連するダルシー摩擦係数の さまざまな明示的な近似が開発されています。

スチュアート・W・チャーチル^[5]は、層流と乱流の両方の摩擦係数をカバーする式を開発しました。これはもともと、ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数をレイノルズ数に対してプロットするムーディ チャートを説明するために作成されました。ムーディ摩擦係数とも呼ばれるダルシー・ワイスバッハ式は、ファニング摩擦係数の4倍であるため、以下の式を生成するために 係数を適用しました。${\displaystyle f_{D}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

• Re、レイノルズ数（単位なし）
• ε、パイプの内面の粗さ（長さの寸法）
• D、パイプ内径;
• ln は自然対数です。
• ここで、は Darcy-Weisbach 摩擦係数ではなく、の 4 倍低くなります。${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{D}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{D}}$

${\displaystyle f=2\left(\left({\frac {8}{Re}}\right)^{12}+\left(A+B\right)^{-1.5}\right)^{\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle A=\left(2.457\ln \left(\left(\left({\frac {7}{Re}}\right)^{0.9}+0.27{\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{-1}\right)\right)^{16}}$

${\displaystyle B=\left({\frac {37530}{Re}}\right)^{16}}$

非円形導管の形状により、レイノルズ数を計算する際に水力半径を使用することで、上記の代数式からファニング摩擦係数を推定することができます。 ${\displaystyle R_{H}}$ ${\displaystyle Re_{H}}$

摩擦ヘッドは、圧力損失を重力加速度と流体の密度の積で割ることで、摩擦による圧力損失と関連付けることができます。したがって、摩擦ヘッドとファニング摩擦係数の関係は次のようになります。

${\displaystyle \Delta h=f{\frac {u^{2}L}{gR}}=2f{\frac {u^{2}L}{gD}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \Delta h}$パイプの摩擦損失（ヘッド内）です。
• ${\displaystyle f}$パイプのファニング摩擦係数です。
• ${\displaystyle u}$パイプ内の流速です。
• ${\displaystyle L}$パイプの長さです。
• ${\displaystyle g}$局所的な重力加速度です。
• ${\displaystyle D}$パイプの直径です。

• ファニング、JT (1896)。水力および給水工学に関する実用論文。D. ヴァン ノストランド。ISBN 978-5-87581-042-8。