摩擦損失

流体力学において、摩擦損失（または摩擦損失）とは、パイプやダクトなどの容器内で、容器の表面付近の流体の粘性の影響により発生する水頭損失のことである。 ^[1]

流体が流れる場所がパイプやダクト内に完全に囲まれている場合でも、表面が空気にさらされている場合でも、摩擦損失は重要な技術的懸念事項です。

• 歴史的に、これは人類の歴史を通じてあらゆる種類の水道で問題となってきました。また、下水道管にも関係しています。体系的な研究は、水道技師のヘンリー・ダーシーにまで遡ります。
• 河床の自然な流れは人間の活動にとって重要であり、河床の摩擦損失は流れの高さに影響を及ぼし、特に洪水時には顕著になります。
• 石油化学製品輸送用パイプラインの経済性は摩擦損失に大きく左右される。ヤマル・ヨーロッパパイプラインは、レイノルズ数が50× 106を超える場合、年間32.3× ^109m3のガスの体積流量でメタンを輸送している^{。[ 2]}
• 水力発電の用途では、水路や水圧管路での表面摩擦によって失われたエネルギーは、発電などの有用な作業には利用できません。
• 冷凍アプリケーションでは、冷却液をパイプまたはコンデンサーに送り込むためにエネルギーが消費されます。スプリット システムでは、冷却液を運ぶパイプが HVAC システムの空気ダクトの代わりとなります。

以下の議論では、体積流量V̇（つまり、時間当たりに流れる流体の体積）を次のように定義します。

${\displaystyle {\dot {V}}=\pi r^{2}v}$

どこ

r = パイプの半径（円形断面のパイプの場合は、パイプの内半径）。

v = パイプを流れる流体の平均速度。

A = パイプの断面積。

長いパイプでは、圧力損失（パイプが水平であると仮定）はパイプの長さに比例します。摩擦損失は、パイプの単位長さLあたりの圧力変化Δpです。

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}.}$

圧力が、水の場合によくあるように、その流体の柱の等価高さで表される場合、摩擦損失は、パイプの長さあたりの「損失水頭」であるSとして表され、水力勾配とも呼ばれる無次元量です。

${\displaystyle S={\frac {h_{f}}{L}}={\frac {1}{\rho \mathrm {g} }}{\frac {\Delta p}{L}}.}$

どこ

ρ =流体の密度、（SI kg / m ³）

g =重力による局所加速度;

摩擦損失は、パイプ表面と内部を流れる流体との間のせん断応力によるもので、流れの条件とシステムの物理的特性に依存します。これらの条件は、レイノルズ数として知られる無次元数Reにまとめることができます。

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {1}{\nu }}VD}$

ここで、Vは平均流体速度、Dは（円筒形の）パイプの直径である。この式では、流体自体の特性は動粘性ν に還元される。

${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

どこ

μ =流体の粘度(SI kg / m • s)

均一で直線的なパイプ部分における摩擦損失は「主要損失」と呼ばれ、粘性の影響、つまり流体分子同士またはパイプの壁（粗い場合もある）に対する動きによって発生します。ここでは、流れが層流（Re < 2000）か乱流（Re > 4000）かによって大きく影響されます。 ^[1]

• 層流では、損失は流体の速度 V に比例します。速度は流体の本体とパイプ表面の間で滑らかに変化し、パイプ表面では速度はゼロになります。パイプ表面の粗さは、流体の流れにも摩擦損失にも影響しません。
• 乱流では、損失は流体速度V ^{2 の}2乗に比例します。ここでは、パイプ表面近くの混沌とし​​た渦と渦の層 (粘性サブ層と呼ばれます) が、バルク流への移行を形成します。この領域では、パイプ表面の粗さの影響を考慮する必要があります。粗さを、粗さの高さ ε とパイプの直径Dの比(「相対粗さ」) として特徴付けると便利です。乱流には 3 つのサブ領域が関係します。
  • 滑らかなパイプ領域では、摩擦損失は粗さに対して比較的鈍感です。
  • 粗いパイプ領域では、摩擦損失は相対的な粗さによって支配され、レイノルズ数には影響されません。
  • 遷移領域では、摩擦損失は両方に敏感です。
• レイノルズ数が 2000 < Re < 4000 の場合、流れは不安定で、流れ内の渦がランダムに形成および消滅するため、時間とともに変化します。この流れの領域は適切にモデル化されておらず、詳細も十分に理解されていません。

直管の流れ以外の要因によって摩擦損失が発生します。これらは「マイナー損失」と呼ばれます。

• 継手、例えば曲げ、カップリング、バルブ、ホースやパイプの直径の変化、または
• 物体が流体の流れに侵入しました。

システムの総摩擦損失を計算する目的で、形状摩擦の発生源が同等のパイプの長さに縮小されることがあります。

パイプやダクトの表面の粗さは、乱流領域における流体の流れに影響を与えます。通常、εで表され、水の流れの計算に使用される値は、いくつかの代表的な材料について次のとおりです。 ^{[3] [4] [5]}

ダクト（例えば空気）の摩擦損失を計算する際に使用される値は以下の通りである：^[8]

層流は、実際には、モーターオイルのような非常に粘性の高い流体が小径の管を低速で流れる場合に発生します。層流条件下での摩擦損失は、ナビエ・ストークス方程式の正確な解であるハーゲン・ポアズイユ方程式に従います。密度ρと粘度μの流体を含む円形パイプの場合、水力勾配Sは次のように表すことができます。

${\displaystyle S={\frac {64}{\mathrm {Re} }}{\frac {V^{2}}{2gD}}={\frac {64\nu }{2g}}{\frac {V}{D^{2}}}}$

層流（つまり、Re < 約 2000）では、水力勾配は流速に比例します。

多くの実際の工学的応用では、流体の流れはより速く、したがって層流ではなく乱流である。乱流下では、摩擦損失は流速の2乗にほぼ比例し、パイプの直径に反比例することが分かっている。つまり、摩擦損失は、水力勾配Sが表すことができる現象論的なダルシー・ワイスバッハ方程式に従う^[9]。

${\displaystyle S=f_{D}{\frac {1}{2g}}{\frac {V^{2}}{D}}}$

ここではダルシー摩擦係数f _Dを導入しています（ただし、ファニング摩擦係数との混同を参照してください）。

f _D =ダルシー摩擦係数

この無次元係数の値は、パイプの直径Dとパイプ表面の粗さ ε によって決まることに注意してください。さらに、この係数は流速V や流体の物理的特性 (通常はレイノルズ数 Re にまとめられます) によっても変わります。したがって、摩擦損失は流速の 2 乗やパイプ直径の逆数に正確に比例するわけではありません。摩擦係数は、これらのパラメータに対する残りの依存性を考慮します。

実験測定から、相対粗さε /  Dを固定し、レイノルズ数Re = V D  / ν > ~2000の場合、f _Dの変化の一般的な特徴は次のようになります。 ^[a]

• 相対粗さ ε /  D  < 10 ⁻⁶の場合、 Re が増加するとf _{D の}値はほぼべき乗則に従って減少し、 Re が 4 桁変化するごとにf _Dは 1 桁変化します。 これは「滑らかなパイプ」領域と呼ばれ、流れは乱流ですが、パイプの粗さの特徴には敏感ではありません (渦がそれらの特徴よりもはるかに大きいため)。
• 粗さが増すと、レイノルズ数 Re が増加するにつれて、f _{D は}平滑管の値から上昇し、相対粗さ ε / Dとともに対数的に変化する漸近線に近づきます 。この状態は「粗管」流れと呼ばれます。
• 滑らかな流れからの逸脱点は、相対粗さの値にほぼ反比例するレイノルズ数で発生します。相対粗さが高いほど、逸脱の Re は低くなります。滑らかなパイプの流れと粗いパイプの流れの間の Re と ε /  Dの範囲は、「遷移」と呼ばれます。この領域では、Nikuradse の測定値は、 Re とともにf _Dの値が低下し、下から漸近値に近づくことを示しています^[10] 。ただし、Moody は、Colebrook–White 方程式に基づくグラフ^[11]では、これらのデータに従わないことを選択しました。
• 2000 < Re < 4000 の値は、層流から乱流への移行である流れの臨界領域であり、 f _Dの値は層流の値 64 / Re から滑らかなパイプの値まで増加します。この状態では、流体の流れは不安定であり、時間の経過とともに流れの中に渦が現れたり消えたりすることがわかります。
• f _Dのパイプ直径Dへの依存性はすべてレイノルズ数 Re と相対粗さ ε /  Dに含まれ、同様に流体特性密度 ρ と粘度 μ への依存性はすべてレイノルズ数 Re に含まれます。これをスケーリングと呼びます。^[b]

実験的に測定されたfDの値は_、（再帰的）コールブルック・ホワイト方程式[ ^{12]によって合理的な精度で近似され、選択された相対粗さε/} _Dの値に対する 摩擦係数fDとレイノルズ数Reをプロットしたムーディチャートにグラフ化されています。

設計問題では、候補パイプの直径Dと粗さ εに基づいて、特定の水力勾配Sのパイプを選択する場合があります。これらの量を入力として、摩擦係数f _{D を}コールブルック-ホワイト方程式またはその他のフィッティング関数で閉じた形式で表すことができ、そこから流量Qと流速Vを計算できます。

12インチ（300 mm）のスケジュール40 PVCパイプ（ε = 0.0015 mm、D = 11.938インチ）を流れる水（ρ = 1 g/cc、μ = 1 g/m/s ^[13] ）の場合、流量Q = 157 lps（リットル/秒）、または速度V = 2.17 m/s（メートル/秒）で水力勾配S = 0.01（1％）に達します。次の表は、さまざまな公称パイプ（NPS）サイズについて、水力勾配S = h _f  /  L = 0.01となるレイノルズ数 Re、ダルシー摩擦係数f _D、流量Q、および速度V を示しています。

引用元では、流速を 5 フィート / 秒 (約 1.5 m/秒) 未満に保つことを推奨していることに注意してください。

また、この表に示されているf _{D は}、実際には NFPA と業界で採用されている量であり、C として知られています。これは、慣習的な単位psi/(100 gpm ² ft)を持ち、次の関係を使用して計算できます。

${\displaystyle \Delta P_{f}'=CQ'^{2}L'}$

ここで、圧力はpsi、流量は100gpm、パイプの長さは100フィートです。${\displaystyle \Delta P_{f}'}$${\displaystyle Q'}$${\displaystyle L'}$

摩擦損失は、空気などの気体がダクトを流れるときに発生します。^[17] パイプ内の水の場合との流れの特性の違いは、レイノルズ数Reとダクトの粗さの違いに起因します。

摩擦損失は通常、与えられたダクト長さに対する圧力損失 Δ p  /  Lとして表され、単位は（米国）100 フィートあたりの水インチまたは（SI）kg / m ²  / s ²です。

ダクト材料の特定の選択については、標準温度および圧力（STP）の空気を想定すると、標準チャートを使用して予想される摩擦損失を計算できます。^{[8] [18]}このセクションに示すチャートは、流量が決定され、検討中のシステムのすべての部分でダクトの単位長さあたりの圧力損失Sをある目標値未満に保つことが目標であるアプリケーションで、設置するダクトの必要な直径をグラフで決定するために使用できます。まず、垂直軸（縦座標）で目的の圧力損失 Δ p  /  L、たとえば 1 kg / m ²  / s ²（100フィートあたり0.12 in H ₂ O）を選択します。次に、必要な流量Q、たとえば 1 m ^{3 / s（2000 cfm）まで水平にスキャンします。直径}D = 0.5 m（20インチ） のダクトを選択すると、圧力損失率 Δ p  /  Lが目標値よりも小さくなります。ちなみに、直径D = 0.6 m (24 インチ) のダクトを選択すると、損失 Δ p  /  Lは 0.02 kg / m ²  / s ² (100 フィートあたり 0.02 in H ₂ O) となり、適度に大きなダクトを使用することで送風機の効率が大幅に向上することがわかります。

次の表は、さまざまな公称ダクト サイズに対して、単位長さあたりの摩擦損失 Δ p / L (SI kg / m ² / s ² ) がそれぞれ 0.082、0.245、0.816 となる流量Qを示しています。摩擦損失に選択された 3 つの値は、米国単位で 100 フィートあたりの水柱インチに相当し、0.01、0.03、0.1 です。近似値として、流量の特定の値に対して、ダクト サイズを大きくすると (たとえば 100 mm から 120 mm に)、摩擦損失が 3 分の 1 に減少することに注意してください。

ここで提示したグラフと表では、流れは乱流の滑らかなパイプ領域にあり、すべてのケースで R* < 5 であることに注意してください。

• ニクラデ、J. (1932)。 「Gassetzmassigkeiten der Turbulenten Stromung in Glatten Rohren」(PDF)。VDI フォルシュングシェフト Arb.イング・ウェス356 : 1-36。– 翻訳では、NACA TT F-10 359。データはデジタル形式で入手できます。
• Kemler, E. (1933)。「パイプ内の流体の流れに関するデータの研究」。ASME の取引。55 (Hyd-55-2): 7–32。ムーディ、LF（1944）による引用
• ニクラデ、J. (1933)。 「ラウエン・ローレンのStrömungsgesetze」(PDF)。VDI フォルシュングシェフト。361 : 1-22.– 英語訳では、NACA TM 1292、1950 となります。データは、相対粗さが高い (ε/ D  > 0.001) パイプの遷移領域を詳細に示しています。
• Colebrook , CF ; White, CM (1937)。「粗面パイプにおける流体摩擦の実験」。ロンドン王立協会紀要。シリーズ A、数学および物理科学。161 (906): 367–381。Bibcode :1937RSPSA.161..367C。doi : 10.1098/ rspa.1937.0150。
• Colebrook, CF (1939 年 2 月)。「パイプ内の乱流、特に滑らかなパイプ法則と粗いパイプ法則の間の遷移領域について」土木技術者協会誌。
• Rouse, H. (1943)。境界粗さの評価。第2回水理学会議議事録、アイオワ大学紀要27。ムーディ、LF（1944）による引用
• Rouse, H. (1946). 流体力学の基礎. John Wiley and Sons. 376 ページ.Nikuradse のデータを表示します。
• 米国開拓局 (1965)。「大口径導管の満水時の摩擦係数」。工学モノグラフ第 7 号。ワシントン DC: 米国内務省。商業用パイプに関する大量の現場データ。Colebrook -White 方程式は、広範囲の流動条件では不十分であることが判明しました。
• Swanson, CJ; Julian, B.; Ihas, GG; Donnelly, RJ (2002). 「液体ヘリウムと各種ガスを使用した広範囲のレイノルズ数でのパイプ流量測定」J. Fluid Mech . 461 (1): 51–60. Bibcode :2002JFM...461...51S. doi :10.1017/S0022112002008595. S2CID  120934829.
• McKeon, BJ ; Swanson, CJ; Zagarola, M. V; Donnelly, RJ; Smits, AJ (2004). 「滑らかなパイプの流れのための摩擦係数」(PDF) . J. Fluid Mech . 511 : 41–44. Bibcode :2004JFM...511...41M. doi :10.1017/S0022112004009796 (2024年12月2日非アクティブ). S2CID  122063338 . 2015年10月20日閲覧。{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of December 2024 (link)^{2 つの非常に異なる測定値から、1 < Re < 10 8}の滑らかな流れ領域における摩擦係数を示します。
• Shockling, MA; Allen, JJ; Smits, AJ (2006). 「乱流パイプ流れにおける粗さの影響」J. Fluid Mech . 564 : 267–285. Bibcode :2006JFM...564..267S. doi :10.1017/S0022112006001467 (2024年11月29日非アクティブ). S2CID  120958504.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
• Allen, JJ; Shockling, M.; Kunkel, G.; Smits, AJ (2007). 「平滑パイプと粗パイプの乱流」. Phil. Trans. R. Soc. A . 365 (1852): 699–714. Bibcode :2007RSPTA.365..699A. doi :10.1098/rsta.2006.1939. PMID  17244585. S2CID  2636599.

• 単相流のパイプ圧力降下計算機。Wayback Machineに 2019-07-13 にアーカイブされています。
• 二相流のパイプ圧力降下計算機。2019-07-13 にWayback Machineでアーカイブされました。
• オープンソースのパイプ圧力降下計算機。