ダルシー・ワイスバッハ方程式

流体力学において、ダルシー・ワイスバッハの式は、パイプの特定の長さに沿った摩擦による損失水頭、または圧力損失と、非圧縮性流体の平均流速を関連付ける経験式です。この式はヘンリー・ダルシーとジュリアス・ワイスバッハにちなんで名付けられました。現在、ムーディ線図またはコールブルックの式で補足されたダルシー・ワイスバッハの式よりも正確で普遍的に適用可能な式はありません。^[1]

ダルシー・ワイスバッハの式には、ダルシー摩擦係数と呼ばれる無次元摩擦係数が含まれています。これは、ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数、摩擦係数、抵抗係数、流量係数などとも呼ばれます。^[a]

パイプのヘッドロスを計算するためのムーディーチャートと組み合わせたダルシー・ワイスバッハの式は、伝統的にヘンリー・ダーシー、ジュリアス・ワイスバッハ、ルイス・フェリー・ムーディーに帰属しています。しかし、これらの公式とチャートの開発には、歴史的発展を通じて他の科学者や技術者も関与しました。一般的に、ベルヌーイの式はヘッドロスを提供しますが、圧力などの事前にわからない量で提供されます。そのため、ヘッドロスをパイプの直径や流体の速度などの量と相関させる経験的な関係が求められました。^[3]

パイプの長さと直径を流体速度の2乗と相関させる公式を最初に導入したのは、ユリウス・ワイスバッハではない。実際、アントワーヌ・シェジー（1718-1798）は1770年に、開水路（つまり圧力がかかっていない）を基準にしながらも、水力半径で再定式化すればワイスバッハが後に導入した公式と形式上は同一である公式を発表していた。しかし、シェジーの公式は、1800年にガスパール・ド・プロニー（シェジーの元教え子）が彼の研究結果を記した論文を発表するまで、失われていた。ワイスバッハはプロニーの出版物を通じてシェジーの公式を知っていた可能性が高い。^[4]

ワイスバッハの公式は、現在でも使用されている形式で 1845 年に提案されました。

${\displaystyle \Delta H=f\cdot {LV^{2} \over {2gD}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \Delta H}$: ヘッド損失。
• ${\displaystyle L}$: パイプの長さ。
• ${\displaystyle D}$:パイプの直径。
• ${\displaystyle V}$:流体の速度。
• ${\displaystyle g}$:重力による加速度。

しかし、摩擦係数 f はワイスバッハによって次の経験式で表現されました。

${\displaystyle f=\alpha +{\beta \over {\sqrt {V}}}}$

とは、直径と管壁の種類によって異なります。^[5] ワイスバッハの研究は1848年にアメリカ合衆国で出版され、すぐに有名になりました。対照的に、フランスでは当初はあまり支持されず、速度に関して多項式形式（速度の2乗で近似されることが多い）をとるプロニーの方程式が引き続き使用されました。歴史的な発展を超えて、ワイスバッハの公式は次元解析に準拠し、無次元の摩擦係数fをもたらすという客観的なメリットがありました。境界層の力学と流れの状態（層流、遷移、乱流）に依存するfの複雑さは、ワイスバッハの公式の量への依存性を不明瞭にする傾向があり、多くの研究者が無理数で次元的に矛盾した経験式を導き出すことにつながっていました。^[6]ワイスバッハの研究から間もなく、摩擦係数fは流れの状態に依存し、乱流状態にある粗いパイプの場合にのみレイノルズ数（したがって速度）に依存しないことが判明した（プラントル・フォン・カルマン方程式）。^[7]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

均一な直径Dの円筒管内で全流量が流れる場合、粘性効果による圧力損失Δpは長さLに比例し、ダルシー・ワイスバッハの式で特徴付けられる。^[8]

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D_{H}}},}$

ここで、単位長さあたりの圧力損失は⁠Δp​/ら⁠ (SI単位: Pa / m ) は次の関数です:

${\displaystyle \rho }$、流体の密度（kg/m ³）

${\displaystyle D_{H}}$、パイプの水力直径（円形断面のパイプの場合、これはDに等しい。それ以外の場合は、断面積A、周囲長Pのパイプの場合、 D _H = 4A/P）（m）。

${\displaystyle \langle v\rangle }$平均流速、実験的には単位断面積あたりの体積流量 Q (m/s)として測定される。

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }}$ダルシー摩擦係数（流量係数λ ^{[9] [10]}とも呼ばれる）。

直径の円管内の層流の場合、摩擦係数はレイノルズ数のみに反比例します（f _D  =  ⁠${\displaystyle D_{c}}$64/再⁠）は、それ自体が容易に測定または公表されている物理量で表現できる（以下のセクションを参照）。この置き換えにより、ダルシー・ワイスバッハ方程式は次のように書き直される。

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},}$

どこ

μは流体の動粘度（Pa·s = N·s/m ² = kg/(m·s)）です

Qは体積流量であり、ここでは平均速度の代わりにQ = ⁠に従って流量を測定するために使用されますπ/4⁠ D _c ² < v > (m ³ /s).

この層流形式のダルシー・ワイスバッハ方程式は、ナビエ・ストークス方程式から解析的に導出されるハーゲン・ポアズイユ方程式と同等であることに注意してください。

損失水頭 Δ h （またはh _f）は、摩擦による圧力損失を作動流体の等価柱の高さで表したもので、圧力降下は

${\displaystyle \Delta p=\rho g\,\Delta h,}$

どこ：

Δ h = パイプの長さに対するパイプ摩擦による損失水頭（SI単位：m） ^[b]

g =重力による局所加速度（m/s ²）。

パイプの長さあたりの損失水頭（無次元）を表示すると便利です。

${\displaystyle S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},}$

ここでLはパイプの長さ（m）である。

したがって、ダルシー・ワイスバッハの式は、損失水頭の観点からも次のように表すことができる。^[11]

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.}$

平均流速<v>と体積流量Qの関係は

${\displaystyle Q=A\cdot \langle v\rangle ,}$

どこ：

Q = 体積流量（m ³ /s）、

A = 断面の濡れ面積（m ²）。

直径 の満水円形パイプでは、 ${\displaystyle D_{c}}$

${\displaystyle Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .}$

すると、 Qに関するダルシー・ワイスバッハ方程式は

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.}$

パイプや開水路の平均壁面せん断応力 τは、ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数を用いて次のように表される^[12]。

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{8}}f_{\text{D}}\rho {\langle v\rangle }^{2}.}$

壁面せん断応力のSI 単位はパスカル(Pa)です。

摩擦係数f _{D は}定数ではなく、パイプの特性 (直径Dと粗さの高さε )、流体の特性 (動粘性ν [nu])、流体の流速⟨ v ⟩などに依存します。これは特定の流れの状態内で高精度に測定されており、さまざまな経験的関係を使用して評価したり、公開されているチャートから読み取ったりすることができます。これらのチャートは、LF MoodyにちなんでMoody 線図と呼ばれることが多いため、係数自体は誤ってMoody 摩擦係数と呼ばれることがあります。また、彼が提案した近似式にちなん でBlasius摩擦係数と呼ばれることもあります。

図 1 は、さまざまな流体、さまざまなレイノルズ数、さまざまな粗さの高さのパイプについて実験者が測定したf _Dの値を示しています。これらのデータには、層流、臨界流、乱流という 3 つの広範な流体の流れの領域が存在します。

層流（滑らかな）流れの場合、ポアズイユの法則（流体の流れの正確な古典的解から生じる） の結果は、

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re} }},}$

ここでReはレイノルズ数である。

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},}$

ここでμは流体の粘度であり、

${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

は動粘性係数として知られています。このレイノルズ数の式では、特性長さD はパイプの水力直径とみなされ、これは満杯に流れる円筒形のパイプの内径に等しくなります。摩擦係数とレイノルズ数の図 1 と 2 では、 Re < 2000 の領域で層流が発生しており、摩擦係数は上記の式でよく表されています。^[c]

実際には、層流状態での摩擦損失は、流速の二乗に比例するのではなく、流速に比例するものとしてより正確に特徴付けられます。つまり、ダルシー・ワイスバッハの式は、層流状態では実際には適用できないと見なすことができます。

層流では、流体の粘性を介して流れの中心にある流体からパイプの壁への運動量の伝達によって摩擦損失が発生します。流れには渦は存在しません。摩擦損失はパイプの粗さの高さεには影響されないことに注意してください。パイプの壁付近の流速はゼロです。

レイノルズ数が2000 < Re < 4000の範囲の場合、流れは不安定 (時間とともに大きく変化する) であり、パイプのセクションごとに異なります (「完全に発達していない」)。流れには渦の初期形成が伴いますが、これは十分に理解されていません。

レイノルズ数が 4000 を超える場合、流れは乱流になります。流れに対する抵抗は、平均流速の 2 乗に比例するダルシー・ワイスバッハの式に従います。Re が何桁も異なる領域( 4000 < Re < 10 8 ⁾では、摩擦係数は 1 桁未満 ( 0.006 < f _D < 0.06 ) で変化します。乱流領域では、流れの性質は、パイプ壁が実質的に滑らかな領域と、その粗さの高さが顕著な領域にさらに分けられます。

パイプ表面が滑らかな場合（図2の「滑らかなパイプ」曲線）、摩擦係数のReによる変化は、パラメータを適切に調整した 滑らかなパイプ内の乱流に対するカルマン・プラントル抵抗方程式^{[9]によってモデル化できます。}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=1.930\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.537.}$

1.930と0.537という数字は現象論的なものであり、これらの特定の値はデータにかなりよく適合しています。^[13]積Re√fD （「摩擦レイノルズ数_」と呼ばれる）は、レイノルズ数と同様に、流れの（無次元の）パラメータと見なすことができます。Re√fDの値が固定されている場合、摩擦係数_も固定されます。

カルマン・プラントル抵抗方程式では、f _{D は}ランベルトW関数を使用してReの解析関数として閉じた形で表現できます。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}W\left(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}}\mathrm {Re} \right)=0.838\ W(0.629\ \mathrm {Re} )}$

この流れの状態で、多数の小さな渦が流体の塊とパイプ壁の間の運動量の伝達を担っています。摩擦レイノルズ数Re √ f _Dが増加すると、流体速度のプロファイルが壁に漸近的に近づき、ブラシウス境界層理論でモデル化されているように、より多くの運動量がパイプ壁に伝達されます。

パイプ表面の粗さεが顕著な場合（典型的には高レイノルズ数）、摩擦係数は滑らかなパイプ曲線から離れ、最終的に漸近値に近づきます（「粗いパイプ」領域）。この領域では、流れに対する抵抗は平均流速の2乗に応じて変化し、レイノルズ数には影響されません。ここで、流れの別の無次元パラメータである粗さレイノルズ数^{[14]を使用すると便利です。}

${\displaystyle R_{*}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\,\right){\frac {\varepsilon }{D}}}$

ここで、粗さ高さεはパイプの直径Dに比例します。

粗さ関数Bをプロットすると分かりやすい: ^[17]

${\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1.930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+\log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}\right)}$

図3はNikuradse ^[14] 、 Shockling ^{[18] 、Langelandsvik [19]}の粗パイプデータのB対R _∗を示しています。

このビューでは、異なる粗さ比のデータ⁠ε/だ⁠ R _∗に対してプロットすると、変数R _∗のスケーリングが示され、次の特徴が存在します。

• ε = 0のとき、 R _{∗ は}常にゼロです。つまり、流れは常に滑らかなパイプ領域にあります。これらの点のデータは横軸の左端にあり、グラフのフレーム内にはありません。
• R _∗ < 5の場合、データは線B ( R _∗ ) = R _∗上にあり、流れは滑らかなパイプ領域にあります。
• R _∗ > 100のとき、データは漸近的に水平線に近づき、Re、f _D、および⁠とは独立しています。ε/だ⁠ .
• 5 < R _∗ < 100の中間範囲は、ある動作から別の動作への移行を構成します。データはB ( R _∗ ) = R _{∗の線から非常にゆっくりと離れ、} R _∗ = 10付近で最大値に達し、その後一定値に下がります。

アフザルは、滑らかなパイプの流れから粗いパイプの流れへの移行におけるこれらのデータへの適合において、1 < R _∗ < 50 （滑らかなパイプの状態から粗いパイプの状態への移行）に対して適切な動作を保証するR _∗の指数式を採用しています。^{[15] [20] [21]}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.305R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

そして

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.930\log \left({\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.34R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

この関数は、Kármán-Prandtl 抵抗方程式と同じ項の値を共有し、さらにR _∗ → ∞の漸近挙動に適合させるための 1 つのパラメータ 0.305 または 0.34と、滑らかな流れから粗い流れへの移行を制御するためのもう 1 つのパラメータ 11 が追加されています。これは図 3 に示されています。

別の類似の粗さに対する摩擦係数は次のようになる。

 :${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.0\,\log _{10}\left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left\{1+0.305R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),}$

そして

:${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.93\,\log _{10}\left({\frac {1.91}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left\{1+0.34R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),}$

この関数は、カルマン・プラントル抵抗方程式と同じ項の値を共有し、さらにR _∗ → ∞の漸近挙動に適合させるための 1 つのパラメーター 0.305 または 0.34と、滑らかな流れから粗い流れへの移行を制御するためのもう 1 つのパラメーター 26 が追加されています。

コールブルック・ホワイト関係^[16]は摩擦係数を次の形の関数で表す。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}$^[d]

この関係は、図3のラベル付き曲線で示されるように、R _∗の極端な値で正しい動作を示します。R ∗_が小さい場合は滑らかなパイプの流れと一致し、大きい場合は粗いパイプの流れと一致します。ただし、遷移領域でのパフォーマンスは、摩擦係数をかなり大きく過大評価しています。^[18] ColebrookはNikuradzeのデータとの矛盾を認めていますが、彼の関係は市販のパイプの測定値と一致していると主張しています。確かに、そのようなパイプはNikuradseによって注意深く準備されたものとは非常に異なります。その表面は多くの異なる粗さの高さと粗さポイントのランダムな空間分布が特徴ですが、Nikuradseのものの表面は粗さの高さが均一で、ポイントが非常に密集しています。

乱流の場合、摩擦係数f _Dを求める方法としては、ムーディ線図などの図表を使用する方法や、コールブルック・ホワイト方程式（ムーディ線図のベース）やスワミー・ジェイン方程式などの方程式を解く方法があります。コールブルック・ホワイト関係式は一般に反復法ですが、スワミー・ジェイン方程式では、円管内の全流れに対してf _{D を}直接求めることができます。^[11]

典型的な工学アプリケーションでは、一連の既知または既知の量があります。重力加速度gと流体の動粘性ν は既知であり、パイプの直径Dとその粗さの高さεも同様です。単位長さあたりのヘッド損失Sも既知の量であれば、摩擦係数f _{D は}選択したフィッティング関数から直接計算できます。Darcy-Weisbach 方程式を√ f _Dについて解くと、

${\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\langle v\rangle }}}$

Re √ f _{D は}次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}}$

粗さレイノルズ数R _{∗ を}表すと、

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}\cdot \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {8}}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {g}}{\nu }}\varepsilon {\sqrt {S}}{\sqrt {D}}\end{aligned}}}$

摩擦係数f _D、流速⟨ v ⟩、体積流量Qについて、Colebrook-White関係式または他の関数に代入するために必要な2つのパラメータが得られます。

ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数f _{D は}ファニング摩擦係数 fの 4 倍大きいため、使用されている「摩擦係数」チャートや式ではどちらを意味しているかに注意する必要があります。この 2 つのうち、ダルシー・ワイスバッハ係数f _{D は}土木および機械エンジニアによってよく使用され、ファニング係数fは化学エンジニアによってよく使用されますが、チャートや式のソースに関係なく、正しい係数を識別するように注意する必要があります。

ご了承ください

${\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho {\langle v\rangle }^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho {\langle v\rangle }^{2}}}$

ほとんどのチャートや表には摩擦係数の種類が示されているか、少なくとも層流での摩擦係数の式が示されています。層流の式がf = ⁠の場合16/再⁠、それはファニング係数fであり、層流の式がf _D = ⁠である場合、64/再⁠、それはダルシー・ワイスバッハ因子f _Dです。

発行者が上記の式を含めなかった場合、ムーディ図にどの摩擦係数がプロットされるかは検査によって判断できます。

1. レイノルズ数 1000 における層流の摩擦係数の値を観察します。
2. 摩擦係数の値が 0.064 の場合、ダルシー摩擦係数はムーディ図にプロットされます。0.064 の非ゼロの数字は、層流ダルシー摩擦係数の式の分子であることに注意してください: f _D = ⁠64/再⁠ .
3. 摩擦係数の値が 0.016 の場合、ファニング摩擦係数はムーディ図にプロットされます。0.016 の非ゼロの数字は、層流ファニング摩擦係数の式の分子であることに注意してください: f = ⁠16/再⁠ .

上記の手順は、10 の整数乗である任意のレイノルズ数に対して同様です。この手順では値 1000 を覚えておく必要はありません。この目的には 10 の整数乗が重要であるということだけを覚えておいてください。

歴史的に、この式はプロニー方程式の変形として生まれた。この変形はフランスのヘンリー・ダーシーによって開発され、 1845年にザクセンのユリウス・ヴァイスバッハによって今日使用されている形にさらに改良された。当初は、 f _Dの速度による変化に関するデータが不足していたため、当初は多くの場合、ダーシー・ヴァイスバッハ方程式よりも経験的なプロニー方程式のほうが優れていた。後年、この方程式は多くの特殊なケースで避けられ、代わりに特定の流れの領域にのみ有効なさまざまな経験的方程式、特にヘイゼン・ウィリアムズ方程式やマニング方程式が採用された。これらの方程式のほとんどは計算に非常に使いやすかった。しかし、計算機の登場以来、計算の容易さはもはや大きな問題ではなくなり、ダーシー・ヴァイスバッハ方程式の汎用性により、この方程式が好まれるようになった。^[22]

パイプの端から離れると、流れの特性はパイプに沿った位置に依存しなくなります。重要な量は、単位長さあたりのパイプに沿った圧力降下です。Δp​/ら⁠、および体積流量です。流量は、流れの濡れ面積（パイプが流体で満たされている場合はパイプの 断面積に等しい）で割ることで、平均流速Vに変換できます。

圧力は単位体積あたりのエネルギーの次元を持っているため、2 点間の圧力降下は動圧q に比例する必要があります。また、単位長さあたりの圧力降下は定数であるため、圧力は 2 点間のパイプの長さLに比例する必要があることもわかっています。この関係を無次元量の比例係数に変換するには、パイプの水力直径Dで割ります。この直径もパイプに沿って一定です。したがって、

${\displaystyle \Delta p\propto {\frac {L}{D}}q={\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\langle v\rangle }^{2}}$

比例係数は、無次元の「ダルシー摩擦係数」または「流量係数」です。この無次元係数は、π 、レイノルズ数、および（層流領域外では）パイプの相対粗さ（粗さの高さと水力直径の比）などの幾何学的要因の組み合わせになります。

動圧は単位体積あたりの流体の運動エネルギーではないことに注意してください。 ^[要出典]理由は、次のとおりです。すべての流路がパイプの長さに平行な層流の場合でも、パイプの内面の流体の速度は粘性によりゼロであり、パイプの中心の速度は、体積流量を濡れ面積で割って得られる平均速度よりも大きくなければなりません。平均運動エネルギーには、常に平均速度を超える二乗平均平方根速度が含まれます。乱流の場合、流体はパイプの長さに垂直な方向を含むすべての方向にランダムな速度成分を取得するため、乱流は単位体積あたりの運動エネルギーに寄与しますが、流体の平均長さ方向の速度には寄与しません。

水圧工学の用途では、通常、パイプ内の体積流量Q (つまり、生産性) と単位長さあたりの損失水頭S (付随する電力消費) が極めて重要な要素となります。実際の結果として、体積流量Qが固定されている場合、損失水頭S は パイプ径Dの 5 乗に反比例して減少します。特定のスケジュール (たとえば、ANSI スケジュール 40) のパイプの直径を 2 倍にすると、単位長さあたりに必要な材料の量がほぼ 2 倍になり、したがって設置コストも 2 倍になります。一方、損失水頭は 32 分の 1 (約 97% の削減) に減少します。したがって、特定の体積流量の流体を移動させるのに消費されるエネルギーは、資本コストのわずかな増加で大幅に削減されます。

ダルシー・ワイスバッハの式は正確で普遍的な適用性があるため、パイプ内の流れを計算するのに理想的な式です。この式の利点は次のとおりです。^[1]

• それは基礎に基づいています。
• 寸法的に一貫しています。
• 油、ガス、塩水、スラッジなど、あらゆる流体に有効です。
• 層流領域では解析的に導くことができます。
• これは、層流と完全に発達した乱流の間の遷移領域で役立ちます。
• 摩擦係数の変化は十分に文書化されています。

• ベルヌーイの原理
• ダルシー摩擦係数の公式
• オイラー数
• 摩擦損失
• ヘイゼン・ウィリアムズ方程式
• ハーゲン・ポアズイユ方程式
• 水道管

18. Afzal, Noor (2013)「乱流における市販鋼管の粗さの影響：普遍的なスケーリング」Canadian Journal of Civil Engineering 40, 188-193。

• ド・ネヴェール（1970年）。流体力学。アディソン・ウェズレー。ISBN 0-201-01497-1。
• Shah, RK; London, AL (1978)。「ダクト内の層流強制対流」。熱伝達の進歩に関する補足 1。ニューヨーク: アカデミック。
• Rohsenhow, WM; Hartnett, JP; Ganić, EN ( 1985 )。『熱伝達の基礎ハンドブック（第 2 版）』。McGraw–Hill Book Company。ISBN 0-07-053554-X。
• Glenn O. Brown (2002)。「パイプの流れ抵抗に関する Darcy-Weisbach 方程式の歴史」。researchgate.net。

• ダーシー・ワイスバッハ方程式の歴史 2011-07-20 にWayback Machineでアーカイブ
• ダルシー・ワイスバッハ方程式計算機
• 単相流のパイプ圧力降下計算機。Wayback Machineに 2019-07-13 にアーカイブされています。
• 二相流のパイプ圧力降下計算機。2019-07-13 にWayback Machineでアーカイブされました。
• オープンソースのパイプ圧力降下計算機。
• パイプとダクトの圧力損失を計算するWebアプリケーション
• ThermoTurb – 熱および乱流解析のためのウェブアプリケーション