普遍的な C*-代数

数学において、普遍 C*-代数は、生成元と関係式で記述されるC*-代数である。環や代数では、普遍的な対象を構成するために自由環による商を考えることができるが、それとは対照的に、C*-代数は、ヒルベルト空間上の有界作用素の代数としてゲルファント・ナイマーク・シーガル構成によって実現可能でなければならず、関係式は各生成元のノルムに一様境界を規定しなければならない。つまり、生成元と関係式によっては、普遍 C*-代数が存在しない可能性がある。特に、自由 C*-代数は存在しない。

C*-代数の関係を定義する際には、いくつかの問題があります。1つは、前述のように、自由C*-代数が存在しないため、関係のすべてのセットがC*-代数を定義するわけではないことです。もう1つの問題は、関係として順序関係、連続関数計算を含む式、スペクトルデータを含めたい場合が多いことです。そのため、C*-代数の関係を定義するには、比較的回りくどい方法を使用します。以下の定義の背後にある基本的な動機は、関係をそれらの表現のカテゴリとして定義することです。

集合Xが与えられたとき、X上のヌル C*-関係は、ペア ( j , A )で構成されるオブジェクトを持つカテゴリです。ここで、 Aは C*-代数で、jはXからAへの関数であり、( j , A ) から ( k , B ) への射は、 φ ∘ j = kを満たすAからBへの*-準同型 φ で構成されます。X上のC*-関係は、次を満たすの完全なサブカテゴリです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$

1. {0} に対する一意の関数X はオブジェクトです。
2. AからBへの単射 *-準同型 φとXからAへの関数fが与えられたとき、 φ ∘ fがオブジェクトであれば、f はオブジェクトである。
3. AからBへの*-準同型 φとXからAへの関数fが与えられたとき、fがオブジェクトであれば、 φ ∘ f はオブジェクトである。
4. f _{i が}i =1,2,...,nのオブジェクトである場合、もオブジェクトです。さらに、空でないインデックス セットI内の_iのオブジェクトであるということは、積もオブジェクトであることを意味するため、C* 関係はコンパクトです。${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f_{i}:X\to \prod _{i=1}^{n}A_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}f_{i}:X\to \prod A_{i}}$

集合X上のC*-関係Rが与えられたとき、 XからC*-代数Uへの関数 ι は、次の条件を満たす場合、 Rの普遍表現と呼ばれる。

1. C*-代数AとUからAへの *-準同型 φが与えられたとき、 φ ∘ ι はRの対象である。
2. C*-代数AとR内のオブジェクト ( f , A )が与えられたとき、 f = φ ∘ ι を満たすUからAへの唯一の *-準同型 φ が存在する。 ι とU は同型を除いて一意であり、U はR の普遍 C*-代数と呼ばれることに注意する。

AC*関係Rは、 Rがコンパクトである場合にのみ普遍表現を持ちます。

集合X上の*-多項式p が与えられたとき、オブジェクト ( j , A )を持つの完全なサブカテゴリを定義でき、 p ∘ j = 0 となります。便宜上、p を関係と呼ぶことができ、関係の古典的な概念を復元することができます。残念ながら、すべての *-多項式がコンパクトな C*-関係を定義するわけではありません。 ^[1]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$

あるいは、抽象代数の構成にもっと近い、普遍 C*-代数のより具体的な特徴付けを使うこともできる。残念ながら、これは可能な関係の種類を制限してしまう。集合Gが与えられたとき、G上の関係は、 ( p , η)のペアからなる集合Rである。ここで、 pはX上の *-多項式、 η は非負の実数である。ヒルベルト空間H上の( G , R ) の表現は、 R内のすべての ( p , η)に対してとなる、XからH上の有界作用素の代数への関数 ρ である。ペア ( G , R ) は、表現が存在し、表現の直和も表現である場合に 許容可能と呼ばれる。すると、${\displaystyle \lVert p\circ \rho (X)\rVert \leq \eta }$

${\displaystyle \lVert z\rVert _{u}=\sup\{\lVert \rho (z)\rVert \colon \rho {\text{ is a representation of }}(G,R)\}}$

は有限であり、X上の自由代数上のC*-ノルム条件を満たす半ノルムを定義する。自由代数の商をイデアルで完備化することは、( G , R ) の普遍C*-代数と呼ばれる。 ^[2]${\displaystyle \{z\colon \lVert z\rVert _{u}=0\}}$

• 非可換トーラスは、交換関係を持つ 2 つのユニタリによって生成される普遍的な C* 代数として定義できます。
• クンツ代数、グラフ C*-代数、k-グラフ C*-代数は、部分等長変換によって生成される普遍 C*-代数です。
• ユニタリ元uによって生成される普遍C*-代数は表現を持つ。連続関数計算によれば、このC*-代数は複素平面上の単位円上の連続関数の代数である。ユニタリ元によって生成される任意のC*-代数は、この普遍C*-代数の商に同型である。^[2]${\displaystyle \langle u\mid u^{*}u=uu^{*}=1\rangle }$

• ローリング、T. (1997)、「C*-代数における摂動問題に対するリフティングソリューション」、フィールズ研究所モノグラフ、第8巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0602-5