k-グラフ C*-代数

数学において、 に対して、-グラフ（高階グラフまたは階数 のグラフとも呼ばれる）は、次数写像と呼ばれる関数とともに可算なカテゴリであり、次の因数分解プロパティを満たします。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle d:\Lambda \to \mathbb {N} ^{k}}$

およびが となる場合、 、、 となる唯一のが存在する。${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle d(\lambda )=m+n}$ ${\displaystyle \mu ,\nu \in \Lambda }$${\displaystyle d(\mu )=m}$${\displaystyle d(\nu )=n}$${\displaystyle \lambda =\mu \nu }$

因数分解の性質から直接得られる結果は、グラフ内の射は複数の方法で因数分解できることです。また、、、となる一意の も存在します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu ',\nu '\in \Lambda }$${\displaystyle d(\mu ')=m}$${\displaystyle d(\nu ')=n}$${\displaystyle \mu \nu =\lambda =\nu '\mu '}$

1 グラフは、有向グラフのパス カテゴリにすぎません。この場合、次数マップはその長さまでのパスを取ります。拡張により、-グラフは有向グラフの高次元類似物と見なすことができます。 ${\displaystyle k}$

グラフについて考える別の方法は、因数分解特性を記録するための追加情報を伴う- 色の有向グラフとして考えることです。グラフの基礎となる - 色のグラフは、そのスケルトンと呼ばれます。2 つの- グラフは同じスケルトンを持つことができますが、因数分解規則は異なります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Kumjian と Pask はもともと、Robertson と Steger の構成の一般化として -グラフを導入しました。^{[1] -グラフの表現を}ヒルベルト空間上の有界演算子として考えることにより、それらは構造が因数分解規則を反映する興味深いC*-代数を構成するためのツールになりました。のようないくつかのコンパクトな量子群は、 -グラフの -代数として実現できます。 ^[2] -グラフと圏論における厳密な因数分解システム の間にも密接な関係があります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle SU_{q}(3)}$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

-グラフの表記法は、カテゴリの対応する表記法から広範囲に借用されています。 ${\displaystyle k}$

• を とします。因数分解の性質により、 となります。${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle \Lambda ^{n}=d^{-1}(n)}$${\displaystyle \Lambda ^{0}=\operatorname {Obj} (\Lambda )}$

• 射影をそのソースと範囲に適用するマップとがあります。${\displaystyle s:\Lambda \to \Lambda ^{0}}$${\displaystyle r:\Lambda \to \Lambda ^{0}}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle s(\lambda )}$ ${\displaystyle r(\lambda )}$

• およびについては、および が成り立ちます。${\displaystyle v,w\in \Lambda ^{0}}$${\displaystyle X\subseteq \Lambda }$${\displaystyle vX=\{\lambda \in X:r(\lambda )=v\}}$${\displaystyle Xw=\{\lambda \in X:s(\lambda )=w\}}$${\displaystyle vXw=vX\cap Xw}$

• すべてに対して であり、である場合、 はソースのない行有限であると言われます。${\displaystyle 0<\#v\Lambda ^{n}<\infty }$${\displaystyle v\in \Lambda ^{0}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle \Lambda }$

グラフは、そのスケルトンを介して視覚化できます。を の標準生成子とします。アイデアは、の射影を でインデックス付けされた色の有向グラフの辺として考えることです。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle \Lambda ^{e_{i}}=d^{-1}(e_{i})}$${\displaystyle i}$

より正確に言うと、グラフの スケルトンは、 から継承された頂点 、辺、範囲マップとソース マップ、および の場合にのみで定義されるカラー マップを持つk色の有向グラフです。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle E=(E^{0},E^{1},r,s,c)}$${\displaystyle E^{0}=\Lambda ^{0}}$${\displaystyle E^{1}=\cup _{i=1}^{k}\Lambda ^{e_{i}}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle c:E^{1}\to \{1,\ldots ,k\}}$${\displaystyle c(e)=i}$ ${\displaystyle e\in \Lambda ^{e_{i}}}$

グラフのスケルトンだけではグラフを復元するのに十分ではありません。因数分解に関する追加情報は、可換な正方形の完全かつ連想的なコレクションにエンコードできます。^[3]特に、およびの各 に対して、およびの場合、 、、およびの場合の一意の が存在しなければなりません。可換な正方形の異なる選択により、同じスケルトンを持つ異なる グラフが生成される可能性があります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle e,f\in E^{1}}$${\displaystyle c(e)=i}$${\displaystyle c(f)=j}$${\displaystyle e',f'\in E^{1}}$${\displaystyle c(e')=i}$${\displaystyle c(f')=j}$${\displaystyle ef=f'e'}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle k}$

• 1 グラフは、まさに有向グラフのパス カテゴリです。 が有向グラフのパスである場合、 はその長さです。因数分解条件は簡単です。 が長さ のパスである場合、 を長さ の初期サブパスとし、を長さ の最終サブパスとします。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle d(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n}$

• モノイドは 、1 つのオブジェクトを持つカテゴリとして考えることができます。 上の恒等式は、グラフを作成する次数マップを与えます。${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle k}$

• とします。すると、 は範囲マップ、ソース マップ、合成 を持つカテゴリになります。設定すると、次数マップが得られます。因数分解規則は次のように与えられます。ある に対して、 が一意の因数分解である場合。${\displaystyle \Omega _{k}=\{(m,n):m,n\in \mathbb {Z} ^{k},m\leq n\}}$${\displaystyle \Omega _{k}}$${\displaystyle r(m,n)=(m,m)}$${\displaystyle s(m,n)=(n,n)}$${\displaystyle (m,n)(n,p)=(m,p)}$${\displaystyle d(m,n)=n-m}$${\displaystyle d(m,n)=p+q}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle (m,n)=(m,m+q)(m+q,n)}$

グラフ C*-代数を有向グラフに関連付けることができるのと同様に、普遍 C*-代数を-グラフに関連付けることができます。 ${\displaystyle k}$

をソースのない行有限グラフとすると、 Cuntz-Krieger族またはC*-代数Bにおけるの表現は次のような 写像である。${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S\colon \Lambda \to B}$

1. ${\displaystyle \{S_{v}:v\in \Lambda ^{0}\}}$相互に直交する投影の集合です。
2. ${\displaystyle S_{\lambda }S_{\mu }=S_{\lambda \mu }}$すべての人のために;${\displaystyle \lambda ,\mu \in \Lambda }$${\displaystyle s(\lambda )=r(\mu )}$
3. ${\displaystyle S_{\mu }^{*}S_{\mu }=S_{s(\mu )}}$すべてに対して; そして${\displaystyle \mu \in \Lambda }$
4. ${\displaystyle S_{v}=\sum _{\lambda \in v\Lambda ^{n}}S_{\lambda }S_{\lambda }^{*}}$すべておよびについて。${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle v\in \Lambda ^{0}}$

この代数は、Cuntz-Krieger 族によって生成される普遍C*-代数です。 ${\displaystyle C^{*}(\Lambda )}$${\displaystyle \Lambda }$

• グラフC*代数

• レイバーン、I.、「グラフ代数」、CBMS 数学地域会議シリーズ、第 103 巻、アメリカ数学会