クールノー競争

クールノーの競争モデルは、通常、2つの企業が市場支配力を共有する複占市場構造の場合に提示されます。ここでは、これら2つの企業のみで構成される市場が存在すると仮定します。${\displaystyle firm_{1}}$そして${\displaystyle firm_{2}}$各企業が同じ限界費用に直面すると仮定します。つまり、特定の企業の場合、${\displaystyle i}$の生産量、表記は$q_i$どこ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$、 固い${\displaystyle i}$生産コスト$q_i$生産単位は次のように表される。${\displaystyle C(q_{i})=\chi q_{i}}$、 どこ${\displaystyle \chi }$は限界費用です。この仮定は、両企業が生産単位当たり同じ費用に直面していることを示しています。したがって、各企業の利益は収益から費用を差し引いたものに等しく、収益は生産単位数に市場価格を掛けたものに等しいので、企業1と企業2の利益関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle \Pi _{1}(Q)=p(Q)q_{1}-\chi q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(Q)=p(Q)q_{2}-\chi q_{2}}$

上記の利益関数では、価格は総生産量の関数として表され、それを次のように表します。${\displaystyle Q}$そして2つの企業については、${\displaystyle Q=q_{1}+q_{2}}$例えば、価格（逆需要関数）が線形であり、次の形式であると仮定しましょう。${\displaystyle p=a-bQ}$したがって、逆需要関数は次のように書き換えることができます。${\displaystyle p=a-bq_{1}-bq_{2}}$。

ここで、価格の代わりに方程式を代入すると、${\displaystyle p(Q)}$各企業の利益関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle \Pi _{1}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{2}}$

企業は利益最大化を目指すと仮定すると、各企業に対する一次条件（FOC）は以下のとおりである。

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{1}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{1}}}=a-2bq_{1}-bq_{2}-\chi =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{2}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{2}}}=a-bq_{1}-2bq_{2}-\chi =0}$

FOCsは、企業が${\displaystyle i}$限界費用が (${\displaystyle {\text{MC}}}$）は限界収益に等しい（${\displaystyle {\text{MR}}}$) 直感的に言えば、企業は利益が出る限り生産を続けるだろう。なぜなら、この時点を超えてさらに生産を続けると、${\displaystyle {\text{MC}}>{\text{MR}}}$したがって、この点を超えて生産すると、企業は追加生産する単位ごとに損失を被ることになります。利益最大化量では、${\displaystyle {\text{MC}}={\text{MR}}}$私たちは持っていなければならない${\displaystyle {\text{MC}}-{\text{MR}}=0}$そのため、上記の式をゼロに等しいと置きます。

これで、各企業が利益最大化生産量で生産している状態を表す2つの方程式が得られたので、この連立方程式を解くだけで各企業の最適な生産量を求めることができます。${\displaystyle q_{1},q_{2}}$それぞれ企業1と企業2について。したがって、次の式が得られます。

${\displaystyle q_{1}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\frac {q_{2}}{2}}}$

${\displaystyle q_{2}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\dfrac {q_{1}}{2}}}$

これらの関数は、企業が市場で直面する価格を考慮した場合の、各企業の最適な（利益最大化）生産量を記述する。${\displaystyle p}$限界費用、${\displaystyle \chi }$、そして競合企業の生産量。これらの関数は、他社の生産量に対する企業の「最適反応」を記述するものと考えることができる。

ここで、上記の「最適反応」関数を使用して、企業1と企業2の生産量に対するクールノー・ナッシュ均衡を求めることができます。両企業は同じ単位当たりコスト（${\displaystyle \chi }$）と価格（${\displaystyle p}$したがって、企業間のこの対称的な関係を利用して、を固定することで均衡数量を求める。${\displaystyle q_{1}=q_{2}=q^{*}}$この設定では均衡レベルが得られることは確実です。なぜなら、どちらの企業も生産量を変更するインセンティブがなく、変更するとライバル企業に利益をもたらすため、自社に不利益が生じるからです。${\displaystyle q^{*}}$のために${\displaystyle q_{1},q_{2}}$そしてこれを解くと、均衡状態における対称的な（各企業で同じ）生産量は次のようになる。 ${\displaystyle q^{*}={\frac {a-\chi }{3b}}}$。

この均衡値は、企業1と企業2の最適な生産量を表しており、各企業は以下の生産量を生産している。${\displaystyle q^{*}}$したがって、均衡状態では、市場全体の生産量は${\displaystyle Q}$になるだろう${\displaystyle Q=q_{1}^{*}+q_{2}^{*}={\frac {2(a-\chi )}{3b}}}$。

2人のオーナーに帰属する収益は${\displaystyle pD_{1}}$そして${\displaystyle pD_{2}}$つまり、${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{1}}$そして${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{2}}$最初の所有者は、パラメータを最適化することで利益を最大化します。${\displaystyle D_{1}}$彼の支配下にあるが、彼の利益の偏微分が${\displaystyle D_{1}}$は0であるべきであり、鏡像の推論はライバルにも適用される。したがって、次の式が得られる。

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{1}f'(D_{1}+D_{2})=0}$そして

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{2}f'(D_{1}+D_{2})=0}$。

平衡位置は、これら2つの方程式を同時に解くことで求められます。最も簡単な方法は、これらを足し引きして、次の式に変換することです。

${\displaystyle D_{1}=D_{2}}$そして

${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$、 どこ${\displaystyle D=D_{1}+D_{2}}$。

したがって、2人の所有者が同量の供給を行い、販売された総量は、次の単一の非線形方程式の根であることがわかります。${\displaystyle D}$。

クールノーはこの単純な解決策にとどまらず、平衡の安定性を研究した。彼のオリジナルの方程式はそれぞれ、${\displaystyle D_{1}}$そして${\displaystyle D_{2}}$これはグラフ上に描画できる。最初の所有者が数量を提供していた場合${\displaystyle x_{\textsf {l}}}$すると、2番目の所有者は数量を採用する${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$収益を最大化するために、赤い曲線から調整します。しかし、同様の推論により、最初の所有者は供給を調整して${\displaystyle x_{\textsf {ll}}}$青い曲線で示されているように、彼または彼女に最大の利益を与えるには${\displaystyle D_{2}}$に等しい${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$これにより、2番目の所有者は供給価値に適応することになるだろう。${\displaystyle y_{\textsf {ll}}}$交点で平衡状態に達するまで、これを繰り返す。${\displaystyle i}$座標は${\displaystyle (x,y)}$。

所有者が均衡位置に向かって移動するので、均衡は安定していることになるが、クールノーは、赤と青の曲線が入れ替わると、これはもはや成り立たなくなると指摘している。彼は、例えば、必然的に次のようになるため、対応する図は許容できないことが容易に分かると付け加えている。${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$これを検証するには、次の点に注目してください。${\displaystyle D_{1}}$が 0 の場合、2 つの方程式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle f(D_{2})=0}$そして

${\displaystyle f(D_{2})+D_{2}f'(D_{2})=0}$。

これらのうち最初のものは、量に対応します${\displaystyle D_{2}}$価格がゼロのときに販売される（これは一般の人々が消費しようとする最大量である）一方、2番目の式は、${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$に関して${\displaystyle D_{2}}$0ですが、${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$総販売数量の金銭的価値${\displaystyle D_{2}}$そして、この値の転換点は最大値です。明らかに、金銭的価値を最大化する販売数量は、可能な最大販売数量（値が0に対応する）よりも前に達成されます。したがって、根は${\displaystyle m_{1}}$最初の方程式の は、必然的に根よりも大きい。${\displaystyle m_{2}}$2番目の式について。

クールノーのシステムは、次の式に帰着することがわかった。${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$。${\displaystyle D}$機能的に関連している${\displaystyle p}$経由${\displaystyle f}$一方の方向と${\displaystyle F}$もう一方では、この方程式を次のように再表現すると、${\displaystyle p}$それは私たちにこう告げている${\displaystyle F(p)+2pF'(p)=0}$これは、次の式と比較できます。${\displaystyle F(p)+pF'(p)=0}$独占権のために以前に取得したもの。

別の変数をプロットすると${\displaystyle u}$に対して${\displaystyle p}$すると、関数の曲線を描くことができる。${\displaystyle u=-{\frac {F(p)}{F'(p)}}}$独占価格は${\displaystyle p}$この曲線が直線と交差する点${\displaystyle u=p}$一方、複占価格は、曲線とより急な直線との交点によって与えられる。${\displaystyle u=2p}$曲線の形状に関係なく、${\displaystyle u=2p}$の左側で発生する（つまり、より低い価格で）${\displaystyle u=p}$したがって、複占市場における価格は独占市場における価格よりも低く、販売量はそれに応じて多くなる。

があるとき${\displaystyle n}$所有者にとって、価格方程式は次のようになります${\displaystyle F(p)+npF'(p)=0}$価格は、図の交点から読み取ることができます。${\displaystyle u=np}$曲線に沿って、所有者の数が増えるにつれて価格は無限に減少します。所有者の数が無限になると、価格はゼロになります。より一般的に言えば、生産コストを考慮に入れると、価格は限界費用になります。