ベルトラン・コンペティション

ベルトラン競争は、経済学で用いられる競争モデルであり、ジョセフ・ルイ・フランソワ・ベルトラン（1822～1900）にちなんで名付けられました。これは、価格を設定する企業（売り手）と、設定された価格で数量を選択する顧客（買い手）との間の相互作用を記述します。このモデルは、1883年にベルトランがアントワーヌ・オーギュスタン・クールノーの著書『富の理論の数学的原理に関する研究』（1838年）のレビューの中で定式化しました。クールノーはこの著書の中でクールノー・モデルを提唱していました。^{[ 1 ]}クールノー・モデルは、各企業が数量レベルを選択し、その数量を販売するために価格レベルを調整することによって利益を最大化すべきであると主張しました。モデルの均衡の結果、企業は限界費用を上回る価格を設定することになり、これが競争価格となります。ベルトランは、そのレビューの中で、各企業は競合他社の価格が限界費用を上回っている場合に、競合他社の価格を下回る価格水準を選択することで利益を最大化すべきだと主張した。^{[ 2 ]}このモデルはベルトランによって形式化されたものではないが、 1889年にフランシス・イシドロ・エッジワースによって数学モデルに発展させられた。^{[ 3 ]}

単純な枠組みを考慮すると、ベルトランモデルの根底にある仮定は以下のとおりである。

• がある${\displaystyle n}$企業（${\displaystyle i=1,2,...}$）同質な商品、つまり同一の商品を生産する市場で競争している。^{[ 4 ]}
• 市場需要関数${\displaystyle Q=D(p)}$ここで、Qは企業が生産した数量の合計である。${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}}$${\displaystyle Q_{i}}$は連続的で下向きに傾斜しており、${\displaystyle D'(p)<0}$^{[ 5 ]} ;
• 限界費用は対称的である。${\displaystyle c_{1}=c_{2}=...=c}$^{[ 6 ]}​
• 企業には生産能力の制約がない。つまり、各企業は市場の需要を満たすのに十分な商品を生産する能力を持っている。^{[ 7 ]}
• 企業は他社の決定を知らずに同時に価格を設定するため、消費者は探索コストを負担する必要がない。消費者は両社の価格を観察することができる。

さらに、市場における企業の競争の需要法則を考慮すると、以下のことが直感的に導き出せる。

• 最低価格を設定した企業が市場全体を獲得するだろう。なぜなら、製品は同質であり、顧客にとって切り替えコストがないからである。^{[ 7 ]}
• 企業が設定した価格が同じであれば、${\displaystyle p_{1}=p_{2}=...=p}$それらは市場に等しく貢献するだろう。${\displaystyle {\frac {p}{n}}}$[ ^{8 ]​}

ベルトランモデルでは、競争価格は戦略的な価格決定におけるナッシュ均衡として機能します。両社が限界費用（単位費用）で競争価格を設定した場合、どちらの企業も利益を得られません。一方の企業が価格を限界費用に合わせ、もう一方の企業が価格を単位費用以上に引き上げた場合、消費者は競争価格のオプションを選択するため、後者は利益を得られません。他の価格設定シナリオでは均衡は達成されません。単位費用を上回る同一の価格を設定すると、各企業が市場全体を掌握し、利益を大幅に増加させることを目指して、他社の価格を引き下げるという不安定なインセンティブが生じます。この不均衡は、消費者が同一の嗜好を持つため、より安価な製品を好む代替財市場で企業が競争していることに起因します。さらに、企業が異なる価格を設定した場合も均衡は達成されません。価格の高い企業は利益を得られないため、競合他社の価格を引き下げるために価格を引き下げることになります。したがって、ベルトランモデルにおける唯一の均衡は、両社が単位費用に等しい価格、すなわち競争価格を設定した場合に生じます。^{[ 9 ]}

ここで強調しておきたいのは、ベルトラン均衡は弱いナッシュ均衡であるということだ。企業は競争価格から逸脱しても何も失わない。これは、相手企業が競争価格を設定し、その価格で全ての需要を満たす意思がある場合、各企業が得る利益はゼロ以下であるため、単純に均衡が成立する。

同質財を生産する複占市場における価格競争に関するベルトランモデルは、以下の特徴を持つ。

• プレイヤー：2社${\displaystyle i\in \{1,2\}}$一定の共通限界費用${\displaystyle c,\ (c_{1}=c_{2})}$;
• 戦略的変数：各企業${\displaystyle i}$独自の価格を選択${\displaystyle p_{i}}$.;
• タイミング：同時進行ゲーム；
• 企業の利益：利益、そして
• 情報：完了。^{[ 5 ]}

価格に対して右下がりの総需要関数を想像してみてください。${\displaystyle D(p)}$。 固い${\displaystyle i}$の個々の需要関数は、その価格の関数である。${\displaystyle p_{i}}$そしてもう一方の企業の価格${\displaystyle p_{j}}$: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle D_{i}(p_{i},p_{j})={\begin{cases}D(p_{i}),&{\text{if }}p_{i}<p_{j}\\{\frac {D(p_{i})}{2}},&{\text{if }}p_{i}=p_{j}\\0,&{\text{if }}p_{i}>p_{j}\end{cases}}}$

重要な点として、この場合、市場需要は連続的ですが、上記の関数記述に見られるように、企業の需要は不連続です。これは、企業の利益関数も不連続であることを意味します。^{[ 5 ]}したがって、企業は${\displaystyle i}$以下に述べるように、利益を最大化することを目指し、${\displaystyle p_{j}}$ 与えられたとおり: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \pi _{i}(p_{i},p_{j})=(p_{i}-c)D_{i}(p_{i},p_{j})}$

企業にとって最適な回答を導き出すために${\displaystyle i}$、 させて${\displaystyle p_{m}}$は、業界全体の利益を最大化する独占価格であり、${\displaystyle p^{m}=argmax_{p}(pc)D(p)}$これは最も合理的な戦略である。価格競争がなくても、どの企業もこの閾値を超えて価格を引き上げるインセンティブを持たない。なぜなら、この閾値を超えると、単価の上昇によって失われる需要を正当化できないからである。

この情報から、最適な応答対応関係を構築できます。

• 相手が独占価格よりも高い価格を選択した場合、あなたは独占価格を選択すべきです。
• 限界費用よりも低い価格で販売すると損失が発生します。相手が限界費用よりも低い価格を選択した場合、あなたは負けるために相手よりも高い価格を設定することになります。あなたが限界費用よりも低い価格を選択しても問題ないことに注意してください。${\displaystyle c}$より高い価格を選択する限り、需要、ひいては利益は常にゼロになります。
• 相手が選択した場合${\displaystyle p_{j}=c}$あなたは、ゼロのマークアップで需要を共有するか、損失を出して需要をゼロにするかのどちらでも構わない。${\displaystyle p_{i}\geq p_{j}=c}$が最良の回答です。
• 相手が価格を選択した場合${\displaystyle p_{j}\in (c,p^{m}]}$非常に小さな値で相手を出し抜くべきだと言いたくなる気持ちはわかる。${\displaystyle \epsilon }$（つまり）${\displaystyle p_{i}=p_{j}-\epsilon }$需要をすべて奪うため。これは正しい直感だが、それを通信に含めるのは間違いだろう。${\displaystyle \epsilon }$どれを選んでも、連続戦略では常により小さな偏差を見つけることができます。したがって、これらの値のどれもが最適な応答ではありません。したがって、最適な応答は空集合です。${\displaystyle \emptyset }$。

これは、以下の最良応答対応として要約できます。

${\displaystyle R_{i}(p_{j})={\begin{cases}\{p_{i}:p_{i}>p_{j}\}&{\text{ if }}p_{j}<c\\\{p_{i}:p_{i}\geq c\}&{\text{ if }}p_{j}=c\\\emptyset &{\text{ if }}p_{j}\in (c,p^{m}]\\\{p^{m}\}&{\text{ if }}p_{j}>p^{m}\\\end{cases}}}$

ナッシュ均衡は以下を満たす必要がある ${\displaystyle \exists (p_{1},p_{2})}$そのため${\displaystyle p_{1}\in R_{1}(p_{2})}$そして${\displaystyle p_{2}\in R_{2}(p_{1})}$。 言い換えると${\displaystyle p_{1}}$そして${\displaystyle p_{2}}$同時に、互いに最適な対応関係となるべきである。2社の最適な対応関係の図式表現では、これは2つの対応関係が交差する点に相当する。これは、点においてのみ発生する。${\displaystyle p_{1}=p_{2}=c}$これは唯一のナッシュ均衡である。

ベルトランの価格競争モデルは完全競争の結果をもたらすことに留意すべきである。^{[ 7 ]}これはベルトランのパラドックスとして知られており、市場に2つの競争相手がいれば競争価格を生み出すのに十分であるが、この結果は多くの現実世界の産業では一貫していない。^{[ 5 ]}理論的には、この結果は、共通でないまたは一定でない限界費用や、ゲームが無限に繰り返される場合に崩れる可能性がある。

ある企業の平均コストが低い場合（優れた生産技術を持っている場合）、その企業は他社の平均コストよりも低い最高価格（つまり、他社が設定できる最低価格よりわずかに低い価格）を設定し、すべての取引を獲得します。これは「限界価格設定」として知られています。

ベルトランモデルは、いくつかの非常に極端な仮定に基づいています。たとえば、消費者は最も低価格の企業から購入したいと仮定しています。多くの市場でこれが成り立たない理由はいくつかあります。非価格競争と製品差別化、輸送コストと探索コストなどです。たとえば、野菜の価格を1%節約するために、2倍の距離を移動する人がいるでしょうか? ベルトランモデルは、製品または場所の差別化を含めるように拡張できますが、その場合、価格が限界費用まで引き下げられるという主要な結果はもはや成り立ちません。探索コストがある場合、競争価格以外の均衡が存在する可能性があります。古典的な「バーゲンとぼったくり」モデルのように、独占価格や価格分散が均衡となる場合もあります。^{[ 11 ]}

このモデルは、生産能力の制約も無視しています。単一企業が市場全体に供給する能力を持たない場合、「価格が限界費用に等しい」という結果は成り立たない可能性があります。このケースの分析はフランシス・イシドロ・エッジワースによって開始され、ベルトラン・エッジワース・モデルとして知られるようになりました。生産能力の制約がある場合、純粋戦略ナッシュ均衡は存在しない可能性があり、これはエッジワースのパラドックスと呼ばれています。しかし、一般にはヒュー・ディクソンが示したように、混合戦略ナッシュ均衡が存在します。^{[ 12 ]}

さらに、一部の経済学者は、企業が固定費を抱えている状況では、このモデルは非現実的な結果をもたらすと批判している。${\displaystyle F}$そして、前述したように、一定の限界費用、${\displaystyle c}$したがって、総コストは、${\displaystyle TC}$生産すること${\displaystyle Q}$単位は、${\displaystyle TC=F+cQ}$古典的なモデルで説明されているように、価格は最終的に限界費用まで低下し、企業は経済的利益をゼロにし、限界以下の単位では利益を上げられなくなります。したがって、企業は固定費用を回収することができません。しかし、企業が右上がりの限界費用曲線を持っている場合、限界以下の販売で限界利益を上げることができ、それが固定費用の回収に貢献します。^{[ 7 ]}

ベルトランモデルでは協力する大きなインセンティブがあります。独占価格を設定するために共謀し、${\displaystyle p_{m}}$市場を平等に分け、${\displaystyle {\frac {p_{m}}{n}}}$、 どこ${\displaystyle n}$は市場における企業の数である。^{[ 13 ]}しかし、共謀せず限界費用を請求することは非協力的な結果であり、このモデルの唯一のナッシュ均衡である。 ^{[ 7 ]}したがって、同時移動ゲームから無限の期間を持つ繰り返しゲームに移行すると、フォーク定理により共謀が可能になる。^{[ 14 ]}

ベルトランモデルとクールノーモデルは、競争プロセスの異なる側面に焦点を当てており、その結果、企業が示す市場需要の特性を変化させるさまざまなメカニズムが特定されています。クールノーモデルは、市場が、特定の企業が生産した数量に等しい販売量を、市場によって決定された価格水準で配分すると仮定しています。一方、ベルトランモデルは、最も低い価格の企業が市場での販売をすべて獲得すると仮定しています。^{[ 2 ]}

モデルを比較すると、寡占理論ではベルトラン産業はクールノー産業よりも競争が激しいとされています。これは、クールノーモデルでは数量が戦略的代替品とみなされているためです。つまり、ある企業が生産量を増やすと、ライバル企業は生産量を減らすことで対応します。一方、ベルトランモデルでは価格が戦略的補完品とみなされるため、企業は価格水準の上昇に対して、ライバル企業よりも価格を下げることで積極的に対抗します。^{[ 15 ]}

さらに、両モデルとも、現実世界のシナリオと比較した仮定に基づいて批判されています。しかし、古典的なモデルの結果は、以下に示すような考え方で調和させることができます。市場におけるモデルの適切な適用を考慮すると、次のようになります。

• クールノーモデルは、企業が事前に生産決定を行い、その数量レベルでの販売にコミットしなければならない市場に適用可能であり、したがって、競合他社の生産量の変動に反応する可能性は低い。
• ベルトランモデルは、生産能力が十分に柔軟で、企業が設定した価格水準で発生するあらゆる市場需要を満たすことができる市場に適用可能です。^{[ 16 ]}

どちらのモデルも必ずしも他方より「優れている」とは言えません。各モデルの予測精度は、業界ごとに異なり、それぞれのモデルが業界の状況にどれだけ近いかによって左右されます。生産能力と生産量を容易に変更できる場合は、一般的にベルトランモデルの方が複占競争のモデルとして優れています。生産量と生産能力の調整が難しい場合は、一般的にクールノーモデルの方が優れています。

特定の条件下では、クールノーモデルは2段階モデル​​として再構成することができ、第1段階では企業が生産能力を選択し、第2段階ではベルトラン方式で競争する。

• 寡占理論を分かりやすく解説した、ヒュー・ディクソン著『サーフィン経済学』第6章。
• 独占の純粋理論、フランシス・エッジワース
• ベルトランによるワルラスとクールノーの評論