凹面化

数学において、凹化とは非凹関数を凹関数に変換するプロセスである。関連する概念に凸化があり、非凸関数を凸関数に変換する。これは経済学や数理最適化において特に重要である。^[1]

凹面化の重要な特殊なケースは、元の関数が準凹関数である場合です。次のことが知られています。

• すべての凹関数は準凹関数ですが、その逆は真ではありません。
• 準凹関数のすべての単調変換も準凹関数です。たとえば、が準凹関数であり、が単調増加関数である場合、も準凹関数です。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto g(f(x))}$

したがって、自然な疑問は次のようになります。準凹関数 が与えられたとき 、が凹であるような単調増加 が存在するでしょうか?${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto g(f(x))}$

例として、定義域 上の関数 を考えます。この関数は準凹関数ですが、凹関数ではありません (実際は厳密に凸関数です)。 は凹関数なので、たとえば単調変換 を使って凹関数にすることができます。 ${\displaystyle x\mapsto f(x)=x^{2}}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle t\mapsto g(t)=t^{1/4}}$${\displaystyle x\mapsto g(f(x))={\sqrt {x}}}$

すべての凹関数がこのように凹化できるわけではない。反例がフェンチェルによって示された。^[2]彼の例は次の通りである。フェンチェルはこの関数が準凹であることを証明したが、 が凹になるような単調変換は存在しない。^{[3] : 7–9}${\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y):=y+{\sqrt {x+y^{2}}}}$${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)\mapsto g(f(x,y))}$

これらの例に基づいて、関数を凹状にする単調変換が存在する場合、関数は凹状にできると定義します。ここでの疑問は、どのような準凹関数が凹状にできるのか、ということです。

ヤカール・カンナイは、この問題を効用関数の文脈で詳細に扱い、連続凸選好が凹効用関数で表現されるための十分な条件を与えている。 ^[4]

^{彼の結果は後にコネルとラスムッセン[3]}によって一般化され、凹状化の必要十分条件が与えられました。彼らは関数が条件に違反しており、したがって凹状化できないことを示しています。彼らはこの関数が厳密に準凹状であり、その勾配はゼロではないが、凹状化できないことを証明しました。 ${\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y)=e^{e^{x}}\cdot y}$