ファノ係数

統計学において、ファノ係数^[1]は変動係数と同様に、計数過程の分散の尺度である。もともとはイオン検出器のファノノイズを測定するために使用されていた。イタリア系アメリカ人の物理学者ウーゴ・ファノにちなんで名付けられた。

一定時間後のファノ因子は次のように定義される。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle F(t)={\frac {\sigma _{t}^{2}}{\mu _{t}}},}$

ここで、は標準偏差、 はある時間後のカウント プロセスのイベントの平均数です。ファノ係数は、一種のノイズ対信号比として考えることができます。これは、いくつかのランダム イベントの後に待機時間ランダム変数を推定できる信頼性の尺度です。 ${\displaystyle \sigma_{t}}$${\displaystyle \mu_{t}}$${\displaystyle t}$

ポアソンカウントプロセスの場合、カウントの分散は平均カウントに等しいため、 となります。 ${\displaystyle F=1}$

計数過程において、ある時間後のファノ因子は次のように定義される。 ${\displaystyle N_{t}}$${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle F(t)={\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}.}$

長期限界はファノ因子とも呼ばれる。

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t).}$

保持時間がランダム変数と同様に分布する更新プロセスの場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t)=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (S)}{\operatorname {E} [S]^{2}}}.}$^[2]

右辺は変動係数の2乗に等しいため、この式の右辺はファノ因子とも呼ばれることがあります。^[3]${\displaystyle c_{v}^{2}=\演算子名 {Var} (S)/\演算子名 {E} [S]^{2}}$

数の分散として考えると、ファノ係数はのピークの幅にほぼ対応します。そのため、ファノ係数は、基礎となるプロセスの予測不可能性として解釈されることがよくあります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle N_{t}}$

保持時間が一定の場合、 となります。したがって、 の場合、更新プロセスは非常に予測可能であると解釈できます。 ${\displaystyle F=0}$${\displaystyle F\approx 0}$

任意の時間間隔で発生するイベントの確率が常に等しい場合、保持時間は指数分布する必要があり、ポアソンカウントプロセス が得られます。 ${\displaystyle F=1}$

粒子検出器では、ファノ係数は衝突時のエネルギー損失が純粋に統計的ではないことから生じます。原子がイオン化される方法の数は個別の電子殻によって制限されるため、個々の電荷キャリアを生成するプロセスは独立ではありません。その結果、純粋に統計的な考慮によって予測されるよりも優れたエネルギー分解能が得られます。たとえば、w が検出器で粒子が電荷キャリアを生成する平均エネルギーである場合、粒子エネルギーE を測定するための相対的なFWHM分解能は次のようになります。^[4]

${\displaystyle R={\frac {\mathrm {FWHM} }{\mu }}=2.35{\sqrt {\frac {Fw}{E}}},}$

ここで、係数 2.35 は標準偏差と FWHM を関連付けます。

ファノ係数は材料によって異なります。理論上の値は次のとおりです。^[5]

ファノ係数の測定は、解像度に寄与する要因が多数あるため困難ですが、いくつかの実験値は次のとおりです。

ファノ因子は神経科学において神経スパイクの変動性を説明するために用いられる。^[12]この文脈では、イベントは神経スパイクイベントであり、保持時間はスパイク間隔（ISI）である。多くの場合、ファノ因子の限界定義が使用され、

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (ISI)}{(\operatorname {E} [ISI])^{2}}}=CV^{2},}$

ここで、ISI の変動係数です。 ${\displaystyle CV}$

いくつかのニューロンはさまざまなISI分布を持つことがわかっています。これは、カウントプロセスがもはや更新プロセスではないことを意味します。代わりに、マルコフ更新プロセスが使用されます。等しい遷移確率を持つ2つのマルコフ状態しかない場合、上記の極限は再び収束します。^[13] ここで、は対応する状態のISIの平均を表します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F=2{\frac {CV_{2}^{2}\mu _{1}^{2}+CV_{1}^{2}\mu _{2}^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}+\left({\frac {1}{p}}-1\right){\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}},}$${\displaystyle \mu}$

ほとんどの研究ではファノ係数が一定であると仮定していますが、最近の研究ではファノ係数が一定でないニューロンが検討されています。^[14]この場合、基礎となるポアソン過程の速度にノイズと非線形性の両方を導入することで、ファノ係数を一定でないものにできることがわかります。

• ファノノイズ
• 分散指数– 無限の時間ウィンドウのファノ係数に相当します。
• ウーゴ・ファノ