超指数分布

確率論において、超指数分布は、確率変数Xの確率密度関数が次のように与えられる 連続確率分布である。

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(x)\;p_{i},}$

ここで、各Y _{i は}速度パラメータλ _iを持つ指数分布のランダム変数であり、p _{i は}X が速度λ _iを持つ指数分布の形をとる確率です。^[1]これは、変動係数が 1 である指数分布や変動係数が 1 未満の低指数分布よりも変動係数が大きいため、超指数分布と呼ばれます。指数分布は幾何分布の連続アナログですが、超指数分布は超幾何分布とは類似していません。超指数分布は混合密度の例です。

超指数ランダム変数の例は、電話のコンテキストで見ることができます。つまり、誰かがモデムと電話を持っている場合、電話回線の使用は、レートλ ₁で電話で話す確率がpで、レートλ ₂でインターネット接続を使用する 確率がqである超指数分布としてモデル化できます。

合計の期待値は期待値の合計であるため、超指数確率変数の期待値は次のように表される。

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$

そして

${\displaystyle E\!\left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i},}$

そこから分散を導き出すことができる：^[2]

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E\!\left[X^{2}\right]-E\!\left[X\right]^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}\left({\frac {1}{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda _{j}}}\right)^{2}.}$

標準偏差は一般に平均を超えます（すべてのλが等しい退化したケースを除く）ので、変動係数は1 より大きくなります。

モーメント生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle E\!\left[e^{tx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.}$

与えられた確率分布（重裾分布を含む）は、プロニー法を用いて異なる時間スケールに再帰的に当てはめることによって、超指数分布で近似することができる。^[3]

• 位相型分布
• ハイパーErlangディストリビューション
• ロマックス分布（指数関数の連続混合）