近似誤差

データ値の近似誤差とは、正確な値とその近似値との間の差異です。この誤差は、絶対誤差(差異の数値) または相対誤差(絶対誤差をデータ値で割った値)として表すことができます。

近似誤差はさまざまな理由で発生する可能性がありますが、その中には計算機の精度や測定誤差があります(たとえば、紙の長さは 4.53 cm ですが、定規では 0.1 cm 単位でしか推定できないため、4.5 cm として測定されます)。

数値解析という数学の分野では、アルゴリズムの数値安定性は、アルゴリズムの入力の誤差が出力の大きな誤差につながる程度を示します。数値的に安定したアルゴリズムは、入力が不正な場合でも出力に大きな誤差を生じず、その逆も同様です。^[1]

ある値vが与えられたとき、vが_絶対誤差ε >0でvを近似するとは、 ^{[2] [3]}

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \varepsilon }$

ここで縦棒は絶対値を表します。

vがvを_相対誤差η >0で近似する とは、

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \eta \cdot v}$。

v ≠ 0の場合、

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon }{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|}$。

パーセント誤差（相対誤差の表現）は^[3]

${\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.}$

誤差境界とは、近似誤差の相対的または絶対的な大きさの上限である。^[4]

たとえば、正確な値が 50 で近似値が 49.9 の場合、絶対誤差は 0.1、相対誤差は 0.1/50 = 0.002 = 0.2% です。実際の例として、6 mL ビーカーを測定すると、読み取られた値は 5 mL でした。正しい読み取り値は 6 mL なので、この特定の状況でのパーセント誤差は、四捨五入すると 16.7% になります。

相対誤差は、サイズが大きく異なる数値の近似値を比較するためによく使用されます。たとえば、ほとんどのアプリケーションでは、絶対誤差 3 で数値 1,000 を近似することは、絶対誤差 3 で数値 1,000,000 を近似することよりもはるかに悪くなります。前者の場合、相対誤差は 0.003 ですが、後者の場合は 0.000003 にすぎません。

相対誤差には、覚えておくべき 2 つの特徴があります。まず、分母に現れる真の値がゼロのとき、相対誤差は定義されません (下記参照)。次に、相対誤差は比率スケール、(つまり、真に意味のあるゼロを持つスケール) で測定された場合にのみ意味を持ち、それ以外の場合は測定単位の影響を受けます。たとえば、摂氏スケールで与えられた温度測定の絶対誤差が 1 °C で、真の値が 2 °C の場合、相対誤差は 0.5 です。しかし、ケルビン スケールでまったく同じ近似を行うと、同じ真の値 275.15 K = 2 °C で 1 K の絶対誤差は、相対誤差 3.63 × 10になります。⁻³。

相対誤差に関する記述は定数の加算には敏感だが、定数の乗算には敏感ではない。絶対誤差についてはその逆が成り立ち、定数の乗算には敏感だが、定数の加算には敏感ではない。^{[5] : 34}

実数値vが入力から絶対誤差付きで多項式的に計算可能であるとは、すべての有理数ε >0 に対して、絶対誤差εでv を近似する有理数v _{approx を}、入力のサイズとεのエンコード サイズに関する多項式の時間(O(log(1/ ε )) で計算できることを意味します。同様に、すべての有理数η >0 に対して、相対誤差 η で v を近似する有理数v approxを、入力のサイズと η のエンコード サイズに関する多項式の時間で計算できることを_意味します。

v が相対誤差で多項式計算可能であれば(REL と呼ばれるアルゴリズムによって)、絶対誤差でも多項式計算可能です。証明. ε >0 を目的の絶対誤差とします。まず、相対誤差η = 1/2 で REL を使用します。 | v - r ₁ | ≤ | v |/2、つまり|v| ≤ 2 | r ₁ |となる有理数r _{1を見つけます。r 1 =0 の場合は}v =0 となり、これで完了です。REL は多項式なので、r 1 のエンコード長は入力_で多項式になります。次に、相対誤差η = ε/ (2 |r _{1 |) で REL}を再度実行します。これにより、| v - r ₂ | ≤ ε|v | / (2 r _{1 |} ) ≤ ε を満たす有理数r ₂が得られるため、絶対誤差εは目的どおりになります。^{[5] : 34}

逆の含意は通常は真ではありません。ただし、|v| の何らかの正の下限が多項式時間で計算可能 (例: | v | > b > 0) であり、vが絶対誤差付きで多項式計算可能 (ABS と呼ばれる何らかのアルゴリズムによって) であると仮定すると、絶対誤差 ε = η b で ABS を呼び出すことができるため、相対誤差付きでも多項式計算可能です。

すべての有理数η >0 に対して、入力のサイズと 1/ η (log(1/ η )ではなく)の多項式時間で、相対誤差ηでv を近似する有理数v _{approxを計算するアルゴリズムは、} FPTASと呼ばれます。

ほとんどの指示計器では、フルスケールの読み取り値の一定の割合まで精度が保証されています。指定された値からのこれらの偏差の限界は、限界誤差または保証誤差として知られています。^[6]

絶対値をnノルムに置き換えることで、定義をn次元ベクトルの場合でも拡張することができる。^[7]${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{\text{approx}}}$

• 受け入れられた価値と実験的価値
• 条件数
• 統計における誤差と残差
• 実験不確実性分析
• マシンイプシロン
• 測定誤差
• 測定の不確かさ
• 不確実性の伝播
• 量子化誤差
• 相対的な違い
• 丸め誤差
• 不確実性

• ワイスタイン、エリック W.「パーセンテージエラー」。マスワールド。