対策の厳しさ

数学において、タイトネスは測度論の概念です。直感的に言えば、与えられた測度の集合は「無限に逃げる」ことはないということです。

をハウスドルフ空間とし、を位相 を含む 上のσ-代数とします。(したがって、のすべての開部分集合は測定可能な集合であり、上のボレル σ-代数と少なくとも同じくらい細かいです。)を 上で定義された (符号付きまたは複素数の可能性がある) 測度の集合とします。任意の に対して、すべての測度 に対して、 のコンパクトな部分集合が存在する場合、その集合はタイト(または一様タイトの場合もあります)と呼ばれます。${\displaystyle (X,T)}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu \in M}$

${\displaystyle |\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .}$

ここでは の全変動測度である。多くの場合、問題となる測度は確率測度であるため、最後の部分は次のように書くことができる。 ${\displaystyle |\mu |}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,}$

タイトコレクションが単一の測度 で構成されている場合、(作成者に応じて) はタイト測度であると言われることも、内部正規測度であると言われることもあります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

が 値のランダム変数であり、その上の確率分布が厳密な測度である場合、 は分離可能ランダム変数またはラドンランダム変数であると言われます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

コレクションのタイトさの別の同等の基準は、順次弱コンパクトです。確率測度の族が順次弱コンパクトであるとは、族のすべてのシーケンスに対して、何らかの確率測度に弱収束する測度のサブシーケンスが存在する場合です。測度の族がタイトであるためには、それが順次弱コンパクトである必要があります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$${\displaystyle \mu }$

が距離化可能なコンパクト空間である場合、 上の（おそらく複素数の）測度のすべての集合はタイトです。これは、距離化不可能なコンパクト空間では必ずしもそうではありません。 をその順序位相で取ると、その上に内部正則ではない測度が存在します。したがって、シングルトンはタイトではありません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \{\mu \}}$

がポーランド空間である場合、 上のすべての確率測度はタイトです。さらに、プロホロフの定理により、 上の確率測度の集合がタイトであるための必要十分条件は、それが弱収束の位相においてプレコンパクトである場合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

通常のボレル位相を持つ実数直線 を考えてみましょう。の点における単位質量であるディラック測度を表します。集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \delta _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}}$

はタイトではない。なぜなら、 のコンパクト部分集合はまさに閉有界部分集合であり、そのような集合は有界であるため、 が十分に大きい場合、 -測度はゼロになるからである。一方、集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \delta _{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}}$

はタイトです: コンパクト区間は任意のに対して として機能します。一般に、 上のディラックのデルタ測度の集合がタイトであるためには、それらのサポートの集合が有界である必要があります。 ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

通常のボレル位相とσ代数を持つ次元ユークリッド空間を考える。ガウス測度の集合を考える。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}|i\in I\},}$

ここで、測度には期待値（平均）と共分散行列があります。コレクションがタイトであるのは、コレクションとが両方とも有界である場合のみです。 ${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \{m_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \{C_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}}$

タイトネスは、特に測度空間が無限次元を持つ場合、確率測度の列の弱収束を証明するために必要な基準となることが多い。

• 有限次元分布
• プロホロフの定理
• レヴィ・プロホロフ計量
• 対策の弱い収束
• 古典的なウィーナー空間におけるタイトネス
• スコロホド空間の狭さ

タイトネスの強化は指数タイトネスの概念であり、大偏差理論に応用されている。ハウスドルフ位相空間上の確率測度 の族が指数タイトであるとは、任意の に対してのコンパクト部分集合が存在し、 ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}$

• ビリングスリー、パトリック（1995年）。確率と測定。ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-00710-2。
• ビリングスリー、パトリック（1999）。確率測定の収束。ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-19745-9。
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991).バナッハ空間における確率. ベルリン: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9。 MR 1102015（第2章参照）