連続埋め込み

数学では、あるノルムベクトル空間が別のノルムベクトル空間に連続的に埋め込まれているとは、それらの間の包含関数が連続している場合を言う。ある意味では、2 つのノルムは同じ空間上で定義されていなくても、「ほぼ同等」である。ソボレフの埋め込み定理のいくつかは、連続埋め込み定理である。

XとY をそれぞれノルム ||·|| _Xと ||·|| _{Y を}持つ2つのノルム付きベクトル空間とし、 X  ⊆  Yとする。包含写像（恒等関数）

${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y:x\mapsto x}$

連続的である、つまり定数C  > 0 が存在し、

${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$

Xの任意のxに対して、X はYに連続的に埋め込まれていると言われる。著者によっては、連続的な埋め込みを表すために鉤状の矢印 "↪" を使用する人もいる。つまり、「X  ↪  Y」は「XとY は、 X がYに連続的に埋め込まれたノルム空間である」という意味である。これは、位相ベクトル空間のカテゴリの観点からの表記法の一貫した使用法であり、位相ベクトル空間では、射(「矢印」) は連続線型写像である。

• 連続埋め込みの有限次元の例は、実数直線 X  =  Rを平面Y  =  R ²に自然に埋め込むことで与えられ、両方の空間にユークリッドノルムが与えられます。

${\displaystyle i:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2}:x\mapsto (x,0)}$

この場合、すべての実数Xに対して || x || _X  = || x || _Yとなります。明らかに、定数Cの最適な選択はC = 1です 。

• 連続埋め込みの無限次元の例は、レリッヒ・コンドラコフの定理によって与えられます。Ω ⊆  R ^{n を}開いた有界なリプシッツ領域とし、1 ≤  p  <  nとします。

${\displaystyle p^{*}={\frac {np}{n-p}}.}$

すると、ソボレフ空間W ^{1, p} (Ω;  R ) はL ^p空間 L ^{p ∗} (Ω;  R )に連続的に埋め込まれます。実際、1 ≤  q  <  p ^∗の場合、この埋め込みはコンパクトです。最適な定数C は、ドメイン Ω の幾何学に依存します。

• 無限次元空間にも不連続埋め込みの例がある。例えば、

${\displaystyle X=Y=C^{0}([0,1];\mathbf {R} ),}$

単位区間上で定義された連続実数値関数の空間であるが、XにL ¹ノルム、Yに上限ノルムを与える。n  ∈  Nに対して、f _{n を}連続した区分線形関数とし、次のように表される。

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-n^{2}x+n,&0\leq x\leq {\tfrac {1}{n}};\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

すると、すべてのnに対して、 || f _n || _Y  = || f _n || _∞  =  nとなるが、

${\displaystyle \|f_{n}\|_{L^{1}}=\int _{0}^{1}|f_{n}(x)|\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}.}$

したがって、|| f _n || _Y  ≤  C || f _n || _Xとなる定数C は見つからないため、 XのYへの埋め込みは不連続になります。

• コンパクトな埋め込み

• Renardy, M. & Rogers, RC (1992).偏微分方程式入門. Springer-Verlag, ベルリン. ISBN 3-540-97952-2。