誤差解析（数学）

数学において、誤差分析とは、問題の解決に存在する可能性のある誤差、つまり不確実性の種類と量を研究することです。この問題は、数値解析や統計などの応用分野で特に顕著です。

実際のシステムの数値シミュレーションまたはモデリングでは、誤差解析は、モデルのパラメータが平均を中心に変化するときのモデルの出力の変化に関係します。

例えば、2つの変数の関数としてモデル化されたシステムでは、 誤差解析は、および（平均値およびの周り）の数値誤差が（平均 の周り）の誤差に伝播することを扱います。^[1]${\displaystyle z\,=\,f(x,y).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\bar {y}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\bar {z}}}$

数値解析では、誤差解析は前方誤差解析と後方誤差解析の両方から構成されます。

前方誤差解析では、関数の近似値（通常は有限多項式）である関数を解析して、近似値の誤差の境界を決定します。つまり、次のような値を見つけます。前方誤差の評価は、検証済みの数値解析 で求められます。^[2]${\displaystyle z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$${\displaystyle z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle 0\,\leq \,|zz'|\,\leq \,\epsilon .}$

後方誤差解析では、近似関数の解析を行い、結果^[3]が${\displaystyle z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),}$${\displaystyle a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}}$${\displaystyle z'\,=\,z.}$

後方誤差解析は、ジェームズ・H・ウィルキンソンによって開発され普及した理論であり、数値関数を実装するアルゴリズムが数値的に安定していることを証明するのに使用できます。^[4]基本的なアプローチは、計算結果が丸め誤差のために正確には正しくないとしても、わずかに乱れた入力データを持つ近似の問題に対する正確な解であることを示すことです。必要な乱れが小さく、入力データの不確実性と同じ程度であれば、結果はある意味でデータが「値する」ほど正確です。アルゴリズムは後方安定であると定義されます。安定性は、与えられた数値手順の丸め誤差に対する感度の尺度です。対照的に、与えられた問題に対する関数の条件数は、その関数が入力の小さな乱れに対して持つ固有の感度を示し、問題を解くために使用される実装とは無関係です。^{[5] [6]}

GPS の仕組みを理解し、どの程度の誤差が予測されるかを知るには、 GPSを使用して計算された誤差の分析が重要です。GPS は受信機のクロック誤差やその他の影響を修正しますが、修正されない誤差が残ります。GPS (Global Positioning System) は、1970 年代に米国国防総省 (DOD) によって開発されました。米国軍と一般市民の両方でナビゲーションに広く使用されるようになりました。

分子動力学(MD) シミュレーションでは、位相空間の不適切なサンプリングやまれに発生するイベントによってエラーが発生し、測定値のランダムな変動による統計エラーが発生します。

変動する特性Aの一連のM回の測定の平均値は次のようになります。

$${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.}$$

これらのM個の測定値が独立している場合、平均の分散⟨A⟩は次のようになります。

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),}$$

しかし、ほとんどのMDシミュレーションでは、異なる時間における量Aの間には相関関係があるため、独立した測定の有効数は実際にはM未満であるため、平均⟨A⟩の分散は過小評価されます。このような状況では、分散を次のように書き直します 。

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],}$$

ここで自己相関関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \phi _{\mu}}$

$${\displaystyle \phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle - \langle A\rangle ^{2}}}.}$$

次に、自己相関関数を使用してエラーバーを推定します。幸いなことに、ブロック平均に基づくはるかに簡単な方法があります。^[7]

測定には通常、わずかな誤差があり、同じ項目を繰り返し測定すると、測定値にわずかな違いが生じるのが一般的です。これらの違いは分析可能であり、既知の数学的および統計的特性に従います。データセットが仮説に忠実すぎる場合、つまり、そのような測定で通常発生する誤差量が現れない場合、データは偽造された可能性があるという結論を導き出すことができます。通常、誤差分析だけでは、データが偽造または捏造されたことを証明するのに十分ではありませんが、不正行為の疑いを確認するために必要な裏付けとなる証拠を提供できる場合があります。

• エラー分析（言語学）
• エラーバー
• 統計における誤差と残差
• 不確実性の伝播
• 検証済みの数値

• [1] エラー分析に関するすべて。