低速マニホールド

数学では、力学系の平衡点の遅い多様体は、中心多様体の最も一般的な例として現れる。力学系を単純化する主な方法の1つは、系の次元を遅い多様体の次元まで減らすことであり、中心多様体理論は厳密にモデリングを正当化する。^{[1] [2]} たとえば、大気や海洋の全球モデルや地域モデルの中には、大気/海洋力学の遅い多様体上​​のいわゆる準地衡流力学を解明するものがあり、^[3]これは気候モデル による予測に非常に重要である。

場合によっては、遅い多様体は、その多様体外のダイナミクスと比較してダイナミクスが遅い不変多様体として定義されます。特定の問題における遅い多様体は、安定多様体、不安定多様体、または中心多様体のいずれかの部分多様体であり、同じ次元を持ち、その固有空間に接し、関連する固有値 (または固有値のペア) の実部の大きさが最小であるものです。これは、最初の段落で説明した定義を一般化したものです。さらに、実部固有値を最小から最大までの大きさで順序付けする際にカットオフ ポイントを選択することで、遅い多様体が複数の固有空間に接するように定義することもできます。実際には、文献がどのような定義を示唆しているかを注意深く確認する必要があります。

力学系を考える

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {f}}({\vec {x}})}$

状態ベクトルが発展し、平衡点が である場合、平衡点におけるシステムの線形化は ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}^{*}}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=A{\vec {x}}\quad {\text{where }}A={\frac {d{\vec {f }}}{d{\vec {x}}}({\vec {x}}^{*}).}$

行列は、行列の固有値によって特徴付けられる4 つの不変部分空間を定義します。中心多様体の項で説明したように、部分空間のうち 3 つは、それぞれ実部が負、正、ゼロである固有値を持つ固有ベクトルの範囲 に対応する安定部分空間、不安定部分空間、中心部分空間です。4 番目の部分空間は、固有ベクトルの範囲 と一般化固有ベクトルによって与えられる低速部分空間で、固有値 に正確に対応します (より一般的には、^{[4] は}、 を持つ他のすべての固有値 ( を持つもの) からギャップで分離された を持つすべての固有値に対応します)。低速部分空間は、中心部分空間の部分空間、またはそれと同一であるか、空である可能性があります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle |\lambda |\leq \alpha }$${\displaystyle |\lambda |\geq \beta >r\alpha }$

同様に、非線形システムには、これらの不変部分空間のそれぞれに対応する、非線形システムの軌跡で構成される不変多様体があります。遅い部分空間に接し、同じ次元を持つ不変多様体があります。この多様体は遅い多様体です。

確率的緩慢多様体は、ノイズの多い力学系（確率微分方程式）にも存在し、確率的中心多様体、安定多様体、不安定多様体も同様に存在します。^[5] このような確率的緩慢多様体は、出現する確率的ダイナミクスをモデル化する際に同様に有用ですが、ノイズの履歴と未来に依存する積分など、解決すべき魅力的な問題が数多くあります。^{[6] [7]}

2変数の結合システムと${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-xy\quad {\text{ および }}\quad {\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}}$

には、発展が である正確な遅い多様体があります。指数関数的に減少する過渡現象を除けば、この遅い多様体とその発展は、原点の近傍にあるすべての解を捉えます。^[8] 吸引の近傍は、おおよそ、少なくとも半空間 です。 ${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle dx/dt=-x^{3}}$${\displaystyle y>-1/2}$

エドワード・ノートン・ローレンツは、準地衡流の遅い多様体の概念を探求するために、次の5つの変数の5つの方程式の力学システムを導入しました^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dt}}&=-VW+bVZ,\\[6pt]{\frac {dV}{dt}}&=UW-bUZ,\\[6pt]{\frac {dW}{dt}}&=-UV,\\[6pt]{\frac {dX}{dt}}&=-Z,\\[6pt]{\frac {dZ}{dt}}&=X+bUV.\end{aligned}}}$

原点について線形化すると、固有値ゼロの重複度は 3 になり、複素共役な固有値のペア が存在します。したがって、3 次元の遅い多様体 (および変数の「高速」波に囲まれた) が存在します。ローレンツは後に、遅い多様体は存在しないと主張しました。^[10] しかし、正規形^[11]の議論は、ローレンツ システムに指数関数的に近い動的システムが存在し、それに対して適切な遅い多様体が存在することを示唆しています。 ${\displaystyle \pm i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

モデリングでは、極限まで単純化することを目指します。この例では、遅い多様体を使用して、偏微分方程式の「無限次元」ダイナミクスを1つの常微分方程式のモデルに単純化します。非線形拡散を受ける フィールドを考えてみましょう。${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\quad {\text{ドメイン }}-1<x<1} 上$

ロビン境界条件付き

${\displaystyle 2bu\pm (1-b){\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad {\text{on }}x=\pm 1.}$

境界条件を でパラメータ化することで、絶縁ノイマン境界条件の場合、ディリクレ境界条件の場合、およびその間のすべてのケースをカバーできるようになります。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle b=1}$

さて、分岐理論でダイナミクスを研究する際によく使われる素晴らしいトリックを紹介しよう。パラメータは定数なので、自明に正しい微分方程式を付け加える。 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {\partial b}{\partial t}}=0}$

すると、発展する場とパラメータ の拡張された状態空間には、（絶縁）および定数、たとえばを持つ 1 つの平衡点だけではなく、無限の平衡点が存在します。詳細に立ち入ることはなく、各平衡点について、線形化拡散は 2 つのゼロの固有値を持ち、残りすべてに対しては負（ 未満）です。したがって、初期条件がいかに複雑であっても、低速多様体上の 2 次元ダイナミクスは非線形拡散から 出現します（出現 を参照）。${\displaystyle (b,u(x))}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle u=}$${\displaystyle u=a}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle -\pi ^{2}a/4}$

ここで、低速多様体がまさに振幅が次のように変化する 場であることが簡単に証明できる。${\displaystyle u(x,t)=a(t)(1-bx^{2})}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {da}{dt}}=-2a^{2}b\quad {\text{そして}}{\frac {db}{dt}}=0.}$

つまり、拡散によって内部構造が滑らかになる初期の過渡現象の後、境界条件の種類（定数 ）によって制御される速度で振幅（ ）が比較的ゆっくりと減衰するという現象が出現します。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

この低速多様体モデルは、各平衡が必然的に他の平衡の低速部分空間内にあるため、 では大域的であるが、パラメータ では局所的である点に注意してください。 をどの程度の大きさにできるかはまだわかりませんが、理論によれば、結果が有限のパラメータ に対して成立することが保証されています。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

確率モデルははるかに複雑です。この例は、そのような複雑さの 1 つを示しています。ランダム ウォークからのノイズが強制されるこの線形システムの 2 つの変数ダイナミクスを小さなパラメータで考えてみましょう。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle W(t)}$

${\displaystyle dx=\varepsilon y\,dt\quad {\text{and}}\quad dy=-y\,dt+dW\,.}$

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は 形式的には歴史積分である ことに気づくだろう。${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{t}\exp(st)\,dW(s)}$

そして、 は単にこの履歴積分の積分であると主張します。しかし、この解は、被積分関数の により、想定される長時間モデルにおいて、高速時間積分を不適切に含みます。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \exp(st)}$

あるいは、確率的座標変換により、長期的ダイナミクスの健全なモデルを抽出します。変数を次 のように変更します。${\displaystyle (X(t),Y(t))}$

${\displaystyle y=Y+\int _{-\infty }^{t}\exp(st)\,dW(s)\quad {\text{and}}\quad x=X-\varepsilon Y-\varepsilon \int _{-\infty }^{t}\exp(st)\,dW(s)}$

そして、新しい変数は単純な

${\displaystyle dX=\varepsilon \,dW\quad {\text{and}}\quad dY=-Y\,dt.}$

これらの新しい座標では、を設定することによって得られる確率的低速多様体上の確率的ダイナミクスの長期モデルとして、ランダムウォークを経ることが指数関数的に迅速に推論されます。 ${\displaystyle Y(t)\to 0}$${\displaystyle X(t)=\epsilon W(t)}$${\displaystyle Y=0}$

ウェブサービスは、決定論的かつ確率論的な有限次元のこのような遅い多様体を構築します。^[12]

• 準地衡方程式