ウィーナーの補題

数学において、ウィーナーの補題は、円上のボレル測度のフーリエ係数の漸近挙動をその原子部分に関連付けるよく知られた恒等式である。この結果は、実数直線上の測度についても同様のことが言える。これは、ノーバート・ウィーナーによって初めて発見された。^{[1] [2]}

• 単位円上の実数または複素数のボレル測度が与えられたとき、がその原子部分（ に対して かつ であることを意味する）であるとする。すると、${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mu _{a}=\sum _{j}c_{j}\delta _{z_{j}}}$${\displaystyle \mu (\{z_{j}\})=c_{j}\neq 0}$${\displaystyle \mu (\{z\})=0}$${\displaystyle z\not \in \{z_{j}\}}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n) |^{2}=\sum _{j}|c_{j}|^{2},}$

ここで は の- 番目のフーリエ係数です。 ${\displaystyle {\widehat {\mu}}(n)=\int _{\mathbb {T} }z^{-n}\,d\mu (z)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu}$

• 同様に、実数直線上の実数または複素数のボレル測度をその原子部分と呼ぶと、${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu_{a}=\sum_{j}c_{j}\delta_{x_{j}}}$

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}|{\widehat {\mu }}(\xi )|^{2}\,d\xi =\sum _{j}|c_{j}|^{2},}$

ここで はのフーリエ変換です。 ${\displaystyle {\widehat {\mu}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi x}\,d\mu (x)}$${\displaystyle \mu}$

• まず、円周上の複素測度が${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle {\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }f_{N}(z)\,d\nu (z),}$

となる。関数は絶対値で で有界となり となるが、の場合は となり、のときに に収束する。したがって、優勢収束定理により、 ${\displaystyle f_{N}(z)={\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}z^{-n}}$${\displaystyle f_{N}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f_{N}(1)=1}$${\displaystyle f_{N}(z)={\frac {z^{N+1}-z^{-N}}{(2N+1)(z-1)}}}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} \setminus \{1\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle N\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }1_{\{1\}}(z)\,d\nu (z)=\nu (\{1\}).}$

ここで、 を上の逆写像の下でののプッシュフォワード、つまり任意のボレル集合 に対してとします。この複素測度はフーリエ係数を持ちます。上記をとの間の畳み込みに適用します。つまり、 を選びます。つまり、 は積写像 の下での測度( 上) のプッシュフォワードです。フビニの定理により${\displaystyle \mu '}$${\displaystyle {\overline {\mu }}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mu '(B)={\overline {\mu (B^{-1})}}}$${\displaystyle B\subseteq \mathbb {T} }$${\displaystyle {\widehat {\mu '}}(n)={\overline {{\widehat {\mu }}(n)}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu '}$${\displaystyle \nu =\mu *\mu '}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu \times \mu '}$${\displaystyle \mathbb {T} \times \mathbb {T} }$${\displaystyle \cdot :\mathbb {T} \times \mathbb {T} \to \mathbb {T} }$

${\displaystyle {\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} \times \mathbb {T} }(zw)^{-n}\,d(\mu \times \mu ')(z,w)=\int _{\mathbb {T} }\int _{\mathbb {T} }z^{-n}w^{-n}\,d\mu '(w)\,d\mu (z)={\widehat {\mu }}(n){\widehat {\mu '}}(n)=|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}.}$

したがって、先に導出した恒等式により、 再びフビニの定理 により、右辺は ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=\nu (\{1\})=\int _{\mathbb {T} \times \mathbb {T} }1_{\{zw=1\}}\,d(\mu \times \mu ')(z,w).}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }\mu '(\{z^{-1}\})\,d\mu (z)=\int _{\mathbb {T} }{\overline {\mu (\{z\})}}\,d\mu (z)=\sum _{j}|\mu (\{z_{j}\})|^{2}=\sum _{j}|c_{j}|^{2}.}$

• 実数直線に対する類似の命題の証明は、次の恒等式を使用することを除いて同一である。

${\displaystyle {\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}{\widehat {\nu }}(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} }f_{R}(x)\,d\nu (x)}$

（これはフビニの定理から導かれる）ここで である。 、に対して が成り立ち、がになるとに収束することが分かる。したがって、優勢収束により、類似の恒等式が得られる 。${\displaystyle f_{R}(x)={\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi }$${\displaystyle |f_{R}|\leq 1}$${\displaystyle f_{R}(0)=1}$${\displaystyle f_{R}(x)={\frac {e^{2\pi iRx}-e^{-2\pi iRx}}{4\pi iRx}}}$${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle R\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}{\widehat {\nu }}(\xi )\,d\xi =\nu (\{0\}).}$

• 円上の実数または複素数のボレル測度が拡散測度（すなわち）となるのは、 の場合のみです。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{a}=0}$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=0}$
• 円上の確率測度 がディラック質量となるのは、 の場合のみである。（ここで、重みが正であり を満たすことから、自明でない含意が導かれ、これによりおよび が強制され、したがって の質量を持つ単一の原子が存在することになる。）${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=1}$${\displaystyle c_{j}}$${\displaystyle 1=\sum _{j}c_{j}^{2}\leq \sum _{j}c_{j}\leq 1}$${\displaystyle c_{j}^{2}=c_{j}}$${\displaystyle c_{j}=1}$${\displaystyle 1}$