マルコフ分割

数学におけるマルコフ分割は、力学システム理論で使用されるツールであり、記号力学の方法を 双曲型力学の研究に適用できるようにします。マルコフ分割を使用すると、システムを離散時間マルコフ過程に似せることができ、システムの長期的な動的特性はマルコフシフトとして表されます。結果として得られるシステムのダイナミクスはマルコフ特性に従うため、「マルコフ」という呼称が適切です。したがって、マルコフ分割により、期待値、相関、位相エントロピー、位相ゼータ関数、フレドホルム行列式などの計算を含む、記号力学の標準的な手法を適用できます。

を離散力学系とします。そのダイナミクスを研究する基本的な方法は、記号表現を見つけることです。記号表現とは、マップがシフトマップになるように、記号のシーケンスによっての点を忠実にエンコードすることです。 ${\displaystyle (M,\varphi )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi}$

が、実質的に重なりがなく、 と同じくらい小さく局所的であると考えられるいくつかの部分に分割されていると仮定します。の反復における点の挙動は、各 について、を含む部分を記録することによって追跡できます。これにより、点をエンコードするアルファベット上の無限シーケンスが得られます。一般に、このエンコードは不正確である可能性があり (同じシーケンスが多くの異なる点を表す可能性があります)、このようにして発生するシーケンスのセットは記述するのが難しい場合があります。マルコフ分割の厳密な定義で明示的に示される特定の条件下では、シーケンスを の点に割り当てると、ほぼ 1 対 1 のマップになり、そのイメージは有限型 のシフトと呼ばれる特殊な種類の記号動的システムになります。この場合、記号表現は動的システム の特性を調べるための強力なツールになります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \varphi^{n}(x)}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,r\}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (M,\varphi )}$

マルコフ分割^[1]は、多様体の不変集合を曲線長方形の集合で有限に覆うものであり、 ${\displaystyle \{E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}\}}$

• 任意の点のペアに対して、${\displaystyle x,y\in E_{i}}$${\displaystyle W_{s}(x)\cap W_{u}(y)\in E_{i}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}\cap \operatorname {Int} E_{j}=\emptyset }$のために${\displaystyle i\neq j}$
• かつならば、${\displaystyle x\in \operatorname {Int} E_{i}}$${\displaystyle \varphi (x)\in \operatorname {Int} E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{u}(x)\cap E_{i}\right]\supset W_{u}(\varphi x)\cap E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{s}(x)\cap E_{i}\right]\subset W_{s}(\varphi x)\cap E_{j}}$

ここで、および はそれぞれxの不安定多様体と安定多様体であり、 は単に の内部を表します。 ${\displaystyle W_{u}(x)}$${\displaystyle W_{s}(x)}$${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$

これら最後の 2 つの条件は、記号力学のマルコフ特性の記述として理解できます。つまり、ある開いた被覆から次の被覆への軌跡の移動は、システムの履歴ではなく、最新の被覆によってのみ決定されます。この被覆の特性こそが、「マルコフ」という呼称に値するものです。結果として生じる力学はマルコフシフトの力学です。これが実際に当てはまるのは、Yakov Sinai (1968) ^[2]とRufus Bowen (1975) ^[3]の定理によるもので、これにより記号力学が確固たる基盤に置かれました。

ピースの幾何学的条件に応じて定義のバリエーションが見つかる。^[4]${\displaystyle E_{i}}$

マルコフ分割はさまざまな状況で構築されてきました。

• トーラスのアノソフ微分同相写像。^[要出典]
• 動的ビリヤード。この場合、被覆は可算である。^[要出典]

マルコフ分割により、ホモクリニック軌道とヘテロクリニック軌道を特に簡単に記述できます。^{[引用が必要]}

系にはマルコフ分割 があり、この場合、 における実数の記号表現はその 2 進展開になります。たとえば、 です。 マルコフ分割における の点のシーケンスへの割り当ては、2 項有理数を除いて明確に定義されています。厳密に言えば、これは10 進展開の場合と同じように であるためです。 ${\displaystyle ([0,1),x\mapsto 2x\ mod\ 1)}$${\displaystyle E_{0}=(0,1/2),E_{1}=(1/2,1)}$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle x\in E_{0},Tx\in E_{1},T^{2}x\in E_{1},T^{3}x\in E_{1},T^{4}x\in E_{0}\Rightarrow x=(0.01110...)_{2}}$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (0.01111\dots )_{2}=(0.10000\dots )_{2}}$${\displaystyle 1=0.999\dots }$

• リンド、ダグラス、マ​​ーカス、ブライアン (1995)。シンボリックダイナミクスとコーディング入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55124-3.ZBL1106.37301  。​
• ピテアス・フォッグ、N. (2002)。Berthé, ヴァレリー;フェレンチ、セバスチャン。モーデュイ、クリスチャン。シーゲル、アン (編)。力学、算術、組み合わせ論における置換。数学の講義ノート。 Vol. 1794年。ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-44141-0.ZBL1014.11015  .​