CHSH不平等

物理学では、CHSH不等式はベルの定理の証明に使用できます。ベルの定理は、量子力学におけるエンタングルメントの特定の結果は、局所隠れた変数理論では再現できないと述べています。不等式が破られていることを実験で検証することは、自然がそのような理論では説明できないことの確認と見なされます。CHSHは、1969年に発表されたよく引用される論文で説明したジョン・クラウザー、マイケル・ホーン、アブナー・シモニー、リチャード・ホルトの頭文字をとったものです。 ^[1]彼らはCHSH不等式を導き出しました。これは、ジョン・スチュワート・ベルの元の不等式と同様に^{[2] 、}ベルテストにおける「偶然」の統計的発生に対する制約であり、基礎となる局所隠れた変数理論が存在する場合は必然的に当てはまります。実際には、この不等式は量子力学の現代の実験で日常的に破られています。^[3]

CHSH不等式の通常の形は

どこ

${\displaystyle a}$および は、側、側での検出器設定であり、4 つの組み合わせが別々のサブ実験でテストされています。などの項は、粒子ペアの量子相関です。ここで、量子相関は、実験の「結果」の積の期待値、つまり の統計的平均として定義されます。ここで、 は、コーディング +1 を '+' チャネルに、−1 を '−' チャネルに使用する個別の結果です。 Clauser らの 1969 年^[1]の導出は、「2 チャネル」検出器の使用を指向しており、実際、この導出は一般的にこれらに使用されていますが、彼らの方法では、可能な結果は +1 と −1 だけでした。当時は偏光と単一チャネル偏光子を使用する必要があった実際の状況に適応するために、彼らは '−' を「'+' チャネルでの非検出」、つまり '−' か何もないという意味として解釈する必要がありました。元の論文では、2チャンネル不等式が実際の不完全な検出器を使った実際の実験にどのように適用されるかについては議論されていませんでしたが、後に不等式自体も同じように有効であることが証明されました^{[4] 。しかし、ゼロ結果の発生は、実験データから}Eの値をどのように推定するかが もはやそれほど明白ではないことを意味します。${\displaystyle a'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E(a,b)}$${\displaystyle A(a)\times B(b)}$${\displaystyle A,B}$

量子力学の数学的形式主義によれば、適切なエンタングルメント状態で準備されたシステムと適切な測定設定の選択（下記参照）では、の値は2を超えると予測される。量子力学によって予測される最大の違反は（ツィレルソンの境界）^{[5]であり、最大のエンタングル}メントベル状態^[6]から得られる。${\displaystyle S}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

1982年のアラン・アスペクトの2回目の実験 に続いて行われた多くのベル検定では、(3)式を用いて項を推定し、公平なサンプリングを仮定して、CHSH不等式が使用されました。不等式の劇的な違反がいくつか報告されています。^[7]

実際には、実際の実験のほとんどは、ベルが当初考えていた電子ではなく光を使用しています。最もよく知られている実験では、関心のある特性は偏光方向ですが、 ^{[8] [9] [10]}他の特性を使用することもできます。図は、典型的な光学実験を示しています。同時検出が記録され、結果は「++」、「+−」、「−+」、または「−−」に分類され、対応するカウントが蓄積されます。

検定統計量S (上記2 )の4 つの項に対応する 4 つの個別のサブ実験が行われます。a = 0°、a ′ = 45°、b = 22.5°、b ′ = 67.5°の設定が、実際には一般的に選択されます (「ベル テスト角度」)。これは、量子力学式が不等式に最も違反する角度です。 ${\displaystyle E(a,b)}$

の各選択された値について、各カテゴリの一致回数が記録されます。 の実験推定値は次のように計算されます。 ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \left\{N_{++},N_{--},N_{+-},N_{-+}\right\}}$${\displaystyle E(a,b)}$

すべてのEが推定されると、Sの実験的推定値(式2 ) が求められます。数値的に 2 より大きい場合、CHSH 不等式に違反しており、実験は量子力学の予測を支持し、すべての局所的な隠れた変数理論を排除したものと宣言されます。

CHSH 論文には、簡略化された定理と公式を導き出すための多くの前提条件 (または「合理的かつ/または推定可能な仮定」) が列挙されています。たとえば、この方法が有効であるためには、検出されたペアが放出されたペアの公正なサンプルであると仮定する必要があります。実際の実験では、検出器が 100% 効率的になることはなく、放出されたペアのサンプルのみが検出されます。微妙ですが関連する要件は、隠れた変数が、実験の各アームで異なるサンプルにつながるような方法で検出確率に影響を与えたり決定したりしないことです。

CHSH不等式は光子対、ベリリウムイオン対、イッテルビウムイオン対、ルビジウム原子対、ルビジウム原子雲対、ダイヤモンド中の窒素空孔、ジョセフソン位相量子ビットで破れている。^[11]

1969 年のオリジナルの導出は、理解しにくい上に、結果がすべて +1 または -1 であり、決してゼロではないという仮定を含むため、ここでは示しません。ベルの 1971 年の導出はより一般的なものです。彼は、後にクラウザーとホーンが使用した「客観的局所理論」を事実上想定しています。^[12] 検出器自体に関連する隠れた変数は両側で独立しており、最初から平均化できると想定されています。興味深いもう 1 つの導出は、クラウザーとホーンの 1974 年の論文で示されており、そこでは CH74 不等式から始めています。

以下はベルの「Speakable and Unspeakable ^」[4]の37ページに基づいていますが、主な変更点は量子相関の期待値として「 P 」ではなく「 E 」の記号を使用していることです。これにより、量子相関自体が確率である という示唆を回避しています。

まず、両側が独立であるという標準的な仮定から始めます。これにより、個別の確率を掛け合わせることで、選択した「隠れた変数」λ の値に対して、結果のペアの結合確率を得ることができます。λ は、ソースの可能な状態の固定分布から抽出されると仮定します。特定の試行でソースが状態 λ にある確率は、密度関数 ρ(λ) によって与えられ、完全な隠れた変数空間での積分は 1 です。したがって、次のように記述できると仮定します。 ここで、AとBは結果です。AとBの可能な値は-1、0、+1 であるため、次のようになります。 $${\displaystyle E(a,b)=\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda }$$

次に、 a、a ′、b、b ′が検出器の代替設定である 場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}}$

両辺の絶対値を取り、右辺に 三角不等式を適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$

とが両方とも非負であるという事実を利用して、この右辺を次のように書き直す。 ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )}$${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )}$$${\displaystyle \int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$$

（4 ）によれば、これは以下でなければならない 。ρ （λ）の積分が1である という事実を用いると、 はに等しく、はに等しい。 $${\displaystyle \int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda }$$$${\displaystyle 2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \right]}$$${\displaystyle 2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$

これを左辺と合わせると、次のようになります。 これは、左辺が と の両方以下であることを意味します。つまり、 次のようになります。 ここから (再び三角不等式により)、CHSH 不等式が得られます。 $${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$$${\displaystyle 2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$${\displaystyle 2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$$${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$$${\displaystyle 2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$

1974年の論文^[12]で、クラウザーとホーンはCHSH不等式がCH74不等式から導かれることを示しています。彼らが言うように、2チャンネル実験ではCH74シングルチャンネルテストは依然として適用可能であり、偶然の確率pを支配する4組の不等式を提供します。

不等式の不同次バージョンから、次のように記述できます。 ここで、jとk はそれぞれ「+」または「−」であり、どの検出器が考慮されているかを示します。 $${\displaystyle -1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0}$$

CHSH検定統計量S ( 2 )を得るためには、 jがkと異なる不等式に-1を掛け、これをjとkが同じ 不等式に加えるだけでよい。

実験では、2つの粒子は理想的なEPRペアではありません。2量子ビットの 密度行列 がCHSH不等式に違反するための必要十分条件があり、これは式2で定義される最大達成多項式S _maxによって表されます。^{[13]これは、秘密鍵のレートが測定相関の度合いに依存するエンタングルメントベースの}量子鍵配布において重要です。^[14]${\displaystyle \rho }$

要素を持つ3×3実行列を導入します。ここで、はパウリ行列です。次に、実対称行列の固有値と固有ベクトルを求めます。 ここで、インデックスは でソートされます。次に、最大CHSH多項式は、2つの最大の固有値によって決定されます。^[13]${\displaystyle T_{\rho }}$${\displaystyle t_{ij}=\operatorname {Tr} [\rho \cdot (\sigma _{i}\otimes \sigma _{j})]}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle U_{\rho }=T_{\rho }^{\text{T}}T_{\rho }}$$${\displaystyle U_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {e}}_{i},\quad |{\boldsymbol {e}}_{i}|=1,\quad i=1,2,3,}$$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$ $${\displaystyle S_{\text{max}}(\rho )=2{\sqrt {\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$$

与えられたaに対して、少なくとも1つの自由パラメータを持つSmax_を生成する測定基数a、a'、b、b'の最適構成が存在する。 ^{[15] [16]}${\displaystyle \rho }$

2つの直交状態に対してそれぞれ+1または-1のいずれかを生成する射影測定は、演算子 で表すことができます。この測定基底の選択は、実数単位ベクトルとパウリベクトルによってパラメータ化され、と表すことができます。すると、基底a、bの予想される相関はとなります 。 基底ベクトルの数値が見つかったら、それを射影測定の構成に直接変換できます。^[16]${\displaystyle |\alpha \rangle ,|\alpha ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle \mathrm {A} =|\alpha \rangle \langle \alpha |-|\alpha ^{\perp }\rangle \langle \alpha ^{\perp }|}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{3},|{\boldsymbol {a}}|=1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \mathrm {A} ={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$$${\displaystyle E(a,b)=\operatorname {Tr} [\rho ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\otimes ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})]={\boldsymbol {a}}^{\text{T}}T_{\rho }{\boldsymbol {b}}.}$$

状態の最適な基底セットは、の2つの最大固有値と対応する固有ベクトルを取り、 が自由パラメータ である補助単位ベクトルを見つけることによって見つけられます。また、鋭角を計算して 、式2 を最大化する基底を取得します。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \lambda _{1,2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1,2}}$${\displaystyle U_{\rho }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {c}}&={\boldsymbol {e}}_{1}\cos \varphi +{\boldsymbol {e}}_{2}\sin \varphi ,\\{\boldsymbol {c}}'&={\boldsymbol {e}}_{1}\sin \varphi -{\boldsymbol {e}}_{2}\cos \varphi ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \theta =\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {\lambda _{2}+\lambda _{1}\tan ^{2}{\varphi }}{\lambda _{1}+\lambda _{2}\tan ^{2}{\varphi }}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'|,\\{\boldsymbol {a}}'&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {c}}\cos \theta +{\boldsymbol {c}}'\sin \theta ,\\{\boldsymbol {b}}'&={\boldsymbol {c}}\cos \theta -{\boldsymbol {c}}'\sin \theta .\end{aligned}}}$$

エンタングルメントベースの量子鍵配布では、秘密鍵を通信するために使用される別の測定基底があります（アリスがサイドAを使用すると仮定）。基底は、異なる測定結果（一方の粒子では+1、もう一方の粒子では-1）を取得する確率である量子ビットエラー率Qを最小化する必要があります。 ^[14]対応する基底は次のとおりです。 ^[16] CHSH多項式Sも最大化する必要があり、上記の基底とともに制約を作成します。^[16]${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0},{\boldsymbol {b}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}_{0}&=T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}/|T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {e}}_{1}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varphi =\pi /4}$

CHSH ゲームは、遠く離れた 2 つの当事者 (光速での古典的な通信が不可能なほど遠い) が関与する思考実験です。各当事者は、エンタングルメントされた 2 量子ビット ペアの半分にアクセスできます。このゲームの分析により、古典的なローカル隠れ変数理論では、エンタングルメントから生じる相関関係を説明できないことが示されました。このゲームは実際に物理的に実現可能であるため、これは、少なくとも「ローカル」な方法では、古典物理学が特定の量子現象を根本的に説明できないことを示す強力な証拠となります。

CHSH ゲームには、協力する 2 人のプレイヤー、アリスとボブ、および審判のチャーリーがいます。これらのエージェントはそれぞれ と略されます。ゲームの開始時に、チャーリーはビットを一様にランダムに選択し、アリスとボブに送信します。アリスとボブはそれぞれチャーリーにビットで応答する必要があります。アリスとボブがチャーリーに応答を返すと、チャーリーは かどうかをテストします。ここで、∧ は論理 AND演算、⊕ は論理 XOR演算を表します。この等式が成り立つ場合、アリスとボブは勝ち、そうでない場合は負けます。 ${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle x,y\in \{0,1\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a,b\in \{0,1\}}$${\displaystyle a\oplus b=x\land y}$

また、アリスとボブの応答は、彼らが見ているビットにのみ依存することが要求されます。したがって、アリスの応答は にのみ依存し、ボブについても同様です。つまり、アリスとボブは、チャーリーから送信されたビットの値について直接通信することは禁止されています。ただし、アリスとボブは、ゲームが始まる前に 共通の戦略を決定することが許可されています。${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$

次のセクションでは、アリスとボブがローカル情報 (および場合によってはランダムなコイントス) を含む古典的な戦略のみを使用する場合、75% を超える確率で勝つことは不可能であることを示します。ただし、アリスとボブが 1 つのエンタングルされた量子ビット ペアを共有できる場合、アリスとボブが約 85% の確率で成功することを可能にする戦略が存在します。

まず、任意の決定論的古典戦略の成功確率は最大で 75% であることを証明します (確率はチャーリーの一様ランダムな の選択に対して取られます)。決定論的戦略とは、関数 のペアを意味します。ここで、 はチャーリーから受信したメッセージの関数としてアリスの応答を決定する関数であり、 はボブが受信した内容に基づいてボブの応答を決定する関数です。任意の決定論的戦略が少なくとも 25% の確率で失敗することを証明するには、アリスとボブの戦略の可能なすべてのペア (最大で 8 個) を検討することができます (各パーティに 4 つの関数 があります)。これら 8 つの戦略のそれぞれについて、4 つの可能な入力ペアのうち少なくとも 1 つが常に戦略を失敗させることが検証できます。たとえば、両方のプレーヤーが常に 0 と答える戦略では、 の場合を除き、アリスとボブはすべてのケースで勝ちます。したがって、この戦略を使用すると、彼らの勝利確率はちょうど 75% になります。 ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle f_{A},f_{B}:\{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$${\displaystyle f_{A}}$${\displaystyle f_{B}}$${\displaystyle \{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$${\displaystyle (x,y)\in \{0,1\}^{2}}$${\displaystyle x=y=1}$

ここで、ランダム化された古典的な戦略の場合を考えてみましょう。この戦略では、アリスとボブは相関のある乱数にアクセスできます。ゲームが始まる前に、アリスとボブがまだ通信できる状態で、2 人でコインを数回投げることで、相関のある乱数を生成することができます。各ラウンドでの出力は、チャーリーのメッセージと対応するコイン投げの結果の両方の関数になります。このような戦略は、決定論的戦略の確率分布として見ることができるため、その成功確率は、決定論的戦略の成功確率の加重和になります。ただし、すべての決定論的戦略の成功確率は最大で 75% であるため、この加重和も 75% を超えることはできません。

ここで、アリスとボブが 2 量子ビットのエンタングルメント状態 を共有しているとします。これは一般にEPR ペアと呼ばれます。アリスとボブは、以下に説明する戦略でこのエンタングルメントペアを使用します。この戦略の最適性は、ツィレルソンの境界から得られます。 ${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$

チャーリーからビットを受け取ると、アリスは、 または のどちらかの条件付きで、基底または基底 で量子ビットを測定します。次に、測定基底の最初の状態が観測された場合、およびそうでない場合として、各測定選択から生じる 2 つの可能な出力にラベルを付けます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle a=1}$

ボブはチャーリーから受信したビットを使用して、どの測定を実行するかを決定します。つまり、を基底として測定する場合は 、を基底として測定する場合は となります。ここで となります。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle \{|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle \}}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle \{|b_{0}\rangle ,|b_{1}\rangle \}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&|a_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |a_{1}\rangle =-\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\\&|b_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle -\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |b_{1}\rangle =\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \theta =\pi /8}$

次の表は、ゲームの進め方を示しています。状態は、最も類似した 2 つの状態の間に各状態が来るように並べられています。たとえば、0°、22.5°、45°、... 180° の角度で偏光した光子に対応します (180° と 0° は同じ状態です)。

成功確率を分析するには、4 つの可能な入力 のそれぞれに対して、成功する値のペアを出力する確率を分析し、平均をとれば十分です。ここでは、次のケースを分析します。この場合、成功する応答ペアはとです。入力 では、アリスは を基底として測定し、ボブは を基底として測定することが分かっています。すると、両方が 0 を出力する確率は、それぞれの測定値が となる確率と同じなので、正確には です。同様に、両方が 1 を出力する確率は です。そのため、これらの成功結果のいずれかが発生する確率は です。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x=y=0}$${\displaystyle a=b=0}$${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle x=y=0}$${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }$${\displaystyle |a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle }$${\displaystyle |0\rangle ,|a_{0}\rangle }$${\textstyle |(\langle 0|\otimes \langle a_{0}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$${\textstyle |(\langle 1|\otimes \langle a_{1}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$

他の 3 つの可能な入力ペアの場合、本質的に同一の分析により、アリスとボブの勝利確率は同じ になることがわかります。したがって、ランダムに選択された入力の平均勝利確率は全体として です。 であるため、これは従来のケースで可能だったものよりも確実に優れています。 ${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)\approx 85\%}$

CHSHゲームの任意の量子戦略は、3つの式でモデル化できる。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)}$

• ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}}$は、ある人にとっては二部状態である。${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle A_{0}}$およびはアリスの観測可能量であり、それぞれ審判からの受け取りに対応し、${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
• ${\displaystyle B_{0}}$およびはボブの観測可能量であり、それぞれ審判からの受信に対応しています。${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle y\in \{0,1\}}$

上で説明した最適な量子戦略は、次のように表記し直すことができます。は EPR ペア、観測量(基底 で測定するアリスに対応)、観測量(基底 で測定するアリスに対応)、ここで、 およびはパウリ行列です。観測量および(ボブが で測定する基底 のそれぞれに対応) 。CHSH ゲームにおける戦略の成功確率を で表し、戦略のバイアスを と定義します。これは の勝ち確率と負け確率の差です。 ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$${\textstyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$${\displaystyle A_{0}=Z}$${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$${\displaystyle A_{1}=X}$${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\textstyle B_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+Z)}$${\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(Z-X)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}):=2\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})-1}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

特に、 上で説明した量子戦略のバイアスは です。 $${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})={\frac {1}{4}}\sum _{x,y\in \{0,1\}}(-1)^{x\wedge y}\cdot \langle \psi |A_{x}\otimes B_{y}|\psi \rangle .}$$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

1980年にボリス・ツィレルソンによって発見されたツィレルソンの不等式^[17]は、CHSHゲームに対する任意の量子戦略について、バイアスがであることを述べています。同様に、これはCHSHゲームに対する 任意の量子戦略の成功確率が であることを述べています。特に、これはCHSHゲームに対する上記の量子戦略の最適性を示唆しています。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\textstyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$$${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

ツィレルソンの不等式は、あらゆる量子戦略の最大成功確率が であることを確立し、この最大成功確率は上記の量子戦略によって達成されることを見ました。実際、この最大成功確率を達成するあらゆる量子戦略は、上記の標準的な量子戦略と（正確な意味で）同型でなければなりません。この特性は、CHSHゲームの剛性と呼ばれ、最初にサマーズとワーナーに帰せられました。 ^[18] より正式には、次の結果が得られます。 ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$

非公式には、上記の定理は、CHSH ゲームの任意の最適戦略が与えられた場合、アリスとボブの共有状態がEPR ペアのテンソルと追加の補助状態に因数分解されるような局所的な基底変換 (等長変換 によって与えられる) が存在することを述べています。さらに、アリスとボブの観測量と は、ユニタリ変換を除けば、EPR ペアからのそれぞれの量子ビット上のおよび観測量のように動作します。CHSH 剛性の近似的または定量的なバージョンは、McKague ら^[19]によって得られました。彼らは、ある に対してとなる量子戦略がある場合、その戦略が標準的な量子戦略に -近い等長変換が存在することを証明しました。近似剛性の表現論的証明も知られています。^[20]${\displaystyle V,W}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\Phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle (A_{0},A_{1})}$${\displaystyle (B_{0},B_{1})}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)-\epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle O({\sqrt {\epsilon }})}$

CHSHゲームは量子エンタングルメントと量子測定のテストとして見ることができ、CHSHゲームの剛性により、特定のエンタングルメントと特定の量子測定をテストできることに留意してください。これは、量子計算全体をテストしたり、検証したりするために活用できます。特に、CHSHゲームの剛性は、検証可能な量子委任、^{[21] [22]}証明可能なランダム性拡張、^[23]およびデバイスに依存しない暗号化のプロトコルを構築するために利用されています。^[24]

• 相関関係は因果関係を意味するものではない
• レゲット・ガーグ不等式
• 量子ゲーム理論

• ベル不等式 - Quantum Flytrapによるバーチャルラボ、CHSHベル不等式違反のインタラクティブシミュレーション^[1]