リャプノフ安定性

微分方程式または動的システムを記述する差分方程式の解については、さまざまな種類の安定性を議論することができます。最も重要な種類は、平衡点近くの解の安定性に関するものです。これは、アレクサンドル・リャプノフの理論によって議論することができます。簡単に言えば、平衡点近くから始まる解が永遠にの近くにとどまる場合、 はリャプノフ安定です。より強く言うと、がリャプノフ安定で、 の近くから始まるすべての解が に収束する場合、 は漸近安定であると言えます(漸近解析 を参照)。指数安定性の概念は、最小の減衰率、つまり解が収束する速さの推定を保証します。リャプノフ安定性の考え方は、無限次元多様体に拡張することができ、そこでは構造安定性として知られ、微分方程式の異なるが「近い」解の挙動に関係します。入力から状態への安定性(ISS) は、入力を持つシステムにリャプノフの概念を適用します。 ${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{e}}$

リャプノフ安定性は、 1892年にハリコフ大学で「運動の安定性の一般問題」という論文を発表したロシアの数学者アレクサンドル・ミハイロヴィチ・リャプノフにちなんで名付けられました。 ^[1] AM リャプノフは、非線形動的システムの安定性を、平衡点の周りでそれらを線形化する広く普及した局所的方法と比較して分析するためのグローバルなアプローチを開発する成功した取り組みの先駆者でした。彼の研究は、最初はロシア語で出版され、その後フランス語に翻訳されましたが、長年ほとんど注目されませんでした。AM リャプノフによって確立された運動の安定性の数学的理論は、科学技術への実装の時期をかなり先取りしていました。さらに、リャプノフ自身はこの分野への応用を行っておらず、彼自身の関心は天文学への応用を伴う回転流体質量の安定性にありました。彼には安定性の分野で研究を続ける博士課程の学生がおらず、彼自身の運命は1918年の自殺によってひどく悲劇的なものとなりました^[要出典]。安定性の理論は数十年にわたって完全に忘れ去られていました。1930年代にカザン航空研究所で働いていたロシア系ソ連の数学者で機械工学者のニコライ・グリエヴィッチ・チェタエフは、A・M・リャプノフの発見の驚くべき重要性に初めて気づいた人物でした。NG・チェタエフ^[2]による理論への貢献は非常に大きく、多くの数学者、物理学者、エンジニアは彼をリャプノフの直接の後継者であり、安定性の数学的理論の創造と発展における次の科学的後継者であると考えています。

冷戦時代には、いわゆる「リャプノフの第 2 法」（下記参照）が、他の方法では処理できない強い非線形性を持つ航空宇宙誘導システムの安定性に適用できることがわかり、この分野への関心が急激に高まりました。制御とシステムの文献には、当時からその後も多数の出版物が発表されています。^{[3] [4] [5] [6] [7]最近では、}リャプノフ指数 の概念（安定性を議論するリャプノフの第 1 法に関連）がカオス理論との関連で大きな関心を集めています。リャプノフの安定性法は、交通割り当て問題における平衡解の発見にも応用されています。^[8]

自律非線形動的システム を考える

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$、

ここで、 はシステム状態ベクトル、原点を含む開集合、 は上の連続ベクトル場を表します。 が で平衡状態にあると仮定する と 、${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle f(x_{e})=0}$

1. この均衡は、任意の に対してが存在し、 であれば任意のに対して となる場合、リャプノフ安定であると言われます。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$
2. 上記のシステムの平衡は、それがリャプノフ安定であり、かつとなるようなが存在する場合、漸近的に安定であると言われます。${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$
3. 上記のシステムの平衡は、漸近的に安定であり、かつであればすべての に対してとなるような状態が存在する場合、指数的に安定していると言われます。${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$${\displaystyle t\geq 0}$

概念的には、上記の用語の意味は次のとおりです。

1. 平衡の Lyapunov 安定性とは、平衡に「十分近い」(平衡から一定の距離以内) 状態から始まる解が、永遠に「十分近い」(平衡から一定の距離以内) 状態を維持することを意味します。これは、選択するどの解にも当てはまることに注意してください。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
2. 漸近安定性とは、十分に近い状態で開始した解が十分に近い状態を維持するだけでなく、最終的に平衡状態に収束することを意味します。
3. 指数安定性とは、解が収束するだけでなく、特定の既知の速度よりも速く収束するか、少なくとも同じ速さで収束することを意味します。${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$

軌道が（局所的に）魅力的であるのは、 ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ として ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

に十分近いところから始まるすべての軌道に対して成り立ち、この特性がすべての軌道に当てはまる場合は 大域的に魅力的です。${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \phi (t)}$

つまり、x がその安定多様体の内部に属している場合、それが引力と安定性の両方を備えているなら、それは漸近的に安定です。(引力が漸近安定性を意味しないことを示す例があります。^{[9] [10] [11]このような例は、}ホモクリニック接続を使用して簡単に作成できます。)

平衡状態における動的システムのヤコビアンが安定行列である場合（つまり、各固有値の実部が厳密に負である場合）、平衡状態は漸近的に安定します。

平衡点（定数解）付近の安定性のみを考慮する代わりに、任意の解 付近の安定性の同様の定義を定式化することができます。ただし、「偏差システム」と呼ばれる変数の変更により、より一般的なケースを平衡の場合に簡略化することができます。 を、微分方程式に従って定義します。 ${\displaystyle x(t)=x_{e}}$${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$${\displaystyle y=x-\phi (t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)}$。

これはもはや自律システムではありませんが、安定性が元のソリューションの安定性と同等である保証された平衡点を持ちます。 ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

リャプノフは1892年の論文で、安定性を実証する2つの方法を提案した。^[1]最初の方法は、解を級数的に展開し、限界内で収束することが証明された。現在リャプノフの安定性基準または直接法と呼ばれている2番目の方法は、古典力学のポテンシャル関数に類似したリャプノフ関数V(x)を使用する。これは、 に平衡点を持つシステムに対して次のように導入される。次のような 関数を考える。${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle V(x)=0}$ もし、もし、${\displaystyle x=0}$
• ${\displaystyle V(x)>0}$ もし、もし、${\displaystyle x\neq 0}$
• ${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0}$のすべての値に対して。注: 漸近安定性のためには、が必要です。${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$${\displaystyle x\neq 0}$

この場合、V(x)はリャプノフ関数と呼ばれ、システムはリャプノフの意味で安定しています。( が必要であることに注意してください。そうでない場合、たとえば はが局所的に安定していることを「証明」します。) グローバル安定性を結論付けるには、「適切性」または「ラジアル非有界性」と呼ばれる追加の条件が必要です。グローバル漸近安定性 (GAS) も同様に従います。 ${\displaystyle V(0)=0}$${\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}$${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}$

この分析方法は、物理システム（振動するバネや質量など）を考えて、そのようなシステムのエネルギーを考慮すると、視覚化が容易になります。システムが時間の経過とともにエネルギーを失い、エネルギーが回復しない場合は、最終的にシステムは停止し、最終的な静止状態に到達する必要があります。この最終状態はアトラクターと呼ばれます。ただし、物理システムの正確なエネルギーを与える関数を見つけるのは難しい場合があり、抽象的な数学システム、経済システム、または生物システムの場合、エネルギーの概念は適用できない可能性があります。

リャプノフは、上記の制約を満たす リャプノフ関数が見つかる限り、真の物理的エネルギーの知識を必要とせずに安定性を証明できることに気づきました。

離散時間システムの定義は、連続時間システムの定義とほぼ同じです。以下の定義は、数学的なテキストでよく使用される別の言語を使用してこれを示しています。

( X , d ) を距離空間とし、f ​​ : X → Xを連続関数とする。X内の点x がリアプノフ安定であるとは、 次の条件が成立する場合を言う。

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

x が漸近的に安定であるとは、 x がその安定集合の内部に属する場合、つまり、

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

線形状態空間モデル

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$、

ここで は有限行列であり、の固有値の実部がすべて負であれば は漸近安定（実際には指数安定）となる。この条件は次の条件と同等である：^[12]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

は、ある正定値行列に対して負定値です。(関連するリャプノフ関数は です。) ${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$

同様に、時間離散線形状態空間モデル

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

のすべての固有値の絶対値が1 より小さい 場合、 は漸近的に安定 (実際は指数的に安定) します。${\displaystyle A}$

この後者の条件は、スイッチングシステムに一般化されている：線形スイッチング離散時間システム（行列の集合によって支配される） ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

集合の結合スペクトル半径が 1 より小さい 場合、漸近的に安定 (実際は指数的に安定) します。${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

入力（または制御）を持つシステムは、次のような形式になります。

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

ここで、（一般的に時間に依存する）入力u(t)は、制御、外部入力、 刺激、外乱、または強制関数として見ることができます。^{[13]によると、リャプノフ安定である平衡点の近くでは、システムは小さな外乱の下で安定しています。より大きな入力外乱の場合、そのようなシステムの研究は}制御理論の対象であり、制御工学に応用されています。入力を持つシステムの場合、入力がシステムの安定性に与える影響を定量化する必要があります。この分析の主な2つのアプローチは、BIBO安定性（線形システムの場合）と入力状態安定性（ISS）（非線形システムの場合） です。

この例では、リャプノフ関数を使用してリャプノフ安定性を証明できるが、漸近安定性を示すことができないシステムを示します。摩擦項を変更した ファンデルポール振動子方程式に基づく次の方程式を考えます。

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

させて

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

対応するシステムは

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

原点は唯一の平衡点である。リアプノフ関数として ${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

これは明らかに正定値である。その導関数は

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

パラメータが正の場合、安定性は に対して漸近的であるように見えますが、これは誤りです。は に依存せず、 は軸上のどこでも 0 になります。平衡はリャプノフ安定ですが、漸近的には安定ではありません。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$${\displaystyle {\dot {V}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$

リャプノフの安定性基準で要求される負定導関数を持つリャプノフ関数を見つけるのは難しいかもしれないが、負の半定値のみを持つ関数は見つかるかもしれない。自律システムでは、不変集合定理を適用して漸近安定性を証明できるが、この定理はダイナミクスが時間の関数である場合は適用できない。^[14]${\displaystyle V}$${\displaystyle {\dot {V}}}$

代わりに、バルバラの補題は、これらの非自律システムのリャプノフのような分析を可能にします。補題は、次の観察に基づいています。f が時間のみの関数であると仮定します。

• を持つことは、 が で極限を持つことを意味しているわけではありません。たとえば、 です。${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$
• がとして極限に近づいても、となるわけではありません。たとえば、 です。${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$
• 下限があり、減少する ( ) は、それが極限に収束することを意味します。しかし、として収束するかどうかはわかりません。${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

バルバラの補題はこう述べています:

が として有限の極限を持ち、 が一様連続である場合（一様連続性のための十分な条件は が有界であること）として となる。^[15]${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle {\dot {f}}}$${\displaystyle {\ddot {f}}}$${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

別のバージョンは次のとおりです。

ととする。とならば、[ 16 ^]${\displaystyle p\in [1,\infty )}$${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$${\displaystyle f(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty .}$

次の形式では、補題はベクトル値の場合でも真です。

をバナッハ空間内の値を持つ一様連続関数とし、 がとして有限極限を持つと仮定する。するととなる。^[17]${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle f(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

以下の例はSlotineとLiの著書「Applied Nonlinear Control」の125ページから引用したものです。^[14]

非自律システムを考える

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

入力は時間の関数であるため、これは非自律的です。入力は制限されていると仮定します。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle w(t)}$

取ることは与える${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

これは、最初の 2 つの条件により、およびが有界であることを示しています。しかし、 は負の半定値 ( =0のときは 0 以外になる可能性があることに注意) であり、ダイナミクスは非自律的であるため、 の0 への収束については何も述べていません。${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\dot {V}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\dot {V}}}$

バルバラの補題を用いると:

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$。

これは、、が有界であるため、有界です。これは を意味し、したがって です。これは誤差が収束することを証明します。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle g}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle e\to 0}$

• リャプノフ関数
• ラサールの不変性原理
• リャプノフ・マルキン定理
• マルクス・山辺予想
• 秤動点軌道
• ハートマン・グロブマン定理
• 摂動論

• Bhatia, Nam Parshad; Szegő, Giorgio P. (2002).動的システムの安定性理論. Springer. ISBN 978-3-540-42748-3。
• Chervin, Robert (1971)。2ストリーム プラズマ システムの Lyapunov 安定性とフィードバック制御(PhD)。コロンビア大学。
• ガンドルフォ、ジャンカルロ（1996年）。経済ダイナミクス（第3版）。ベルリン：シュプリンガー。pp.407-428。ISBN 978-3-540-60988-9。
• Parks, PC (1992). 「AM Lyapunov の安定性理論 - 100 年後」. IMA Journal of Mathematical Control & Information . 9 (4): 275–303. doi :10.1093/imamci/9.4.275.
• スロットイン、ジャン＝ジャック・Ｅ．リー・ウェイピン (1991)。非線形制御を適用。ニュージャージー州: プレンティス・ホール。
• Teschl, G. (2012). 常微分方程式と動的システム.プロビデンス:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-8328-0。
• Wiggins, S. (2003). 応用非線形動的システムとカオス入門（第2版）. ニューヨーク: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-00177-7。

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