配置（空間の仕切り）

離散幾何学において、配置とは、d 次元の線型空間、アフィン空間、または射影空間を、通常は空間の次元より 1 小さい次元を持ち、超平面や球など、互いに同じタイプであることが多い幾何学的オブジェクトの有限集合によって誘導される、異なる次元の接続されたセルに分解することです。

内のオブジェクトの集合に対して、配置内のセルは の サブセットに対する形式の集合の 連結成分です。つまり、各 に対して、セルは 内のすべてのオブジェクトに属し、他のオブジェクトには属さない点の連結成分です。たとえば、ユークリッド平面の直線の配置のセルには、次の 3 つのタイプがあります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle (\cap X)\setminus \cup (A\setminus X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• 孤立した点。その点を通過するすべての線のサブセットです。${\displaystyle X}$
• 線分または放射線は、 1本の線からなる単一集合である。線分または放射線は、その線にのみ属し、他の線には属さない点の連結成分である。${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$
• 凸多角形（無限の場合もある）で、 は空集合であり、その交点（空の交点）は空間全体です。これらの多角形は、 内のすべての直線を削除することによって形成される平面の部分集合の連結成分です。${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

特に興味深いのは、線の配置と超平面の配置です。

より一般的には、幾何学者は平面上の他の種類の曲線の配置や、他のより複雑な種類の表面の配置を研究してきました。^[1]複素 ベクトル空間の配置も研究されてきました。複素直線は複素平面を複数の連結成分に分割しないため、頂点、辺、セルの組み合わせ論はこれらの種類の空間には適用されませんが、その対称性や位相特性を研究することは依然として興味深いことです。^[2]

配置の研究への関心は計算幾何学の進歩によって促進され、計算幾何学では配置が多くの問題に対する統一構造となっていた。代数曲面などのより複雑な物体の研究の進歩は、動作計画やコンピュータビジョンなどの「現実世界」への応用に貢献した。^[3]