ジョージ・ピーコック

牧師 ジョージ・ピーコック
生まれる	( 1791-04-09 )1791年4月9日 ソーントン ホール、デントン、カウンティ ダラム、イングランド
死亡	1858年11月8日(1858-11-08)（67歳） ポール・モール、ロンドン、イギリス
市民権	ニューヨーク、ニューヨーク
母校	ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジ
知られている	代数学に関する論文
受賞歴	スミス賞(1813)
科学者としてのキャリア
フィールド	数学者
機関	ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジ
学術アドバイザー	ジョン・ハドソン アダム・セジウィック
著名な学生	オーガスタス・デ・モーガン アーサー・ケイリー ジョージ・ビデル・エアリー WHトンプソン

ジョージ・ピーコック FRS（1791 年 4 月 9 日 - 1858 年 11 月 8 日）は、イギリスの数学者であり、英国国教会の聖職者でした。彼は、いわゆる「イギリス代数論理学」を創始しました。

ピーコックは1791年4月9日、カウンティ・ダラムのダーリントン近郊、デントンのソーントン・ホールで生まれた。^[1]父トーマス・ピーコックは英国国教会の司祭で、デントン教区の牧師を50年間務め、同教区で学校も経営していた。幼少期、ピーコックは天才的な早熟さを見せることはなかった。学問への特別な愛着よりも、大胆な登山の妙技で目立った。最初は父から初等教育を受け、その後セドバーグ・スクールに進み、^[2] 17歳のとき、ケンブリッジ大学卒のジェームズ・テイトが指導するリッチモンド・スクールに入学した。この学校では古典でも、当時ケンブリッジ大学入学に必須だった初等数学でも非常に優秀な成績を収めた。1809年、ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジの学生となった。^[3]

1812年、ピーコックは第2位のラングラーの地位に就き、第2位のスミス賞も受賞した。第1位はジョン・ハーシェルだった。2年後、ピーコックは大学のフェローシップの候補者となり、古典に関する広範かつ正確な知識もあって、すぐにその地位を獲得した。当時のフェローシップは年間約200ポンドで、その間に結婚しなければ7年間の受給が可能で、7年後には聖職に就けば延長可能だった。ピーコックは1819年に聖職に就いた。

フェローシップを取得した翌年、ピーコックは大学の家庭教師兼講師に任命され、その後何年もその職に就いた。ピーコックは、他の多くの同輩と同様に、微分積分学の微分記法を無視するケンブリッジ大学の立場を改革する必要性に深く感銘を受け、まだ学部生だったころから、その改革を実現するための方策を講じるためにバベッジ、ハーシェルと同盟を組んだ。 1815年、彼らは「分析学会」と名付けた学会を結成した。その目的は、大学の点在化に対して大陸の統一主義を主張することであるとされた。

解析学会による最初の動きは、ラクロワの微分積分学に関する小著をフランス語から翻訳することだった。これは1816年に出版された。 ^[4]当時、フランス語には数学に関する最高のマニュアルと最高の著作があった。ピーコックは、この翻訳に続いて、微分積分学の応用例集を豊富に含む本を1820年に出版した。^[5]両書の売れ行きは好調で、学会の目的達成に大きく貢献した。当時、1年間優秀な成績を修めた学者たちが、3、4年後には数学トリポスの審査官になった。ピーコックは1817年に審査官に任命され、改革を推進する強力な手段としてその地位を必ず利用した。彼が出した試験問題には、ケンブリッジで初めて微分記法が公式に採用された。この革新は非難を免れなかったが、彼は友人に次のように書いた。「私は改革のために全力を尽くすことを決してやめず、改革を遂行する力を高める可能性のあるいかなる役職も決して辞退しないことを約束します。1818年から1819年にかけては、議長に指名されることはほぼ確実です。また、私は役職上、試験官でもあるので、来年はこれまでよりもさらに断固とした方針を追求するつもりです。なぜなら、人々は変化に備えており、改良された初等書の出版によって、より良いシステムを獲得できると感じているからです。私は講師としてかなりの影響力を持っており、それを怠るつもりはありません。沈黙の忍耐によってのみ、偏見という多頭の怪物を減少させ、大学が良き学問と科学の愛情深い母としての性格に応えられるようになることを期待できます。」これらの数文はピーコックの性格を垣間見せてくれます。彼は熱心な改革者であり、数年で分析協会の活動に成功をもたらしました。

ピーコックが取り組んだもう一つの改革は代数学の教育でした。1830年に彼は代数学の論文を出版しました。その目的は、大陸の数学者の手によって代数学が発展してきたのにふさわしい、真の科学的基盤の上に代数学を置くことでした。天文学の向上を目的にロンドン天文学会が設立され、ピーコック、バベッジ、ハーシェルの3人の改革者が再びこの事業の主導者となりました。ピーコックはケンブリッジの天文台の最も熱心な推進者の1人であり、ケンブリッジ哲学協会の創設者の1人でした。

1831年、英国科学振興協会（アメリカ、フランス、オーストラリアの各協会の原型）が古都ヨークで第1回会合を開催した。採択された最初の決議の1つは、年次総会の情報として、特定の科学の状況と進歩に関する報告書を適任者によって随時作成することであり、そのリストに最初に載せられたのが数学科学の進歩に関する報告書であった。数学者で哲学者のヒューウェルは、この会合の副会長であり、報告者を選ぶように指示された。ヒューウェルは最初ウィリアム・ローワン・ハミルトンに依頼したが断られ、次にピーコックに依頼し、ピーコックが引き受けた。ピーコックは、1833年にケンブリッジで開催された協会の第3回会合までに報告書を用意していた。代数、三角法、正弦の算術に限定されているものの、これは協会のために準備され印刷された一連の貴重なレポートの中でも最も優れたものの 1 つです。

1837年、ピーコックはケンブリッジ大学のローニディーン天文学教授に任命された。この教授職は後に海王星の共同発見者であるアダムスが就任し、その後はねじの理論で名声を得たロバート・ボールが就任した。大学の規則の改革が目的だったため、ピーコックはこれに熱心に取り組み、政府によってその目的で任命された委員会のメンバーとなった。

彼は1818年1月に王立協会の会員に選出された。^[6]

1842年、ピーコックはアメリカ哲学協会の会員に選出された。^[7]

彼は1819年に助祭に任命され、1822年に司祭となり、1826年にレスターシャーのワイムズウォルドの牧師に任命された（1835年まで）。 ^[8]

1839年、彼はケンブリッジシャーのイーリー大聖堂の司祭に任命され、その後20年ほどその職を務めた。建築家ジョージ・ギルバート・スコットとともに、彼は大聖堂の大規模な修復工事に着手した。これには板張りの天井の設置も含まれていた。^[9]

この職に就いている間に、彼は代数学の教科書『代数学の論文』（1830年）を執筆した。後に第2版が2巻本で出版され、1巻は『算術代数学』（1842年）で、もう1巻は『記号代数学と位置の幾何学への応用』 （1845年） である。

ピーコックが数学的分析にもたらした主な貢献は、代数を厳密に論理的基盤の上に置こうとしたことである。彼は、グレゴリー、ド・モルガン、ブールらが属する、いわゆるイギリス論理代数論を創始した。ピーコックは、マゼレスとフレンドに対して、代数の科学は算術代数と記号代数の 2 つの部分から成り、代数の科学を算術部分に限定したのは誤りである、と答えた。算術代数に対する彼の見解は次の通りである。「算術代数では、記号は数を表すものとみなし、記号に課される演算は、通常の算術と同じ定義に含まれるものとする。記号 とは、通常の意味においてのみ加算と減算の演算を表す。これらの演算は、対象となる記号が、デジタル数に置き換えられた場合に不可能となる値を持つ場合、常に不可能とみなされる。したがって、 などの式では、 とが同じ種類の量であると想定しなければならない。 などの他の式では、よりも大きく、したがって同型であると想定しなければならない。 や などの積と商では、乗数と除数は抽象的な数であると想定しなければならない。負の量を含め、各演算の定義から正当な結論として厳密に推論できない結果はすべて、不可能または科学に無関係として拒否しなければならない。」 ${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

ピーコックの原理は次のように述べることができる。算術代数の基本記号はデジタル、すなわち整数を表す。そして、基本記号のすべての組み合わせはデジタル数に簡約されなければならない。そうでなければ、それは科学にとって不可能であるか、または無関係である。とが数であれば、は常に数である。しかし、が数となるのはが より小さい場合のみである。また、同じ条件下では、は常に数であるが、が実際に数となるのはが の正確な約数である場合のみである。したがって、次のジレンマが生じる。一般には不可能な式であるとみなされるか、そうでなければ代数の基本記号の意味を拡張して有理数を含むようにしなければならない。ジレンマの前者の角が選択されると、算術代数は単なる影になる。後者の角が選択されると、基本記号が整数であるという仮定に基づいて代数の演算を定義することはできない。ピーコックは、乗数として使用される記号は常に整数であるが、被乗数の代わりに使用される記号は分数であってもよいと仮定することによって、困難を回避しようとします。たとえば、 では、は整数のみを表すことができますが、有理分数を表すことができます。さて、 以上に基本的な原理は算術代数にはなく、これはピーコックの原理では不当です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab=ba}$

算術に関する最も初期のイギリス人著述家の 1 人はロバート・レコードで、彼はその著作をエドワード 6世に捧げました。著者は、その論文を師匠と学者の対話の形式にしています。学者は、物を掛けるとそれが小さくなるという難題について長い間議論します。師匠は、比率に言及してこの異常性を説明しようとします。つまり、分数による積は、分数が 1 に持つ比率と同じ比率を掛けたものに持つということです。しかし学者は納得せず、師匠は続けて言います。「1 より多く掛けると、物は増えます。1 回だけ掛けると変化しません。1 回より少なく掛けると、以前と同じ量にはなりません。分数が 1 より小さいので、分数を掛けると、1 回より少なく掛けることになります。」すると学者は答えます。「先生、この理由について本当にありがとうございます。そして、私はそのことを理解していると信じています。」

事実、算術においても、掛け算と割り算という 2 つの処理は、共通の掛け算に一般化されています。難しいのは、掛け算という本来の考え方から、大きさの圧縮と引き伸ばしを含む、テンソルという一般化された考え方に移行することです。が整数を表すとします。次のステップは、の逆数の概念を理解することです。 ではなく、単に として理解します。とを組み合わせると、有理分数 の概念が得られます。一般に は数にも数の逆数にも簡約されないためです。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {1}{m}}}$${\displaystyle /m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle /n}$${\displaystyle m/n}$

しかし、この反論を無視するとしたら、ピーコックはどのようにして一般代数学の基礎を築いたのでしょうか?彼はそれを記号代数と呼び、次のように算術代数から記号代数へと移行します。「記号代数は算術代数の規則を採用しますが、その制約を完全に取り除きます。したがって、記号減算は、使用される記号または表現のすべての値の関係に対して可能であるという点で、算術代数の同じ操作とは異なります。算術代数の規則を適用して演繹され、形式は一般的であるが値は特殊である算術代数のすべての結果は、形式だけでなく値も一般的である場合、同様に記号代数の結果です。したがって、とが整数であり、したがって形式は一般的であるが値は特殊である場合の と の積は、とが形式だけでなく値も一般的である場合の と の積になります。算術代数の原理によって決定されるの級数は、 が任意の整数である場合に、最終項 を参照せずに一般的な形式で示される場合、同じ原理で に示すことができます。形式と値の両方において一般的な場合の同等のシリーズです。 ${\displaystyle a^{m}}$${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle a^{m+n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (a+b)^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (a+b)^{n}}$${\displaystyle n}$

ここで例によって示された原理は、ピーコックによって「同等な形式の永続性の原理」と名付けられ、記号代数の 59 ページで次のように述べられています。「記号が形式が一般的であるが値が特定である場合に同等である代数形式は、記号が形式だけでなく値も一般的である場合にも同様に同等になります。」

たとえば、、、が任意の整数を表すとしますが、 はより小さく、より小さいという制約を受けます。その場合、 が算術的に示されます。ピーコックの原理によれば、左側の形式は、 より小さいという前述の制約が取り除かれたときだけでなく、、、、が最も一般的な代数記号を表すときにも、右側の形式と等価です。つまり、、、、は有理分数、無理数、虚数、またはなどの演算子である可能性があります。この等価性は、表される量の性質によって確立されるのではなく、等価性が真であると仮定され、次に記号に適用できるさまざまな解釈を見つけようと試みられます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (ab)(cd)=ac+bd-ad-bc}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$

我々が直面している問題が、合理的な論理や知識の理論の根本的な問題、すなわち、特定の真実からより一般的な真実へとどのように到達できるか、ということに関係していることは容易に理解できます。、、が整数を表し、そのうち がより小さくより小さい場合、となります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (ab)(cd)=ac+bd-ad-bc}$

まず、上記の制限が取り除かれても、上記の等式が成立することが分かります。しかし、前提はまだ狭すぎます。真の科学的課題は、記号の意味を特定することであり、どの記号だけが形式が等しいとみなされるかということです。「いくつかの意味」を見つけることではなく、等価性が真となる「最も一般的な意味」を見つけることです。他のケースも検討してみましょう。ピーコックの原理は困難の解決策ではないことがわかります。一般化の偉大な論理的プロセスは、そのような簡単で恣意的な手順に還元することはできません。、、が整数を表す場合、 であることが示されます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}$

ピーコックによれば、左側の形式は常に右側の形式に等しく、、、の意味は解釈によって見つけられる。が不整合量、つまり自然対数 の底の形を取ると仮定する。数は複素数の劣化した形式であり、複素数は四元数 の劣化した形式である。したがって、とに割り当てられる意味の 1 つは四元数の意味である。ピーコックの原理によれば、 、および は四元数を表すと想定されるが、これは四元数の一般化を発明したウィリアム・ローワン・ハミルトンが否定していることである。彼が間違っており、とのその極端な一般化の下でも形式は同等のままであると信じる理由はあるが、要点は次のとおりである。これは慣習的な定義と形式的な真実の問題ではなく、客観的な定義と本当の真実の問題である。記号が規定の意味を持つと仮定した場合、同値性は依然として成立するでしょうか、それとも成立しないでしょうか。成立しない場合は、同値性が想定するより高次の、またはより複雑な形式は何でしょうか。あるいは、そのような同値形式はそもそも存在するのでしょうか。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle p+q^{\sqrt {-1}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{m}e^{n}=e^{m+n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

政治的には、ジョージ・ピーコックはホイッグ党員であった。^[10]彼はウィリアム・セルウィンの娘フランシス・エリザベスと結婚したが、子供はいなかった。

彼の最後の公的な行為は、大学改革委員会の会議に出席することだった。彼は1858年11月8日、68歳で イーリーで亡くなり、イーリー墓地に埋葬された。

• 代数学に関する論文（J. & JJ Deighton、1830年）。
• 代数学に関する論文（第2版、Scripta Mathematica、1842-1845年）。
  • 第1巻：算術代数（1842年）。
  • 第2巻:記号代数と位置幾何学への応用について(1845)
• トーマス・ヤングの生涯: 医学博士、フランス王立協会会員など。フランス国立学士院の 8 人の外国人会員の 1 人(ジョン・マレー、1855 年)。

• マクファーレン、アレクサンダー (2009) [1916]。19世紀の10人のイギリス数学者に関する講義。数学モノグラフ。第17巻。コーネル大学図書館。ISBN 978-1-112-28306-2。(全文は2017年7月29日にプロジェクト・グーテンベルクのウェイバックマシンにアーカイブされています)

Wikiquote にジョージ・ピーコックに関する引用があります。

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ジョージ ピーコック」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• ピーコックの伝記