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等差数列に関する問題は、理論的および応用的な観点から、 数論、[1] 組合せ論、およびコンピュータサイエンスにおいて興味深いものです。
最大の無増悪サブセット
{1, 2, ..., m }の最大のサブセットのうち、 k 個の異なる項からなる数列を含まないサブセットの濃度( A k ( m )で示される) を求めます。禁制数列の要素は連続している必要はありません。たとえば、A 4 (10) = 8 です。これは、{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} には長さ 4 の等差数列が存在しないのに対し、{1, 2, ..., 10} の 9 要素サブセットにはすべて長さ 4 の等差数列が存在するためです。
1936年、ポール・エルデシュとパル・トゥランはこの数に関連する問題を提起し[2] 、エルデシュはその解答に対して1000ドルの賞金を設定しました。賞金は、1975年に発表されたセメレディの定理として知られる解によってエンドレ・セメレディによって獲得されました。
素数からの等差数列
セメレディの定理は、上漸近密度がゼロでない自然数の集合には、任意の長さkの有限等差数列が含まれることを述べています。
エルデシュはより一般的な推測を立て、そこから次のような結論が導かれた。
- 素数の列には、任意の長さの等差数列が含まれます。
この結果は2004年にベン・グリーンとテレンス・タオによって証明され、現在ではグリーン・タオ定理として知られています。[3]
等差数列に関するディリクレの定理も参照してください。
2020年現在[アップデート]、最も長い素数の等差数列の長さは27である。[4]
- 224584605939537911 + 81292139·23#· n、n = 0 から 26。 ( 23# = 223092870 )
2011年現在、連続する素数の最も長い等差数列の長さは10である。これは1998年に発見された。[5] [6]この数列は93桁の数字から始まる。
- 100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689
- 19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719
公差は210です。
等差数列における素数
等差数列の素数定理は、等差数列における素数の 漸近分布を扱います。
等差数列による被覆と等差数列への分割
- pを法とするn個の剰余の任意の集合が長さlnの等差数列でカバーされるような最小のlnを見つけます。[ 7 ]
- 与えられた整数の集合Sに対して、 Sをカバーする等差数列の最小数を求める。
- 与えられた整数の集合Sに対して、 Sをカバーする重複しない等差数列の最小数を求める。
- {1, ..., n }を等差数列に分割する方法の数を求めます 。 [8]
- {1, ..., n }を同じ周期で長さが2以上の等差数列に分割する方法の数を求めます 。 [9]
- カバーシステムも参照
参照
注記
- ^サミュエル・S・ワグ スタッフ・ジュニア(1979)。「算術級数に関するいくつかの疑問」アメリカ数学月刊誌。86 ( 7 )。アメリカ数学協会: 579–582。doi :10.2307/2320590。JSTOR 2320590。
- ^ エルデシュ、ポール;トゥラン、ポール(1936)。「整数のいくつかのシーケンスについて」(PDF)。ロンドン数学会誌。11 (4): 261–264。doi : 10.1112 / jlms /s1-11.4.261。MR 1574918 。
- ^ Conlon, David ; Fox, Jacob ; Zhao, Yufei (2014). 「グリーン・タオ定理：解説」EMS Surveys in Mathematical Sciences . 1 (2): 249–282. arXiv : 1403.2957 . doi :10.4171/EMSS/6. MR 3285854. S2CID 119301206.
- ^ Jens Kruse Andersen、「算術数列記録における素数」。2020年8月10日閲覧。
- ^ H. Dubner; T. Forbes; N. Lygeros; M. Mizony; H. Nelson; P. Zimmermann、「算術数列における連続する10個の素数」、Math. Comp. 71 (2002)、1323–1328。
- ^ ナイン・アンド・テン・プライムズ・プロジェクト
- ^ Vsevolod F. Lev (2000). 「同時近似とFp上の算術級数による被覆」.組合せ理論ジャーナル. シリーズA. 92 (2): 103–118. doi : 10.1006/jcta.1999.3034 .
- ^ Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A053732 ({1,...,n} を長さ >= 1 の等差数列に分割する方法の数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
- ^ Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A072255 ({1,2,...,n} を等差数列に分割する方法の数...)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。