アルキメデスの原理

アルキメデスの原理（アルキメデスの原理とも表記される）は、流体に完全にまたは部分的に浸された物体に働く上向きの浮力は、物体が押しのけた流体の重量に等しいというものである。^[1]アルキメデスの原理は、流体力学の基礎となる物理法則である。シラキュースのアルキメデスによって定式化された。^[2]

アルキメデスは『浮遊物体について』の中で、次のように示唆しています（紀元前246年頃）。

流体または液体に完全にまたは部分的に浸された物体は、その物体によって押しのけられた流体の重量に等しい力によって浮かび上がります。

アルキメデスの原理により、流体に部分的または完全に浸っている浮遊物体の浮力を計算することができます。物体にかかる下向きの力は、単にその重量です。物体にかかる上向きの力、つまり浮力は、上記のアルキメデスの原理で述べられているものです。したがって、物体にかかる正味の力は、浮力の大きさとその重量の差です。この正味の力が正の場合、物体は浮き上がり、負の場合、物体は沈み、ゼロの場合、物体は中立浮力、つまり浮くことも沈むこともなくその場に留まります。簡単に言えば、アルキメデスの原理は、物体が流体に部分的または完全に浸っている場合、物体の浸っている部分によって押しのけられた流体の重量に等しい重量の見かけの損失が発生することを示しています。

液体に浸された直方体を考えてみましょう。直方体の上面と下面は重力の方向と直交しています (立方体の伸長方向にわたって一定と仮定)。液体は各面に垂直な力を及ぼしますが、浮力に寄与するのは上面と下面の垂直な力だけです。底面と上面の圧力差は高さ (水没の深さの差) に正比例します。圧力差に面の面積を掛けると、直方体にかかる正味の力 (浮力) が得られ、その大きさは直方体によって押しのけられた液体の重量に等しくなります。任意の大きさの直方体を十分な数だけ合計すると、この推論は不規則な形状にも拡張でき、水没した物体の形状がどのようなものであっても、浮力は押しのけられた液体の重量に等しくなります。

${\displaystyle {\text{ 押しのけられた流体の重量}}={\text{ 真空中の物体の重量}}-{\text{ 流体中の物体の重量}}\,}$

押しのけられた流体の重量は、押しのけられた流体の体積に正比例します（周囲の流体の密度が均一である場合）。流体内の物体の重量は、物体に作用する力（浮力）によって減少します。簡単に言えば、この原理は、物体に働く浮力（F _b）は、物体によって押しのけられた流体の重量、または流体の密度（ρ ）に水中の体積（V）を掛けたものと重力（g）に等しいことを示しています^{[1] [3]}

この関係は次の式で表すことができます。

${\displaystyle F_{a}=\rho gV}$

ここで、は水中に沈んだ物体に作用する浮力、は 流体の密度、は押しのけられた流体の体積、は重力加速度です。したがって、質量が同じで完全に水中に沈んだ物体の場合、体積が大きいほど浮力が大きくなります。 ${\displaystyle F_{a}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g}$

真空中で重力が作用している紐で吊るされた岩石の重さが 10ニュートンであるとします。岩石を水中に沈めると、3 ニュートンの重さの水を押しのけるとします。すると、岩石が吊るされている紐にかかる力は、10 ニュートンから浮力の 3 ニュートンを引いた 10 − 3 = 7 ニュートンになります。浮力により、海底に完全に沈んだ物体の見かけの重さは減ります。一般に、物体を水中から引き上げるよりも、水中で持ち上げる方が簡単です。

完全に水中に沈んだ物体の場合、アルキメデスの原理は次のように言い換えることができます。

${\displaystyle {\text{apparent immersed weight}}={\text{weight of object}}-{\text{weight of displaced fluid}}\,}$

次に、相互体積によって拡大された重量の商に挿入されます

${\displaystyle {\frac {\text{density of object}}{\text{density of fluid}}}={\frac {\text{weight}}{\text{weight of displaced fluid}}}}$

すると、以下の式が得られます。液体の密度に対する浸漬物体の密度は、体積を測定せずに簡単に計算できます。

${\displaystyle {\frac {\text{density of object}}{\text{density of fluid}}}={\frac {\text{weight}}{{\text{weight}}-{\text{apparent immersed weight}}}}.\,}$

（この式は、例えば、水圧計や静水量計の測定原理を説明するために使用されます。）

例: 木を水に落とすと、浮力によって木は浮かびます。

例: 走行中の車内のヘリウム風船。速度を上げたりカーブを走行したりすると、空気は車の加速とは反対方向に移動します。ただし、浮力により、風船は空気によって押し出され、車の加速と同じ方向に流れていきます。

物体が液体に浸されると、液体は浮力と呼ばれる上向きの力を発揮します。この力は、押しのけられた液体の重量に比例します。したがって、物体に作用する力の合計は、物体の重量 (「下向きの」力) と押しのけられた液体の重量 (「上向きの」力) の差に等しくなります。この 2 つの重量 (つまり力) が等しいときに、平衡状態、つまり中性浮力が実現されます。

平衡状態にある流体内の圧力を計算する式は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0}$

ここで、f は流体に対して何らかの外部場が及ぼす力の密度であり、σ はコーシー応力テンソルです。この場合、応力テンソルは恒等テンソルに比例します。

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}.\,}$

ここでδ _{ij は}クロネッカーのデルタです。これを使用すると、上記の式は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla p.\,}$

外部の力場が保存的であると仮定すると、それはあるスカラー値関数の負の勾配として表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {f} =-\nabla \Phi .\,}$

それから：

${\displaystyle \nabla (p+\Phi )=0\Longrightarrow p+\Phi ={\text{constant}}.\,}$

したがって、流体の開いた表面の形状は、適用される外側の保存力場の等電位面と等しくなります。z軸を下向きにします。この場合、場は重力なので、Φ = − ρ _f gzとなります。ここで、gは重力加速度、ρ _{f は}流体の質量密度です。z がゼロの表面で圧力をゼロとすると、定数はゼロになります。したがって、重力の影響を受ける流体内の圧力は、

${\displaystyle p=\rho _{f}gz.\,}$

したがって、圧力は液体の表面下の深さとともに増加します。z は液体の表面からその内部までの距離を表します。垂直深さがゼロでない物体は、上部と下部で圧力が異なり、下部の圧力の方が大きくなります。この圧力差により、上向きの浮力が発生します。

流体の内部圧力がわかっているので、物体に働く浮力は簡単に計算できます。物体に働く力は、流体と接触している物体の表面上の応力テンソルを積分することで計算できます。

${\displaystyle \mathbf {B} =\oint \sigma \,d\mathbf {A} .}$

ガウスの定理を利用して、表面積分を体積積分に変換することができます。

${\displaystyle \mathbf {B} =\int \operatorname {div} \sigma \,dV=-\int \mathbf {f} \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \int \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} V}$

ここで、V は流体と接触する体積の尺度であり、流体は流体の外側にある物体の部分に力を及ぼさないため、物体の水中部分の体積となります。

浮力の大きさは、次の議論からもう少し理解できるかもしれません。任意の形状と体積Vの物体が液体に囲まれているとします。液体が液体内の物体に及ぼす力は、物体と同じ体積の液体の重量に等しくなります。この力は重力と反対の方向に作用し、大きさは次のようになります。

${\displaystyle B=\rho _{f}V_{\text{disp}}\,g,\,}$

ここで、ρ _fは流体の密度、 V _{disp は}変位した液体の体積、g は問題の位置における 重力加速度です。

この体積の液体を全く同じ形状の固体に置き換えると、液体が及ぼす力は上記と全く同じになるはずです。言い換えれば、水中の物体にかかる「浮力」は重力と反対方向に向いており、大きさは

${\displaystyle B=\rho _{f}Vg.\,}$

アルキメデスの原理が適用できる流体静力学の状況であれば、物体に働く 正味の力はゼロでなければならず、したがって、それは浮力と物体の重量の合計である。

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=mg-\rho _{f}V_{\text{disp}}g\,}$

（拘束も動力も受けていない）物体の浮力がその重量を超えると、その物体は浮上する傾向があります。重量が浮力を超える物体は沈む傾向があります。加速期間中に水中に沈んだ物体にかかる上向きの力の計算は、アルキメデスの原理だけでは行えません。浮力を含む物体の力学を考慮する必要があります。物体が流体の底まで完全に沈むか、表面に浮上して落ち着くと、アルキメデスの原理を単独で適用できます。浮いている物体の場合、水中に沈んでいる部分だけが水を押しのけます。沈んだ物体の場合、その体積全体が水を押しのけ、さらに固体の底からの反作用の力が加わります。

アルキメデスの原理を単独で使用するには、問題の物体が平衡状態にある必要があります（物体にかかる力の合計がゼロである必要があります）。したがって、

${\displaystyle mg=\rho _{f}V_{\text{disp}}g,\,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle m=\rho _{f}V_{\text{disp}}.\,}$

浮遊物が沈む深さとそれが押しのける流体の体積は、地理的な場所に関係なく、 重力場から独立していることを示しています。

（注：問題の流体が海水の場合、あらゆる場所で密度（ ρ ）が同じになるわけではありません。このため、船舶にはプリムソル線が表示されることがあります。）

浮力と重力以外の力が作用する場合もあります。これは、物体が拘束されている場合、または物体が固体の床に沈む場合です。浮く傾向がある物体は、完全に水中に沈んだままでいるために張力拘束力 T を必要とします。沈む傾向がある物体は、最終的には固体の床によって拘束力 N の法線力が作用します。拘束力は、流体中の重量を測定するバネ秤の張力であり、見かけの重量を定義する方法です。

物体が浮いてしまう場合、それを完全に水中に沈める張力は次のようになります。

${\displaystyle T=\rho _{f}Vg-mg.\,}$

沈む物体が固い床に着地すると、次の垂直方向の力が作用します。

${\displaystyle N=mg-\rho _{f}Vg.\,}$

物体の浮力を計算する別の方法としては、空気中のその物体の見かけの重さ (ニュートンで計算) と水中でのその物体の見かけの重さ (ニュートンで計算) を求める方法があります。この特定の情報を使用して、空気中の物体に作用する浮力を求めるには、次の式を適用します。

浮力 = 空間内の物体の重さ − 液体に浸された物体の重さ

最終結果はニュートン単位で測定されます。

空気の密度は、ほとんどの固体や液体に比べて非常に小さいです。このため、空気中の物体の重量は、真空中の実際の重量とほぼ同じです。空気中の測定では、ほとんどの物体の空気の浮力は無視されます。これは、誤差が通常わずかであるためです (風船や軽い泡など、平均密度が非常に低い物体を除き、通常は 0.1% 未満)。

接触面積上の圧力の積分については、次のように簡単に説明できます。

上面が水平な状態で液体に浸された立方体を考えます。

側面の面積は同じで、深さの分布も同じであるため、圧力分布も同じであり、その結果、各側面の表面の平面に垂直に作用する静水圧から生じる合計の力も同じになります。

反対側の辺が 2 組あるため、結果として生じる水平方向の力は両方の直交方向でバランスし、結果として生じる力はゼロになります。

立方体にかかる上向きの力は、底面の圧力をその面積で積分したものです。表面の深さは一定なので、圧力は一定です。したがって、立方体の水平底面の面積にわたる圧力の積分は、その深さの静水圧に底面の面積を掛けたものになります。

同様に、立方体にかかる下向きの力は、上面の圧力をその面積で積分したものです。表面の深さは一定なので、圧力は一定です。したがって、立方体の水平上面の面積にわたる圧力の積分は、その深さの静水圧に上面の面積を掛けたものになります。

これは立方体なので、上面と底面の形状と面積は同じであり、立方体の上部と下部の圧力差は深さの差に正比例し、結果として生じる力の差は、立方体が存在しない場合に立方体の体積を占める流体の重量と正確に等しくなります。

これは、外部からの力がない場合、立方体にかかる上向きの力は立方体の容積に収まる流体の重量に等しく、立方体にかかる下向きの力は立方体の重量であることを意味します。

この類推は、立方体のサイズの変化にも当てはまります。

2 つの立方体を並べて、それぞれの面が接触するようにした場合、接触面の形状、サイズ、圧力分布が等しいため、接触している側面または部分にかかる圧力と合力は釣り合いが取れており、無視できます。したがって、接触している 2 つの立方体の浮力は、各立方体の浮力の合計になります。この類推は、任意の数の立方体に拡張できます。

どのような形状の物体も、互いに接触している立方体のグループとして近似することができ、立方体のサイズが小さくなるほど、近似の精度が増します。無限に小さい立方体の場合の極限ケースは、正確な等価性です。

角度の付いた表面でも、結果として生じる力を直交する成分に分割してそれぞれを同じように扱うことができるため、この類似性は無効になりません。

アルキメデスの原理は物体に作用する表面張力（毛細管現象）を考慮していません。 ^{[4]さらに、アルキメデスの原理は}複雑な流体では当てはまらないことが分かっています。^[5]

アルキメデスの原理には、底部（または側面）の場合と呼ばれる例外があります。これは、物体の側面が、それが沈められている容器の底部（または側面）に接触しており、その側面に沿って液体が浸透していない場合に発生します。この場合、その側面には液体が浸透しないため、圧力の対称性が破れ、正味の力はアルキメデスの原理とは異なることが判明しています。^[6]

アルキメデスの原理は、流体の浮力と変位を示しています。しかし、アルキメデスの原理の概念は、物体がなぜ浮くのかを考えるときにも適用できます。アルキメデスの論文「浮体について」の命題5は、次のように述べています。

浮遊する物体は、自身の重量の液体を押しのけます。

— シラクサのアルキメデス^[7]

言い換えれば、液体の表面に浮かんでいる物体（ボートなど）や、液体に沈んでいる物体（水中の潜水艦や空中の飛行船など）の場合、押しのけられた液体の重さが物体の重さに等しくなります。したがって、浮いているという特殊なケースでのみ、物体に作用する浮力が物体の重さに等しくなります。1 トンの固体鉄のブロックを考えてみましょう。鉄は水の約 8 倍の密度があるため、水中に沈んだときに押しのけられる水は 1/8 トンに過ぎず、浮かんでいるには不十分です。同じ鉄のブロックをボウルに形を変えたとします。重さは依然として 1 トンですが、水に入れると、ブロックであったときよりも多くの量の水を押しのけます。鉄のボウルを深く沈めるほど、押しのける水が多くなり、作用する浮力が大きくなります。浮力が 1 トンに等しくなると、それ以上沈みません。

船は、その重量と同じ重さの水を押しのけると、浮きます。これは「浮力の原理」と呼ばれることがよくあります。浮遊する物体は、その重量と同じ重さの液体を押しのけます。すべての船、潜水艦、飛行船は、少なくともその重量と同じ重さの液体を押しのけるように設計する必要があります。10,000 トンの船の船体は、10,000 トンの水を排水できる幅、長さ、深さで造られ、沈没しないように水面上に船体の一部が残る必要があります。船体は、波に飲み込まれて質量が増し、沈没してしまうため、余分な船体が必要です。空中の船でも同じことが言えます。重量が 100 トンの飛行船は、100 トンの空気を押しのける必要があります。押しのける量が多いと浮上し、押しのけ量が少ないと沈没します。飛行船が正確にその重量を排水すると、一定の高度でホバリングします。

浮力の原理と、水中に沈んだ物体が自身の体積と同じ量の流体を押しのけるという概念は、アルキメデスの原理と関連はあるものの、アルキメデスの原理ではありません。前述のように、アルキメデスの原理は、浮力と押しのけた流体の重量を等しくします。

^{アルキメデスの原理に関してよく混乱}する点の 1 つは^、変位体積の意味です。一般的なデモンストレーションでは、物体が水面に浮いているときに水位の上昇を測定し、変位した水を計算します。この測定方法は、浮力のある水中の物体ではうまくいきません。なぜなら、水位の上昇は物体の体積に直接関係しており、質量には関係していないからです (物体の有効密度が流体の密度と正確に等しい場合を除く)。^{[8] [9] [10]}

アルキメデスは、王冠が不純な金でできているかどうかを見分ける方法を思いついた後、「エウレカ」と叫んだと伝えられている。広く知られている伝説ではアルキメデスはアルキメデスの原理を使わず、王冠の体積を測るために水のみを使ったが、この原理を使った別の方法もある。空中の秤の上で王冠と純金を釣り合わせ、秤を水に入れる。アルキメデスの原理によれば、王冠の密度が純金の密度と異なる場合、秤は水中でバランスを崩す。^{[11] [12]}

• Phragmen の投票ルール- アルキメデスの原理の考え方に類似した投票負荷分散方法。

• ウィキメディア・コモンズにあるアルキメデスの原理に関連するメディア