アラン分散

時系列データが与えられた場合${\displaystyle x(t)}$任意の正の実数に対して${\displaystyle T,\tau }$実数列を定義する$${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\quad i=0,1,2,...}$$それから${\displaystyle M}$-標本分散は^{[ 6 ]}（ここでは現代的な表記法で）シーケンスのベッセル補正分散として定義される。${\displaystyle {\bar {y}}_{0},...,{\bar {y}}_{M-1}}$:$${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {M}{M-1}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right),}$$これらの記号の解釈は以下のとおりです。

• ${\displaystyle t}$は基準時計の読み値（任意単位）です。
• ${\displaystyle x(t)}$これは、基準クロックの読み取り値に対する、テスト対象のクロックの読み取り値（任意単位）の関数です。また、平均分数周波数時系列として解釈することもできます。
• ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$は、観測時間におけるn^番目の分数頻度平均である。${\displaystyle \tau }$。
• ${\displaystyle M}$は、計算に使用されるクロック読み取り間隔の数です。${\displaystyle M}$-サンプル分散、
• ${\displaystyle T}$各周波数サンプル間の時間、
• ${\displaystyle \tau }$これは、各頻度推定値の時間長、つまり観測期間です。

デッドタイムは、時間を${\displaystyle T}$とは異なる${\displaystyle \tau }$。

アラン分散は次のように定義される。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle }$

どこ${\displaystyle x_{n}:=x(n\tau )}$そして${\displaystyle \langle \dotsm \rangle }$は期待値演算子を表す。

状態${\textstyle T=\tau }$これは、サンプル採取の間に待ち時間がないことを意味します。

標準偏差や分散と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義されます。

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.}$

解析対象の発振器は、以下の基本モデルに従うと仮定する。

${\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).}$

発振器の公称周波数は${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$（単位：サイクル/秒、SI単位：ヘルツ）公称角周波数${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$（ラジアン毎秒）は次のように表されます。

${\displaystyle \omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.}$

全位相は完全に周期的な成分に分離できる${\displaystyle \omega _{\text{n}}t}$変動する要素とともに${\displaystyle \varphi (t)}$:

${\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).}$

時間誤差関数x ( t ) は、期待される公称時間と実際の標準時間との差です。

${\displaystyle x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.}$

測定値については、基準時間関数T _ref ( t ) から時間誤差系列 TE( t ) が次のように定義される。

${\displaystyle TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).}$

周波数関数${\displaystyle \nu (t)}$は時間経過に伴う周波数であり、次のように定義される。

${\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.}$

分数周波数y ( t ) は、周波数間の正規化された差です。${\displaystyle \nu (t)}$公称周波数${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$:

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

平均分数周波数は次のように定義されます。

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

ここで、平均は観測時間τにわたって取られ、y ( t )は時刻tにおける分数頻度誤差であり、τは観測時間である。

y ( t )はx ( t )の導関数なので、一般性を失うことなく次のように書き換えることができます。

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.}$

最初の簡単な推定方法は、定義を直接翻訳することです。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,M)=\operatorname {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

または時系列データの場合：

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,N)=\operatorname {AVAR} (\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

ただし、これらの式はτ = τ₀_の場合の計算しか提供していません。τの異なる値を計算するには、新しい時系列データを提供する必要があります。

時系列データからn  − 1 サンプルをスキップすると、隣接するサンプル間の時間がτ ₀ の新しい（より短い）時系列データが生成され、そのアラン分散は単純な推定量で計算できます。これらの推定量は、新しい変数nを導入するように変更でき、新しい時系列データを生成する必要はなく、元の時系列データをさまざまなnの値で再利用できます。推定量は次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}}$

と${\displaystyle n\leq {\frac {M-1}{2}}}$、

そして時系列データについては：

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}}$

と${\displaystyle n\leq {\frac {N-1}{2}}}$。

これらの推定法には、利用可能なサンプルの1/ nしか使用しないため、かなりの量のサンプルデータが破棄されるという重大な欠点がある。

^{JJ Snyder [ 10 ]}が提示した手法は、元の系列からn個の重複系列に測定値を重ね合わせることで、改良されたツールを提供しました。重複アラン分散推定量は、Howe、Allan、Barnes によって導入されました^{[ 11 ]} 。これは、処理前にn 個のサンプルのブロックで時間または正規化周波数サンプルを平均することと同等であることが示されています。結果として得られる予測量は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{aligned}}}$

または時系列データの場合：

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.}$

重複推定器は、 n が増加し、時系列の長さが中程度になると、重複しない推定器よりもはるかに優れた性能を発揮します。重複推定器は、電気通信の認証に必要な比較可能な測定のための IEEE ^{[ 7 ]} 、 ITU-T ^{[ 12 ]}、および ETSI ^{[ 13 ]}規格において、好ましいアラン分散推定器として受け入れられています。

従来のAllan分散推定器では白色位相変調とフリッカー位相変調を分離できないという問題を解決するため、アルゴリズムによるフィルタリングによって帯域幅をnだけ削減します。このフィルタリングにより、定義と推定器が変更され、修正Allan分散と呼ばれる別の分散クラスとして識別されるようになります。修正Allan分散は、Allan分散と同様に周波数安定性の指標です。

時間安定性（σ _x）の統計的指標（時間偏差（TDEV）とも呼ばれる）は、修正アラン偏差（MDEV）から計算できます。TDEVは、元のアラン偏差ではなくMDEVに基づいています。これは、MDEVが白色位相変調（PM）とフリッカー位相変調（PM）を区別できるためです。以下は、修正アラン分散に基づく時間分散の推定です。

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),}$

同様に、修正アラン偏差から時間偏差へも同様に：

${\displaystyle \sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).}$

TDEV は、時間定数τ = τ ₀の白色 PM の古典的な偏差と等しくなるように正規化されています。統計的尺度間の正規化スケール係数を理解するために、関連する統計ルールは次のとおりです。独立した確率変数XとYの場合、和または差 ( z = x − y ) の分散 (σ _z ² )は、それらの分散の二乗和です (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ^{2 )。}確率変数の 2 つの独立したサンプルの和または差 ( y = x _{2 τ} − x _τ ) の分散は、確率変数の分散の 2 倍です (σ _y ² = 2σ _x ² )。MDEV は、分散 (σ _x ^{2 ) を持つ独立した位相測定値 (} x )の 2 階差です。計算は二重差分であり、3 つの独立した位相測定 ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x ) を必要とするため、修正アラン分散 (MVAR) は位相測定の分散の 3 倍になります。 

さらなる発展により、同じ安定性尺度である周波数の分散/偏差の推定方法が改善されましたが、これらはアダマール分散、修正アダマール分散、全分散、修正全分散、テオ分散などの別々の名前で知られています。^{[ 14 ]}これらは、統計をより適切に使用して信頼区間を改善したり、線形周波数ドリフトを処理する能力によって区別されます。

信頼区間は、標本分散の分布を使用して、自由度 df のカイ二乗分布を使用して確立できます。^{[ 7 ] [ 11 ]}

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},}$

ここで、s ²は推定値の標本分散、σ ²は真の分散値、df は推定量の自由度、χ ^{2 は自由度 df の}χ ²の逆累積密度分布に基づいて計算されます 。確率曲線上の 5% から 95% の範囲をカバーする 90% の確率の場合、上限と下限は次の不等式を使用して求めることができます。

${\displaystyle \chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),}$

真の分散について再配置すると次のようになる

${\displaystyle {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.}$

自由度は、推定に寄与できる自由変数の数を表します。推定器とノイズの種類に応じて、有効な自由度は変化します。N（サンプル点の総数）とn（τ 0の整数倍）に依存する推定器の式は経験的に見出さ_れています。^{[ 11 ]}

位相変調の詳細なマッピング

${\displaystyle S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },}$

どこ

${\displaystyle \beta \equiv \alpha -2,}$

または、次の形式の周波数変調

${\displaystyle S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }}$

アラン分散の形式へ

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }}$

αとμの間のマッピングを提供することで、大幅に簡略化できます。便宜上、αとKα_の間のマッピングも示します。 ^{[ 7 ]}

スペクトル位相ノイズを含む信号${\displaystyle S_{\varphi }}$単位が rad ^{2 /Hz のものは、 [ 18 ]}によりアラン分散に変換できます。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.}$

The B₁ bias function relates the M-sample variance with the 2-sample variance, keeping the time between measurements T and time for each measurements τ constant. It is defined^[19] as

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},}$

where

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

The bias function becomes after analysis

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.}$

The B₂ bias function relates the 2-sample variance for sample time T with the 2-sample variance (Allan variance), keeping the number of samples N = 2 and the observation time τ constant. It is defined^[19] as

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},}$

where

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

The bias function becomes after analysis

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.}$

The B₃ bias function relates the 2-sample variance for sample time MT₀ and observation time Mτ₀ with the 2-sample variance (Allan variance) and is defined^[20] as

${\displaystyle B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

where

${\displaystyle T=MT_{0},}$

${\displaystyle \tau =M\tau _{0}.}$

B ₃バイアス関数は、観測時間 τ 0 および観測間の時間 T 0 のデッドタイム測定値に基づいて、重複しない変数 τ 推定値と重複する変数τ推定_値の値_を通常のデッドタイム推定値に調整するのに役立ちます。

分析後のバイアス関数は次のようになります（N  =  2 の場合）

${\displaystyle B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},}$

どこ

${\displaystyle F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.}$

正式には定式化されていないが、 α – μマッピングの結果として間接的に推測されている。異なるτに対して 2 つの Allan 分散尺度を比較する場合、同じ μ 係数の形で同じ支配的なノイズを仮定すると、バイアスは次のように定義できる。

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.}$

バイアス関数は解析後に

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.}$

ある測定値セットから別の測定値セットに変換するために、B ₁、B ₂、およびτバイアス関数を組み立てることができます。まず、B ₁関数は( N ₁、 T ₁、 τ ₁ )の値を(2、 T ₁、 τ ₁ )に変換し、そこからB ₂関数は(2、 τ ₁、 τ _{1 )の値に変換します。つまり、} τ ₁におけるアラン分散です。アラン分散尺度は、τバイアス関数を使用してτ _1からτ ₂に変換でき、そこから B _{2を使用して(2、} T ₂、 τ ₂ )に変換し、最後にB ₁を使用して( N ₂、 T ₂、 τ ₂ )分散に変換できます。完全な変換は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,}$

どこ

${\displaystyle r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.}$

同様に、 Mセクションを使用した連結測定の場合、論理拡張は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

シャノン・ハートレーの定理で述べられているように、測定システムの帯域幅はナイキスト周波数以下であることが期待される。べき乗則ノイズの式からわかるように、白色ノイズとフリッカーノイズの変調はどちらも上限コーナー周波数に依存する。${\displaystyle f_{H}}$（これらのシステムはローパスフィルタのみであると想定されています。）周波数フィルタの特性を考慮すると、低周波ノイズが結果に大きな影響を与えることが明確にわかります。比較的平坦な位相変調ノイズタイプ（WPMやFPMなど）の場合、フィルタリングは重要ですが、傾斜の大きいノイズタイプの場合、測定システムの帯域幅が比較的広いと仮定すると、上限周波数制限の重要性は低くなります。${\displaystyle \tau }$与えられた

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}}.}$

この仮定が満たされない場合、実効帯域幅は${\displaystyle f_{H}}$測定値の横に注記する必要がある。興味のある方はNBS TN394を参照してください。^{[ 15 ]}

しかし、推定器の帯域幅をサンプル時間の整数倍で調整すれば${\displaystyle n\tau _{0}}$そうすれば、システム帯域幅への影響は無視できるレベルまで低減できます。通信のニーズでは、このような方法は、測定の比較可能性を確保し、ベンダーが異なる実装を行うためのある程度の自由度を与えるために必要とされてきました。TDEV測定のためのITU-T勧告G.813 ^{[ 21 ] 。}

最初の${\displaystyle \tau _{0}}$倍数は無視され、検出されたノイズの大部分は測定システムの帯域幅の通過帯域内に収まる。

アラン分散に関するさらなる開発が行われ、ハードウェア帯域幅をソフトウェアによって低減することが可能になった。このソフトウェア帯域幅の開発により、残存ノイズへの対処が可能となり、この手法は現在、修正アラン分散と呼ばれている。この帯域幅低減技術は、平滑化フィルタの帯域幅も変更する、修正アラン分散の拡張版と混同してはならない。

時間と周波数の多くの測定機器は、アーム時間、タイムベース時間、処理時間の段階を持ち、その後アームを再トリガーする場合があります。アーム時間は、アームがトリガーされてからスタートチャネルでスタートイベントが発生するまでの時間です。タイムベースは、ストップチャネルのイベントを停止イベントとして受け入れる前に経過する最小限の時間を保証します。処理時間中は、イベント数とスタートイベントとストップイベント間の経過時間が記録され、表示されます。処理が行われている間（滞留時間とも呼ばれます）、機器は通常、別の測定を行うことができません。処理が完了すると、連続モードの機器はアーム回路を再びトリガーします。停止イベントと次のスタートイベントの間の時間はデッドタイムとなり、その間は信号が観測されません。このようなデッドタイムは系統的な測定バイアスを引き起こすため、適切な結果を得るためにはこれを補正する必要があります。このような測定システムでは、時間Tは隣接するスタートイベント（したがって測定値）間の時間を表します。${\displaystyle \tau }$時間基準長、つまり任意の測定の開始イベントと終了イベント間の公称長を表します。

デッドタイムの​​影響は測定結果に大きな影響を与えるため、その特性を適切に定量化するために多くの研究が行われてきました。デッドタイムゼロカウンタの導入により、このような分析は不要になりました。デッドタイムゼロカウンタは、ある測定の停止イベントが次の測定の開始イベントとしても使用されるという特性を持っています。このようなカウンタは、タイムベース間隔で各チャネルごとに1つずつ、イベントとタイムスタンプのペアを生成します。このような測定は、時系列分析の順序形式においても有用であることが証明されています。

デッドタイムを伴う測定は、バイアス関数B ₁、B ₂、B _{3を用いて補正できます。したがって、デッドタイム自体はアラン分散へのアクセスを妨げるものではありませんが、アクセスをより困難にします。サンプル間の時間}Tを決定できるように、デッドタイムは既知である必要があります。

サンプル系列の長さNが信頼区間に及ぼす影響と変数τパラメータn の影響を調べると、支配的なノイズ形式 (そのτの場合) に対して、 Nとnのある組み合わせで有効自由度が小さくなる可能性があるため、信頼区間が非常に大きくなる可能性があります。

その結果、推定値が実際の値よりもはるかに小さくなったり、はるかに大きくなったりする可能性があり、結果から誤った結論を導き出す可能性がある。

以下のことが推奨されます。

• 信頼区間はデータとともにプロットされるべきであり、そうすることで、プロットの読者は値の統計的不確実性を知ることができる。
• サンプルシーケンスの長さ（つまりサンプル数N ）は、関心のあるτ範囲全体で信頼区間が小さくなるように、できるだけ長く保つ必要があります。
• 自由度値の高い推定器は、アラン分散推定器の代替として、あるいはアラン分散推定器よりも優れた性能を発揮する場合に補完的に使用すべきである。その中でも、全分散推定器とテオ分散推定器を検討すべきである。
• τ ₀乗数nによって掃引されるτの範囲は、 Nに対して上限が制限されているため、グラフの読者は非常に不安定な推定値によって混乱することはありません。

変換定数、バイアス補正、信頼区間の多くは、支配的なノイズの種類に依存します。適切な解釈を行うためには、ノイズ識別によって、対象となる特定のτに対する支配的なノイズの種類を特定する必要があります。支配的なノイズの種類を特定しないと、バイアスのかかった値が得られます。これらのバイアスの中には、数桁にも及ぶものがあり、重大な影響を及ぼす可能性があります。

信号に対する系統的な影響は部分的にしか除去されません。位相オフセットと周波数オフセットは除去されますが、線形ドリフトやその他の高次の多項式位相曲線は除去されないため、測定上の制約となります。曲線フィッティングと系統的オフセットの除去を用いることができます。多くの場合、線形ドリフトの除去だけで十分です。アダマール分散などの線形ドリフト推定器を用いることもできます。モーメントベースの推定器を用いて線形ドリフトを除去することも可能です。

従来の計測器では​​、単一イベントまたはイベントペアの測定しかできませんでした。JJ Snyder ^{[ 10 ]}によるオーバーラップ測定の改良された統計ツールの導入により、周波数読み取りの分解能が大幅に向上し、従来の桁数/時間ベースのバランスが崩れました。このような方法は、本来の目的には有用ですが、このような平滑化された測定値をアラン分散計算に使用すると、分解能が高いという誤った印象を与えます^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]。}しかし、τが長くなると、その影響は徐々に除去され、測定の低いτ領域ではバイアス値が生じます。このバイアスは、本来よりも低い値を提供するため、過度に楽観的な (低い数値が望ましいと仮定した場合) バイアスとなり、測定の有用性を向上させるのではなく低下させます。このような高度なアルゴリズムは、通常、タイムスタンプモードを使用することで無効化または回避できます。タイムスタンプモードが利用可能であれば、そちらの方がはるかに望ましいです。

アラン分散の測定はすべて、実質的に2つの異なるクロックの比較となります。基準クロックと被試験デバイス（DUT）を考えます。どちらも公称周波数は10MHzです 。時間間隔カウンタを使用して、基準クロック（チャネルA）の立ち上がりエッジと被試験デバイスの立ち上がりエッジ間の時間を測定します。

測定間隔を均等にするために、基準クロックを分周して測定レートを生成し、時間間隔カウンタ（ARM入力）をトリガーします。このレートは1Hz  （基準クロックの1PPS 出力を使用）にすることもできますが、 10Hzや 100Hzなどの他のレートも使用できます。時間間隔カウンタが測定を完了し、結果を出力して次のARMの準備を行う速度が、トリガー周波数を制限します。

コンピュータは、観測された一連の時間差を記録するのに役立つ。

記録された時系列データは、位相の重なりを解除して連続的な位相誤差が得られるように後処理が必要です。必要に応じて、記録および測定の誤差も修正する必要があります。ドリフト推定とドリフト除去を実行する必要があり、ドリフト発生源を特定して理解する必要があります。測定におけるドリフトの制限は深刻な場合があるため、発振器を十分な時間電源投入して安定させる必要があります。

アラン分散は、提示された推定値を用いて計算できます。実際的な目的においては、重複推定値は非重複推定値よりもデータ利用効率に優れているため、重複推定値を用いるべきです。バイアス補正を適用してアラン分散と互換性のある結果が得られる場合は、全分散推定値やテオ分散推定値などの他の推定値も使用できます。

古典的なプロットを作成するには、アラン偏差（アラン分散の平方根）を観測間隔τに対して対数-対数形式でプロットします。 

時間間隔カウンタは、一般的に市販の既製品カウンタです。制限要因としては、シングルショット分解能、トリガージッター、測定速度、基準クロックの安定性などが挙げられます。コンピュータによるデータ収集と後処理は、既存の市販ソフトウェアまたはパブリックドメインソフトウェアを使用して行うことができます。測定と計算を1つの機器で行える高度なソリューションも存在します。