修正アラン分散

修正アラン分散 (MVAR) [ ^{2 ]は}mod σ _y ² ( τ )とも呼ばれ、クロック、発振器、増幅器の周波数安定性の測定であるアラン分散の可変帯域幅修正版です。アラン分散に対する主な利点は、白色位相ノイズとフリッカー位相ノイズを分離できることです。 

修正アラン偏差（MDEV）^{[ 2 ]}は、 mod σ _y ( τ )としても知られ、修正アラン分散の偏差バリアントです。 

アラン分散には、白色位相変調（WPM）とフリッカー位相変調（FPM）を分離できないという欠点があります。べき乗則ノイズに対する応答を見ると、WPMとFPMはτに対してほぼ同じ応答を示すことが明確にわかりますが、WPMはシステム帯域幅f _Hに線形的に敏感であるのに対し、FPMはf Hにほとんど依存しません。したがって、システム帯域幅を変化させることで、WPMとFPMのノイズを分離することができます。しかし、測定システムのハードウェアを変更することは現実的ではありません。サンプル系列を後処理し、ソフトウェア帯域幅を実装することで、ノイズを分離できる修正アラン分散尺度が得られます。

修正アラン分散は、時間誤差サンプルを使用して^{[ 3 ]で定義されます。}

$\displaystyle \operatorname {mod} \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0})={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i}\right]^{2}\right\rangle }$

または平均分数周波数時系列とτ = n τ _0の場合

${\displaystyle \operatorname {mod} \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0})={\frac {1}{2}}\left\langle \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}{\bar {y}}_{i+n}-{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right\rangle ,}$

ここで、 nは平均化対象となるサンプルの整数値である。

時間誤差時系列に対する修正アラン分散推定量は以下の通りである。

${\displaystyle \operatorname {mod} \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0})={\frac {1}{2n^{4}\tau _{0}^{2}(N-3n+1)}}\sum _{j=0}^{N-3n}\left\{\sum _{i=j}^{j+n-1}x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i}\right\}^{2}}$

または分数周波数時系列

${\displaystyle \operatorname {mod} \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0})={\frac {1}{2n^{4}(M-3n+2)}}\sum _{j=0}^{M-3n+1}\left\{\sum _{i=j}^{j+n-1}\left(\sum _{k=i}^{i+n-1}y_{k+n}-y_{k}\right)\right\}^{2}}$