アラン分散

アラン分散( AVAR ) は、2 標本分散とも呼ばれ、クロック、発振器、増幅器の周波数安定性の尺度です。これはDavid W. Allanにちなんで名付けられ、数学的には と表されます。アラン偏差( ADEV ) は、シグマタウとも呼ばれ、アラン分散の平方根です。 ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )}$${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )}$

Mサンプル分散は、 Mサンプル、測定間の時間T、観測時間を使用した周波数安定性の尺度です。M サンプル分散は次のように表されます。 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau ).}$

アラン分散は、ノイズ プロセスによる安定性を推定するためのものであり、周波数ドリフトや温度の影響などの系統的エラーや不完全性による安定性を推定するためのものではありません。アラン分散とアラン偏差は周波数の安定性を表します。以下の「値の解釈」セクションも参照してください。

アラン分散にはさまざまな適応や変更があり、特に修正アラン分散MAVAR または MVAR、全分散、アダマール分散が有名です。また、時間偏差(TDEV) や時間分散 (TVAR) などの時間安定性の変種も存在します。アラン分散とその変種は、計時の範囲外で有用であることが証明されており、ノイズ プロセスが無条件に安定していない (したがって導関数が存在する) 場合にいつでも使用できる、改良された統計ツールのセットです。

一般的なMサンプル分散は、測定時にデッドタイムを許容し、バイアス関数によってアラン分散値に変換できるため、依然として重要です。ただし、ほとんどのアプリケーションでは、2 サンプルの特殊なケース、つまり「アラン分散」が最も重要です。 ${\displaystyle T=\tau}$

水晶発振器と原子時計の安定性を調査したところ、白色雑音だけでなく、フリッカー周波数雑音も位相雑音として存在することが判明した。これらの雑音形態は、標準偏差などの従来の統計ツールでは推定値が収束しないため、問題となる。そのため、雑音は発散すると言われる。安定性を分析する初期の取り組みには、理論分析と実際の測定の両方が含まれていた。^{[2] [3]}

こうした種類のノイズが発生することによる重要な副次的な影響は、さまざまな測定方法が互いに一致しなかったため、測定の再現性という重要な側面を達成できなかったことです。これにより、ソースを比較したり、サプライヤーに要求する意味のある仕様を作成したりすることが制限されます。基本的に、科学的および商業的な使用のあらゆる形態は、そのアプリケーションのニーズを捉える専用の測定に限定されていました。

これらの問題に対処するため、デイビッド・アランがMサンプル分散と（間接的に）2 サンプル分散を導入しました。^[4] 2 サンプル分散では、すべての種類のノイズを完全に区別することはできませんでしたが、2 つ以上の発振器間の位相または周波数の測定の時系列で、多くのノイズ形式を意味のある形で区別する手段を提供しました。アランは、共通の 2 サンプル分散を介して任意のMサンプル分散を任意のNサンプル分散に変換する方法を提供し、すべてのMサンプル分散を比較可能にしました。この変換メカニズムにより、 Mサンプル分散は大きなMに対して収束しないことも証明され、あまり役に立ちませんでした。IEEE は後に、2 サンプル分散を推奨される尺度として特定しました。^[5]

初期の懸念は、測定間にデッドタイムがある時間および周波数測定機器に関連していました。このような一連の測定では、信号の連続的な観測は行われず、測定に体系的なバイアスが導入されました。これらのバイアスの推定には細心の注意が払われました。ゼロデッドタイム カウンターの導入により、その必要性はなくなりましたが、バイアス分析ツールは有用であることが証明されました。

初期の懸念事項のもう 1 つは、測定機器の帯域幅が測定にどのような影響を与えるかに関するもので、この点に注意する必要がありました。後に、観測 をアルゴリズム的に変更すると、低い値のみが影響を受け、高い値は影響を受けないことがわかりました。 の変更は、を測定タイムベースの整数倍にすることで行われます。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle \tau =n\tau _{0}.}$

水晶発振器の物理はDB Leeson によって解析され、^[3]、その結果は現在Leeson の方程式と呼ばれています。発振器のフィードバックにより、フィードバック増幅器と水晶のホワイトノイズとフリッカーノイズは、それぞれホワイト周波数ノイズとフリッカー周波数ノイズのべき乗ノイズになります。これらのノイズ形式は、時間誤差サンプルを処理するときに標準分散推定器が収束しないという影響を及ぼします。フィードバック発振器のこのメカニズムは、発振器の安定性に関する研究が始まったときには知られていませんでしたが、 David W. Allanによって統計ツールのセットが利用可能になったのと同時に Leeson によって発表されました。Leeson 効果のより詳細な説明については、現代の位相ノイズの文献を参照してください。^[6]${\displaystyle f^{-2}}$${\displaystyle f^{-3}}$

アラン分散は、サンプリング期間にわたってサンプリングされた周波数偏差の連続的な読み取り値の差の二乗の時間平均の半分として定義されます。アラン分散は、サンプル間で使用される時間期間に依存するため、サンプル期間 (一般にτと表記) の関数であり、測定される分布も同様で、単一の数値ではなくグラフとして表示されます。アラン分散が低いということは、測定期間にわたって安定性が良好なクロックの特性です。

アラン偏差は、プロット（通常はlog-log形式）や数値の表示に広く使用されています。相対的な振幅の安定性を示し、他のエラーの原因との比較が容易になるため、好まれています。

観測時間 1 秒 (つまりτ = 1 秒) でのアラン偏差が 1.3 × 10 ^{−9の場合、相対}二乗平均平方根(RMS) 値が 1.3 × 10 ⁻⁹で、1 秒間隔の 2 つの観測値間の周波数が不安定であると解釈されます。10 MHz クロックの場合、これは 13 mHz RMS の動きに相当します。発振器の位相安定性が必要な場合は、時間偏差のバリエーションを参照して使用する必要があります。

アラン分散やその他の時間領域分散を、時間（位相）と周波数の安定性の周波数領域測定値に変換することができます。^[7]

時系列 が与えられた場合、任意の正の実数 に対して、実数列 を定義します。すると、 -サンプル分散は、列 のベッセル補正分散として定義されます^[4] (ここでは現代化された表記形式) 。記号の解釈は次のとおりです。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T,\tau }$$${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\quad i=0,1,2,...}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\bar {y}}_{0},...,{\bar {y}}_{M-1}}$$${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {M}{M-1}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right),}$$

• ${\displaystyle t}$基準クロックの読み取り値（任意の単位）です。
• ${\displaystyle x(t)}$は、基準クロックの読み取り値の関数として、テストしているクロックの読み取り値（任意の単位）です。平均分数周波数時系列として解釈することもできます。
• ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$は観測時間にわたるn番目の分数頻度平均です。${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle M}$は、サンプル分散を計算する際に使用されるクロック読み取り間隔の数です。${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle T}$各周波数サンプル間の時間です。
• ${\displaystyle \tau }$各周波数推定の時間の長さ、つまり観測期間です。

デッドタイムは、の時間と異なる時間にすることで説明できます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau }$

アラン分散は次のように定義される。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle }$

ここで、期待値演算子を表します。 ${\displaystyle \langle \dotsm \rangle }$

この条件は、サンプル間にデッドタイムなしでサンプルが取得されることを意味します。 ${\textstyle T=\tau }$

標準偏差や分散と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義されます。

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.}$

分析対象となる発振器は、以下の基本モデルに従うものと仮定する。

${\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).}$

発振器の公称周波数は（サイクル/秒（SI単位：ヘルツ））であると仮定します。公称角周波数（ラジアン/秒）は次のように表されます。 ${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.}$

全体の位相は、完全に周期的な成分と変動する成分に分けることができます。 ${\displaystyle \omega _{\text{n}}t}$${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).}$

時間誤差関数x ( t ) は、予想される公称時間と実際の通常時間の差です。

${\displaystyle x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.}$

測定値に対して、時間誤差系列TE( t )は基準時間関数_Tref ( t )から次のように 定義される。

${\displaystyle TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).}$

頻度関数は時間経過に伴う頻度であり、次のように定義される。 ${\displaystyle \nu (t)}$

${\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.}$

部分周波数y ( t )は、周波数と公称周波数の正規化された差です。 ${\displaystyle \nu (t)}$${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

平均分数周波数は次のように定義される。

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

ここで、平均は観測時間τにわたって取られ、y ( t ) は時刻tにおける分数周波数誤差、τ は観測時間です。

y ( t ) はx ( t )の微分なので、一般性を失うことなく次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.}$

この定義は、無限の時間にわたって積分した統計的期待値に基づいています。現実世界の状況では、このような時系列は許可されません。その場合は、代わりに統計的推定量を使用する必要があります。さまざまな推定量を紹介し、説明します。

最初の簡単な推定法は、定義を直接次のように翻訳することです。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,M)=\operatorname {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

または時系列の場合:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,N)=\operatorname {AVAR} (\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

ただし、これらの式はτ = τ _{0 の場合の計算のみを提供します。} τの異なる値を計算するには、新しい時系列を提供する必要があります。

時系列を取り、n  − 1 個のサンプルをスキップすると、隣接するサンプル間の時間としてτ _{0を持つ新しい（より短い）時系列が発生し、そのアラン分散は単純な推定量で計算できます。これらを修正して新しい変数}n を導入すると、新しい時系列を生成する必要がなくなり、元の時系列をさまざまなnの値で再利用できます。推定量は次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}}$

と、 ${\displaystyle n\leq {\frac {M-1}{2}}}$

時系列については次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}}$

と。 ${\displaystyle n\leq {\frac {N-1}{2}}}$

これらの推定器には、利用可能なサンプルの 1/ nのみが使用されるため、大量のサンプル データが失われるという重大な欠点があります。

^{JJ Snyder [8]}が発表した手法では、測定値が元の系列からn個の重複系列に重複されるという改良されたツールが提供されました。重複アラン分散推定量は、Howe、Allan、Barnes ^{[9]によって導入されました。これは、処理前に}n個のサンプルのブロックで時間または正規化された周波数サンプルを平均化するのと同等であることが示されています。結果として得られる予測子は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{aligned}}}$

または時系列の場合:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.}$

nが増加し、時系列の長さが中程度になると、重複推定量は非重複推定量よりもはるかに優れたパフォーマンスを発揮します。重複推定量は、通信資格に必要な比較測定のためのIEEE、 ^[5]、 ITU-T ^[10]、およびETSI ^[11]標準で推奨されるアラン分散推定量として受け入れられています。

従来のアラン分散推定器を使用して白色位相変調とフリッカー位相変調を分離できないという問題に対処するために、アルゴリズムによるフィルタリングによって帯域幅がnだけ削減されます。このフィルタリングによって定義と推定器が変更され、修正アラン分散と呼ばれる別の分散クラスとして識別されるようになりました。修正アラン分散の尺度は、アラン分散と同様に周波数安定性の尺度です。

時間安定性 (σ _x ) の統計的尺度は、時間偏差 (TDEV) とも呼ばれ、修正アラン偏差 (MDEV) から計算できます。TDEV は、元のアラン偏差ではなく MDEV に基づいています。これは、MDEV が白色とフリッカー位相変調 (PM) を区別できるためです。以下は、修正アラン分散に基づく時間分散の推定値です。

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),}$

同様に、修正アラン偏差から時間偏差までは次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).}$

TDEV は、時定数τ =  τ ₀の白色 PM の従来の偏差と等しくなるように正規化されます。統計的尺度間の正規化スケール係数を理解するために、関連する統計ルールを以下に示します。独立したランダム変数XとYの場合、和または差 ( z = x − y ) の分散 (σ _z ² )は、それらの分散の二乗和です (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ^{2 )。ランダム変数の 2 つの独立したサンプルの和または差 (} y = x _{2 τ} − x _τ )の分散は、ランダム変数の分散の 2 倍です (σ _y ² = 2σ _x ² )。MDEV は、分散 (σ _x ^{2 ) を持つ独立した位相測定値 (} x )の 2 番目の差です。計算は二重差分であり、3 つの独立した位相測定 ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x ) を必要とするため、修正アラン分散 (MVAR) は位相測定の分散の 3 倍になります。

さらなる開発により、同じ安定性の尺度である周波数の分散/偏差の推定方法が改善されましたが、これらはアダマール分散、修正アダマール分散、総分散、修正総分散、テオ分散など、別の名前で知られています。これらは、統計をより有効に活用して信頼限界を改善したり、線形周波数ドリフトを処理できる点で際立っています。

統計的推定量は、使用されるサンプル系列の推定値を計算します。推定値は真の値から逸脱することがあり、ある確率で真の値を含む値の範囲は信頼区間と呼ばれます。信頼区間は、サンプル系列内の観測値の数、主要なノイズの種類、および使用される推定量によって異なります。幅は、信頼区間の値が制限された範囲を形成する統計的確実性、つまり真の値がその値の範囲内にあるという統計的確実性にも依存します。変数τ推定量の場合、τ _{0 の}倍数nも変数です。

信頼区間は、標本分散の分布を用いてカイ二乗分布で確立することができる：^{[5] [9]}

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},}$

ここで、s ²は推定値の標本分散、σ ²は真の分散値、df は推定値の自由度、χ ^{2 は}特定の確率の自由度です。確率曲線の 5% から 95% の範囲をカバーする 90% の確率の場合、上限と下限は次の不等式を使用して見つけることができます。

${\displaystyle \chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),}$

これを真の分散に再配置すると、

${\displaystyle {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.}$

自由度は推定に寄与できる自由変数の数を表す。推定量とノイズの種類に応じて、有効な自由度は変化する。Nとnに依存する推定量の式は経験的に発見されている：^[9]

アラン分散は、さまざまなべき乗法則ノイズタイプを別々に処理し、それらを識別してその強度を推定できるようにします。慣例的に、測定システムの幅 (高コーナー周波数) はf _Hで示されます。

^{[12] [13]}や現代の形で見られるように。 ^{[14] [15]}

アラン分散では WPM と FPM を区別できませんが、他のべき乗法則ノイズの種類を分解できます。WPM と FPM を区別するには、修正アラン分散を使用する必要があります。

上記の式は、

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$

したがって、観測時間の帯域幅は機器の帯域幅よりもはるかに低くなります。この条件が満たされない場合、すべてのノイズ形式は機器の帯域幅に依存します。

位相変調の詳細なマッピングは次のようになる。

${\displaystyle S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },}$

どこ

${\displaystyle \beta \equiv \alpha -2,}$

または周波数変調の形式

${\displaystyle S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }}$

形式のアラン分散に

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }}$

αとμの間のマッピングを与えることで大幅に簡素化することができる。αとKαの間のマッピングも便宜上示されている：_[ ^5]

^{rad 2} /Hz単位のスペクトル位相ノイズを持つ信号は、^[15]によってアラン分散に変換できる。${\displaystyle S_{\varphi }}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.}$

アラン分散はノイズ形式を区別するために使用されることを目的としていますが、時間に対する線形応答の一部（すべてではありません）に依存します。それらは表に示されています。

したがって、線形ドリフトは出力結果に寄与することになる。実際のシステムを測定する場合、アラン分散を計算する前に線形ドリフトやその他のドリフトメカニズムを推定し、時系列から除去する必要があるかもしれない。^[14]

アラン分散とその仲間の特性を分析する際には、正規化周波数のフィルタ特性を考慮することが有用であることが証明されている。アラン分散の定義から始めると、

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i}\right)^{2}\right\rangle ,}$

どこ

${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(i\tau +t)\,dt.}$

時系列をフーリエ変換したものに置き換えると、アラン分散は周波数領域で次のように表すことができます。 ${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle S_{y}(f)}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\int _{0}^{\infty }S_{y}(f){\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}\,df.}$

したがって、アラン分散の伝達関数は

${\displaystyle \left\vert H_{A}(f)\right\vert ^{2}={\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}.}$

Mサンプル分散と定義された特別なケースのアラン分散は、サンプル数Mの違いやTとτの関係の違いに応じて系統的なバイアスが発生します_。これらのバイアスに対処するために、バイアス関数B1とB2_が定義されており^[16]、異なるM値とT値間の変換が可能です。

これらのバイアス関数は、測定の最後ではなくM個の測定ブロック間にデッドタイムを分散させてMT _{0にわたって}Mτ ₀観測時間にMサンプルを連結することによって生じるバイアスを処理するには不十分である。このため、 B ₃バイアスが必要となった。^[17]

バイアス関数は特定のμ値に対して評価されるため、ノイズ識別を使用して見つかった支配的なノイズ形式に対してα-μマッピングを行う必要があります。あるいは、^{[4] [16]}バイアス関数を使用して測定値から支配的なノイズ形式のμ値を推測することもできます。

B ₁バイアス関数は、測定間隔Tと各測定の時間τを一定に保ちながら、Mサンプル分散と2サンプル分散（アラン分散）を関連付けます。[ 16 ]で次^のように 定義されます。

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},}$

どこ

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

バイアス関数は分析後に

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.}$

B ₂バイアス関数は、サンプル数N = 2と観測時間τを一定に保ちながら、サンプル時間Tの2サンプル分散と2サンプル分散（アラン分散）を関連付けます。 [ 16 ]で次^のように 定義されます。

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},}$

どこ

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

バイアス関数は分析後に

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.}$

B _{3バイアス関数は、サンプル時間}MT ₀と観測時間Mτ ₀の2サンプル分散と2サンプル分散（アラン分散）を関連付け、次のように 定義されます^[17]。

${\displaystyle B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

どこ

${\displaystyle T=MT_{0},}$

${\displaystyle \tau =M\tau _{0}.}$

B ₃バイアス関数は、観測時間τ ₀と観測間の時間T ₀のデッドタイム測定に基づいて、重複しない変数τ 推定値と重複する変数 τ推定値を通常のデッドタイム推定値に調整するのに役立ちます。

バイアス関数は解析後、次のようになる（N  = 2の場合）

${\displaystyle B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},}$

どこ

${\displaystyle F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.}$

正式には定式化されていないが、 α – μマッピングの結果として間接的に推測されている。異なるτに対する2つのアラン分散尺度を比較する場合、同じ μ 係数の形で同じ支配的なノイズを仮定すると、バイアスは次のように定義できる 。

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.}$

バイアス関数は分析後に

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.}$

ある測定セットから別の測定セットに変換するには、B ₁、B ₂ 、および τ バイアス関数を組み立てることができます。まず、B ₁関数は ( N ₁、  T ₁、  τ ₁ ) 値を (2、  T ₁、  τ ₁ ) に変換し、そこからB ₂関数は (2、  τ ₁、  τ _{1 ) 値に変換し、} τ ₁でのアラン分散に変換します。アラン分散測定値は、 τ _1からτ ₂へのτ バイアス関数を使用して変換でき、そこから B _{2を使用して (2、} T ₂、  τ ₂ ) に変換し、最後にB _{1 を使用して (} N ₂、  T ₂、  τ ₂ ) 分散に変換します。完全な変換は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,}$

どこ

${\displaystyle r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.}$

同様に、 Mセクションを使用した連結測定の場合、論理拡張は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

アラン分散またはアラン偏差を計算するために測定を行う際、いくつかの問題により測定値が劣化する可能性があります。ここでは、結果に偏りが生じる可能性があるアラン分散に特有の影響について説明します。

シャノン・ハートレーの定理で説明されているように、測定システムはナイキストレート以下の帯域幅を持つことが期待されます。べき乗法則ノイズの式からわかるように、ホワイトノイズとフリッカーノイズの変調は両方とも上側コーナー周波数に依存します（これらのシステムはローパスフィルターのみでフィルタリングされていると想定されます）。周波数フィルターの特性を考慮すると、低周波ノイズが結果に大きな影響を与えることがはっきりとわかります。比較的平坦な位相変調ノイズタイプ（WPMやFPMなど）の場合、フィルタリングは重要ですが、傾斜の大きいノイズタイプの場合、上限周波数はそれほど重要ではなくなります。これは、測定システムの帯域幅が次のように 相対的に広いと仮定した場合です。${\displaystyle f_{H}}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}}.}$

この仮定が満たされない場合は、実効帯域幅を測定値とともに表記する必要があります。興味のある方はNBS TN394を参照してください。^[12]${\displaystyle f_{H}}$

しかし、サンプル時間の整数倍を使用して推定器の帯域幅を調整すると、システム帯域幅への影響を無視できるレベルにまで減らすことができます。通信のニーズでは、測定値の比較可能性を確保し、ベンダーが異なる実装を行う自由度を確保するために、このような方法が必要でした。TDEV測定については、 ITU-T勧告G.813 ^{[18]を参照してください。}${\displaystyle n\tau _{0}}$

検出されたノイズの大部分が測定システムの帯域幅の通過帯域内に収まるように、 最初の倍数は無視することをお勧めします。${\displaystyle \tau _{0}}$

アラン分散のさらなる開発により、ハードウェア帯域幅をソフトウェア手段で削減できるようになりました。このソフトウェア帯域幅の開発により、残留ノイズに対処できるようになり、この方法は現在、修正アラン分散と呼ばれています。この帯域幅削減手法は、平滑化フィルターの帯域幅も変更する 修正アラン分散の拡張版と混同しないでください。

時間と周波数の測定機器の多くには、アーミング時間、タイムベース時間、処理時間という段階があり、その後、アーミングを再トリガーする場合があります。アーミング時間は、アーミングがトリガーされた時間から、開始チャネルで開始イベントが発生するまでの時間です。タイムベースは、停止チャネルのイベントを停止イベントとして受け入れるまでの時間が最小限であることを保証します。開始イベントと停止イベント間のイベント数と経過時間は、処理時間中に記録され、表示されます。処理が発生すると (滞留時間とも呼ばれます)、機器は通常、別の測定を行うことができません。処理が発生した後、連続モードの機器はアーム回路を再びトリガーします。停止イベントと次の開始イベント間の時間は、信号が観測されないデッドタイムになります。このようなデッドタイムは、体系的な測定バイアスを導入するため、適切な結果を得るためには補正する必要があります。このような測定システムでは、時間T は隣接する開始イベント (つまり測定) 間の時間を示し、時間ベースの長さ、つまり測定の開始イベントと停止イベント間の公称長さを示します。 ${\displaystyle \tau }$

測定におけるデッドタイム効果は、生成される結果に大きな影響を与えるため、その特性を適切に定量化するために、この分野の多くの研究が行われてきました。ゼロデッドタイム カウンターの導入により、この分析は不要になりました。ゼロデッドタイム カウンターには、1 つの測定の停止イベントが次のイベントの開始イベントとしても使用されるという特性があります。このようなカウンターは、時間ベースで区切られた各チャネルに 1 つずつ、一連​​のイベントと時間タイムスタンプのペアを作成します。このような測定は、時系列分析の順序付けにも役立つことが証明されています。

デッドタイムを伴う測定は、バイアス関数B ₁、B _{2 、}およびB _{3 を}使用して補正できます。したがって、デッドタイム自体はアラン分散へのアクセスを妨げるものではありませんが、より問題を生じさせます。デッドタイムは、サンプル間の時間Tを確立できるように、知っておく必要があります。

サンプル系列の長さNが信頼区間に与える影響と、変数τパラメータn の影響を調べると、支配的なノイズ形式 (そのτの場合) のNとnの組み合わせによっては有効自由度が小さくなる可能性があるため、信頼区間が非常に大きくなる可能性があります。

その結果、推定値が実際の値よりもはるかに小さくなったり大きくなったりする可能性があり、結果について誤った結論に至る可能性があります。

次のことが推奨されます:

• 信頼区間はデータとともにプロットされ、プロットの読者は値の統計的不確実性を知ることができます。
• サンプルシーケンスの長さ（つまり、サンプル数N ）は、対象のτ範囲にわたって信頼区間が小さくなるように、可能な限り長く保つ必要があります。
• より優れた自由度値を提供する推定量は、アラン分散推定量の代わりとして、またはアラン分散推定量よりも優れている場合は補完として使用できます。その中でも、全分散推定量とテオ分散推定量を検討する必要があります。
• τ ₀乗数nによって掃引されるτ の範囲は、 Nに対する上限に制限されるため、プロットの読者は、非常に不安定な推定値によって混乱することはありません。

変換定数、バイアス補正、信頼区間の多くは、主要なノイズの種類によって異なります。適切な解釈を行うには、ノイズ識別を通じて、特定の対象τの主要なノイズの種類を特定する必要があります。主要なノイズの種類を特定しないと、バイアスのかかった値が生成されます。これらのバイアスの一部は数桁の大きさになる場合があり、大きな意味を持つ可能性があります。

信号に対する体系的な影響は部分的にしかキャンセルされません。位相と周波数のオフセットはキャンセルされますが、線形ドリフトまたは他の高次多項式位相曲線はキャンセルされないため、測定の制限となります。曲線のフィッティングと体系的なオフセットの除去を使用できます。多くの場合、線形ドリフトの除去で十分です。アダマール分散などの線形ドリフト推定器を使用することもできます。線形ドリフトの除去は、モーメントベースの推定器を使用して行うことができます。

従来の計測器では​​、単一のイベントまたはイベントのペアしか測定できませんでした。JJ Snyder ^[8]による重複測定の改良統計ツールの導入により、周波数読み出しの分解能が大幅に向上し、従来の数字/時間ベースのバランスが崩れました。このような方法は本来の目的には役立ちますが、アラン分散の計算にこのような平滑化された測定値を使用すると、高解像度であるという誤った印象を与えてしまいます^{[19] [20] [21]。しかし、} τ が長くなると、その効果は徐々になくなり、測定値の低τ領域では値が偏ります。この偏りは本来よりも低い値を提供するため、過度に楽観的な偏り (低い数値が望ましいと仮定した場合) となり、測定の有用性は向上するどころか低下します。このようなスマート アルゴリズムは通常、タイムスタンプ モードを使用して無効にするか、回避することができます。タイムスタンプ モードは、使用可能な場合は非常に推奨されます。

アラン分散の測定にはいくつかのアプローチが考えられますが、簡単な例で測定の実行方法を説明します。

アラン分散の測定はすべて、実質的には 2 つの異なるクロックの比較になります。基準クロックとテスト対象デバイス (DUT) があり、どちらも公称周波数が 10 MHz であるとします。時間間隔カウンタは、基準 (チャネル A) の立ち上がりエッジとテスト対象デバイスの立ち上がりエッジの間の時間を測定するために使用されています。

均等間隔の測定を行うために、基準クロックを分割して測定レートを形成し、時間間隔カウンター (ARM 入力) をトリガーします。このレートは 1 Hz (基準クロックの1 PPS出力を使用) にすることができますが、10 Hz や 100 Hz などの他のレートも使用できます。時間間隔カウンターが測定を完了し、結果を出力して次の ARM に備える速度によって、トリガー周波数が制限されます。

コンピュータは、観測される一連の時間差を記録するのに役立ちます。

記録された時系列は、ラップされた位相をアンラップするための後処理を必要とし、連続位相エラーが提供されます。必要に応じて、ログ記録と測定の誤りも修正する必要があります。ドリフト推定とドリフト除去を実行する必要があり、ドリフトのメカニズムを特定してソースについて理解する必要があります。測定におけるドリフトの制限は厳しい場合があるため、十分な時間電源をオンにして発振器を安定させる必要があります。

アラン分散は、与えられた推定値を使用して計算できますが、実用上は、重複しない推定値よりもデータの使用が優れているため、重複推定値を使用する必要があります。バイアス補正を適用してアラン分散と互換性のある結果が得られる場合は、合計またはテオ分散推定値などの他の推定値も使用できます。

古典的なプロットを形成するには、アラン偏差（アラン分散の平方根）を観測間隔 τに対して log-log 形式でプロットします。

時間間隔カウンタは、通常、市販の既製カウンタです。制限要因には、シングルショット解像度、トリガー ジッタ、測定速度、および基準クロックの安定性が含まれます。コンピュータによる収集と後処理は、既存の商用ソフトウェアまたはパブリック ドメイン ソフトウェアを使用して実行できます。測定と計算を 1 つのボックスで提供する高度なソリューションが存在します。

周波数安定性の分野は長い間研究されてきましたが、1960年代に一貫した定義が欠けていることが判明しました。1964年11月に開催されたNASA-IEEE短期安定性シンポジウム^[22]の結果、1966年2月にIEEE周波数安定性に関する特別号が発行されました。

NASA-IEEE シンポジウムでは、さまざまな分野と短期および長期安定性の用途が一堂に会し、さまざまな寄稿者による論文が発表されました。論文とパネルディスカッションでは、周波数フリッカーノイズの存在と、短期および長期安定性の両方に対する共通の定義を達成したいという要望について意見が一致しました。

David Allan ^[4]、James A. Barnes ^[23]、 LS CutlerとCL Searle ^[2]、DB Leeson ^[3]などの重要な論文がIEEE Proceedings on Frequency Stabilityに掲載され、この分野の形成に貢献しました。

David Allan の論文は、古典的なMサンプルの周波数分散を分析し、初期バイアス関数とともに測定間のデッドタイムの​​問題に取り組んでいます。^[4] Allan の初期バイアス関数はデッドタイムを想定していませんが、彼の式にはデッドタイムの​​計算が含まれています。彼の論文は、M 個の周波数サンプル (論文では N と呼ばれています) と分散推定値のケースを分析しています。それは現在標準となっている α–μ マッピングを提供しており、明らかに同じ号の James Barnes の研究^{[23]に基づいています。}

2 サンプル分散のケースは、頻度導関数の平均を生成するMサンプル分散の特殊なケースです。Allan は、2 サンプル分散を基本ケースとして暗黙的に使用しています。これは、任意に選択されたMについて、値が 2 サンプル分散を介してMサンプル分散に転送される可能性があるためです。ツールが提供されていたとしても、2 サンプル分散が優先されることは明確に述べられていません。ただし、この記事は、2 サンプル分散を他のMサンプル分散を比較する方法として使用するための基礎を築きました。

ジェームズ・バーンズはバイアス関数に関する研究を大幅に拡張し、^[16]現代のB ₁およびB ₂バイアス関数を導入しました。興味深いことに、この関数はMサンプル分散を「アラン分散」と呼んでいますが、これはアランの論文「原子周波数標準の統計」を参照しています。^[4]これらの現代のバイアス関数を使用すると、 2 サンプル分散を介した変換によって、さまざまなM、T、およびτ値のMサンプル分散尺度間の完全な変換を実行できます。

ジェームズ・バーンズとデビッド・アランは、バイアス関数をB3関数^{[17]でさらに拡張し、連結サンプル推定値のバイアスを扱えるように}_した。これは、間にデッドタイムがある連結サンプル観測の新しい使用法を扱うために必要だった。

1970年に、IEEE計測・測定グループ内の周波数と時間に関するIEEE技術委員会は、この分野の概要を提供し、NBS技術通知394として出版しました。^[12]この論文は、同僚のエンジニアがこの分野を理解するのに役立つ、より教育的で実用的な一連の論文の最初のものでした。この論文では、T = τの2サンプル分散を推奨し、これをアラン分散（現在は引用符なし）と呼んでいます。このようなパラメーター化を選択すると、いくつかのノイズ形式を適切に処理し、比較可能な測定値を取得できます。これは、バイアス関数B ₁とB ₂の助けを借りた本質的に最小公分母です。

JJ Snyderは、頻度カウンターのサンプル統計量を使用して、頻度または分散を推定する改良法を提案しました。^[8]利用可能なデータセットからより効果的な自由度を引き出すには、重複する観測期間を使用することです。これにより√nの改善が得られ、重複アラン分散推定量に組み込まれました。^[9]可変τソフトウェア処理も組み込まれました。^{[9]この開発により、古典的なアラン分散推定量が改善され、同様に}修正アラン分散に関する研究に直接的なインスピレーションを与えました。

ハウ、アラン、バーンズは信頼区間、自由度、確立された推定値の分析を提示した。^[9]

時間と周波数の分野、およびアラン分散、アラン偏差などの使用は、多くの側面を含む分野であり、概念の理解と実際の測定および後処理の両方に注意と理解が必要です。したがって、約 40 年分の教育資料が利用可能です。これらは当時の研究の発展を反映しているため、時間の経過とともにさまざまな側面を教えることに重点を置いています。その場合、利用可能なリソースの調査は、適切なリソースを見つけるのに適した方法である可能性があります。

最初の意味のある要約は、NBS 技術ノート 394「周波数安定性の特性評価」です。^[12]これは、IEEE 計測機器グループの周波数と時間に関する技術委員会の成果です。この要約では、この分野の最初の概要が示され、問題点が述べられ、基本的なサポート定義が定義され、アラン分散、バイアス関数B ₁とB ₂、時間領域測定の変換が取り上げられています。これは、5 つの基本的なノイズ タイプのアラン分散を表にした最初の参考文献の 1 つであるため、有用です。

古典的な参考文献としては、1974年のNBSモノグラフ140 ^[24]があり、その第8章には「時間と周波数データ分析の統計」が掲載されています。^[25]これはNBS技術ノート394の拡張版であり、測定技術と値の実用的な処理が本質的に追加されています。

重要な追加事項は、信号源と測定方法の特性です。^[9]データの有効利用、信頼区間、有効自由度について説明されており、重複アラン分散推定量も紹介しています。これらのトピックについて読むのに非常にお勧めです。

IEEE規格1139「基本周波数および時間計測のための物理量の標準定義」^[5]は、規格の枠を超え、包括的な参考資料および教育リソースです。

電気通信をテーマとした最近の書籍としては、ステファノ・ブレニの「デジタル電気通信ネットワークの同期」があります。^[14]この本は、この分野だけでなく、その時点までの彼のこの分野における研究の多くを要約しています。この本は、古典的な尺度と、MTIE などの電気通信特有の尺度の両方を網羅することを目指しています。電気通信規格に関連する測定を調べるときに便利な参考書です。

NIST 特別刊行物 1065「周波数安定性解析ハンドブック」WJ Riley ^[15]は、この分野を追求したい人にお勧めの書籍です。参考文献が豊富で、現代のアナリストが利用できる幅広い測定、バイアス、関連機能もカバーしています。さらに、現代のツールに必要な全体的な処理についても説明しています。

アラン分散は、水晶発振器、原子時計、周波数安定化レーザーなど、さまざまな高精度発振器における1秒以上の期間にわたる周波数安定性の尺度として使用されます。短期安定性（1秒未満）は通常、位相ノイズとして表されます。アラン分散は、光ファイバージャイロスコープ、半球形共振器ジャイロスコープ、MEMSジャイロスコープ、加速度計などのジャイロスコープのバイアス安定性を特徴付けるためにも使用されます。^{[26] [27]}

2016年、IEEE-UFFCは「アラン・バリアンス（1966-2016）50周年記念特別号」を出版する予定です。^[28]その号のゲスト編集者は、デイビッドのNISTでの元同僚であり、 IIラビ賞の最新の受賞者であるジュダ・レヴィンです。

• UFFC周波数制御教育リソース
• NIST 出版物検索ツール
• David W. Allan の Allan Variance の概要
• デビッド・W・アランの公式ウェブサイト
• JPL 出版物 – ノイズ分析と統計
• ウィリアム・ライリーの出版物
• Stable32、周波数安定性解析ソフトウェア、William Riley 著
• ステファノ・ブレニの出版物
• エンリコ・ルビオラの出版物
• Allanvar: Allan 分散を用いたセンサー誤差特性評価のための R パッケージ
• レポートツールを備えた Alavar Windows ソフトウェア。フリーウェア
• AllanTools アラン分散用のオープンソース Python ライブラリ
• MATLAB AVAR オープンソース MATLAB アプリケーション