バリオグラム

バリオグラムは、データ点のペア間の空間的依存性をグラフで表したもので、地統計学や空間統計学でよく用いられます。この用語はセミバリオグラムと同義語として使われることもありますが、後者はバリオグラムの半分を指すために使われることもあるため、避けるべきです。^{[ 1 ]}同様に、セミバリアンスという用語も誤解を招く可能性があります。バリオグラムに表示される値は、特定の空間的分離（ラグ）における観測値の分散全体を表すからです。^{[ 1 ]}

バリオグラムは、観測された現象の時間的・空間的相関のモデルを当てはめるために使用されるため、地質統計学における重要な関数です。したがって、空間的・時間的相関の可能性を視覚化した実験バリオグラムと、クリギング関数の重みを定義するためにさらに使用されるバリオグラムモデルを区別する必要があります。実験バリオグラムはガウス過程の共分散の経験的推定値であることに注意してください。そのため、正定値ではない可能性があり、制約や追加処理なしではクリギングに直接使用することはできません。これが、使用されるバリオグラムモデルが限られている理由です。最も一般的なのは、線形、球面、ガウス、指数モデルです。

例えば、金採掘において、バリオグラムは、採掘地域から採取した2つのサンプルの金含有率が、サンプル間の距離に応じてどの程度異なるかを示す指標となる。互いに離れた場所で採取したサンプルは、近い場所で採取したサンプルよりも金含有率のばらつきが大きくなる。

セミバリオグラム${\displaystyle \gamma (h)}$これは、Matheron (1963) によって、関数と、距離だけ離れた関数の平行移動コピーとの間の平均二乗差の半分として初めて定義されました。${\displaystyle h}$[ ^{2 ] [ 3 ]}正式^に

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dM,}$

どこ${\displaystyle M}$は幾何学的場における点である${\displaystyle V}$、 そして${\displaystyle f(M)}$は、その点における値です。三重積分は3次元で行われます。${\displaystyle h}$は、関心のある分離距離（メートルまたはキロメートルなど）です。たとえば、値は${\displaystyle f(M)}$ある場所の土壌中の鉄分含有量を表す可能性がある${\displaystyle M}$（緯度、経度、標高の地理座標付き）ある地域${\displaystyle V}$体積要素を含む${\displaystyle dV}$与えられたセミバリオグラムを取得するには${\displaystyle \gamma (h)}$そうすれば、その正確な距離にあるすべての点のペアがサンプリングされることになる。実際には、あらゆる場所をサンプリングすることは不可能なので、代わりに経験的バリオグラムが用いられる。

バリオグラムはセミバリオグラムの2倍であり、2つの場所のフィールド値の差の分散として別の方法で定義できます（${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$表記法の変更に注意してください${\displaystyle M}$に${\displaystyle \mathbf {s} }$そして${\displaystyle f}$に${\displaystyle Z}$）フィールドの実現例全体にわたって（Cressie 1993）：

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))-E[Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})])^{2}\right].}$

空間ランダム場が一定の平均値を持つ場合${\displaystyle \mu }$これは、場所間の値の二乗増加の期待値に相当します。${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$そして${\displaystyle s_{2}}$（ワッカーナーゲル 2003）（${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$空間上の点であり、場合によっては時間上の点でもある）：

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].}$

定常過程の場合、バリオグラムとセミバリオグラムは関数として表すことができる。${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)}$差額${\displaystyle h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}}$場所間のみで、以下の関係によって成り立つ（Cressie 1993）。

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}).}$

さらに、プロセスが等方的である場合、バリオグラムとセミバリオグラムは関数で表すことができる。${\displaystyle \gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})}$距離の ${\displaystyle h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|}$（クレッシー 1993）：

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{i}(h).}$

インデックス${\displaystyle i}$または${\displaystyle s}$通常は表記されません。これらの用語は、関数の 3 つの形式すべてに使用されます。さらに、「バリオグラム」という用語は、セミバリオグラムを表すために使用されることもあり、記号は${\displaystyle \gamma }$はバリオグラムに使用されることがあり、混乱を招くことがある。^{[ 4 ]}

（Cressie 1993、Chiles and Delfiner 1999、Wackernagel 2003）によると、理論的なバリオグラムは以下の特性を持つ。

• セミバリオグラムは非負である${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0}$なぜなら、それは正方形の期待値だからである。
• セミバリオグラム${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$距離0では常に0です。${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0}$。
• 関数がセミバリオグラムであるのは、それが条件付き負定値関数である場合、すなわちすべての重みに対して${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{N}}$対象${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=0}$および場所${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{N}}$それは以下を主張する：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j})w_{j}\leq 0,}$

これは分散が${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$の${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$これは、この二重和の負の値によって与えられ、非負でなければならない。

• 定常過程の共分散関数Cが存在する場合、それはバリオグラムと次の関係にある。

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})+C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• 定常過程の分散Vと相関関数cが存在する場合、それらはセミバリオグラムと次のように関連付けられる。

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=V(1-c(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2}))}$

• 逆に、定常過程の共分散関数C は、セミバリオグラムと分散から次のように得ることができます。

${\displaystyle C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=V-\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• 定常ランダム場が空間依存性を持たない場合（つまり${\displaystyle C(h)=0}$もし${\displaystyle h\not =0}$) セミバリオグラムは定数です${\displaystyle \operatorname {var} (Z(\mathbf {s} ))}$原点以外では、その値はゼロである。
• セミバリオグラムは対称関数であり、${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$。
• したがって、等方性セミバリオグラムは偶関数である。${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)}$。
• ランダム場が定常かつエルゴード的である場合、${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=\operatorname {var} (Z(\mathbf {s} ))}$これは場の分散に対応します。距離が増加するにつれてセミバリオグラムの限界は、シルとも呼ばれます。
• その結果、セミバリオグラムは原点においてのみ不連続となる可能性がある。原点におけるジャンプの高さは、ナゲットまたはナゲット効果と呼ばれることがある。

一般的に、測定データには経験的バリオグラムが必要です。サンプル情報${\displaystyle Z}$すべての場所で利用できるわけではありません。サンプル情報の例としては、土壌サンプル中の鉄の濃度やカメラのピクセル強度などがあります。各サンプル情報には座標があります。${\displaystyle \mathbf {s} =(x,y)}$2Dサンプル空間の場合${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は地理座標です。土壌中の鉄の場合、サンプル空間は3次元になる可能性があります。時間的変動もある場合（例：湖のリン含有量）は、${\displaystyle \mathbf {s} }$4次元ベクトルである可能性がある${\displaystyle (x,y,z,t)}$次元の単位が異なる場合（例えば、距離と時間）には、スケーリング係数${\displaystyle B}$それぞれに適用して修正ユークリッド距離を取得できます。^{[ 5 ]}

サンプル観測値は以下のように表記されます。${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}}$観察は${\displaystyle M}$合計で異なる場所（サンプルサイズ）。これにより、一連の観測値が得られます。${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{M}}$各地で${\displaystyle \mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{M}}$一般的に、プロットは分離距離の関数としてセミバリオグラム値を示します。${\displaystyle h_{k}}$複数のステップの場合${\displaystyle k=1,\ldots }$経験的セミバリオグラムの場合、分離距離間隔${\displaystyle h_{k}\pm \delta }$正確な距離ではなく、等方性条件が仮定される（つまり、${\displaystyle \gamma }$は、${\displaystyle h}$そして、経験的セミバリオグラムは、中心位置などの他の変数に依存しない。${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta )}$各ビンごとに計算できます。

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h_{k}\pm \delta ):={\frac {1}{2N_{k}}}\sum _{(i,j)\in S_{k}}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

言い換えれば、各点のペアは${\displaystyle h_{k}}$（ビン幅の許容範囲をプラスまたはマイナス）${\displaystyle \delta }$）が見つかります。これらは点の集合を形成します。

${\displaystyle S_{k}=S(h_{k}\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):h_{k}-\delta <|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}|<h_{k}+\delta ;i,j=1,\ldots ,M\}}$

このビン内のこれらの点の数は${\displaystyle N_{k}=|S_{k}|}$（セットのサイズ）。次に、各点のペアについて${\displaystyle i,j}$観測値の差の二乗（例：土壌サンプル含有量またはピクセル強度）が求められます（${\displaystyle |z_{i}-z_{j}|^{2}}$これらの二乗差を合計し、自然数で正規化する。${\displaystyle N_{k}}$定義上、この分離距離におけるセミバリオグラムの結果は2で割られます。

計算速度のためには、一意の点のペアのみが必要です。たとえば、2 つの観測ペアの場合 [${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$分離した場所から撮影${\displaystyle h\pm \delta }$のみ [${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$] ペアとして考慮する必要がある [${\displaystyle (z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})}$追加情報は一切提供しないでください。

経験的バリオグラムは、すべてのラグ距離で計算できるわけではない。${\displaystyle h}$また、推定値のばらつきにより、上記のように有効なバリオグラムであるとは保証されません。ただし、クリギングなどの地質統計学的手法では、有効なセミバリオグラムが必要です。応用地質統計学では、経験的バリオグラムは、有効性を保証するモデル関数によって近似されることがよくあります。重要なモデルには、次のものがあります。^{[ 7 ] [ 8 ]}

• 指数型バリオグラムモデル

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• 球面バリオグラムモデル

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• ガウス型バリオグラムモデル

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

パラメータ${\displaystyle a}$範囲の定義の曖昧さにより、参照によって値が異なる（例：${\displaystyle a=1/3}$[ ^{8 ]}指示関数^​${\displaystyle 1_{A}(h)}$1 の場合${\displaystyle h\in A}$それ以外の場合は0。

経験的バリオグラムは、地質統計学において、クリギングによる空間補間に必要なバリオグラムモデルの最初の推定値として使用されます。

• カラム平均二酸化炭素の時空間変動に関する経験的バリオグラムを用いて、衛星観測と地上観測の一致基準を決定した。^{[ 5 ]}
• 不均質材料（ギルソカーボン）の密度について経験的バリオグラムが計算された。^{[ 9 ]}
• 経験的バリオグラムは、地震による強い地動の観測から計算されます。^{[ 10 ]}これらのモデルは、空間的に分散したインフラストラクチャの地震リスクと損失の評価に使用されます。 ^{[ 11 ]}

例えば、バリオグラムの二乗項${\displaystyle (Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}}$、は異なるべき乗に置き換えることができます。マドグラムは絶対差で定義されます。${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|}$、ロドグラムは絶対差の平方根で定義され、${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}}$これらの低次のべき乗に基づく推定器は外れ値に対してより耐性があると言われています。これらは「次数αのバリオグラム」として一般化できます。

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$、

ここで、バリオグラムは次数2、マドグラムは次数1のバリオグラム、ロドグラムは次数0.5のバリオグラムである。^{[ 12 ]}

バリオグラムを用いて異なる変数間の相関関係を記述する場合、それをクロスバリオグラムと呼びます。クロスバリオグラムは共クリギングで使用されます。変数が二値変数であるか、値のクラスを表す場合は、インジケータバリオグラムと呼ばれます。インジケータバリオグラムはインジケータクリギングで使用されます。

• Cressie, N., 1993, 空間データの統計学、Wiley Interscience。
• Chiles, JP、P. Delfiner、1999年、『地球統計学、空間的不確実性のモデリング』、Wiley-Interscience。
• Wackernagel, H.、2003 年、多変量地球統計学、Springer。
• Burrough, PA および McDonnell, RA、1998 年、『地理情報システムの原理』。
• イソベル・クラーク、1979年、『実践地統計学』、アプライド・サイエンス・パブリッシャーズ。
• Clark, I., 1979, Practical Geostatistics , Applied Science Publishers.
• David, M., 1978, Geostatistical Ore Reserve Estimation , Elsevier Publishing.
• Hald, A., 1952, Statistical Theory with Engineering Applications , John Wiley & Sons, New York.
• Journel, AG および Huijbregts, Ch. J.、1978鉱業地質統計学、Academic Press。
• Glass, HJ, 2003、「バリオグラムの品質を評価する方法」、南アフリカ鉱業冶金学会誌。

• AI-GEOSTATS：地質統計学と空間統計学に関する教育リソース
• 地質統計学：ウィーン工科大学におけるルドルフ・ダッターによる講義（2007年12月15日にWayback Machineにアーカイブ済み）