バリオグラム

空間統計学において、理論的なバリオグラムは、 空間ランダムフィールドまたは確率過程の空間依存性の度合いを記述する関数です。セミバリオグラムはバリオグラムの半分です。 ${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$ ${\displaystyle Z(\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

たとえば、金鉱業では、バリオグラムは、採掘地域から採取された 2 つのサンプルの金含有率が、サンプル間の距離に応じてどの程度変化するかを示します。離れた場所で採取されたサンプルは、近い場所で採取されたサンプルよりも変化が大きくなります。

セミバリオグラムは 、マセロン（1963）によって、関数とその関数の平行移動コピーとの間の平均二乗差の半分として初めて定義されました。^{[1] [2]}正式には ${\displaystyle \gamma (h)}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dM,}$

ここで、 は幾何学的場 内の点であり、 はその点における値です。三重積分は 3 次元にわたって行われます。は関心のある分離距離 (メートルまたは km 単位など) です。たとえば、 の値は、体積 の要素を持つある領域のある場所(緯度、経度、標高の地理座標を使用)における土壌の鉄含有量を表すことができます。特定の のセミバリオグラムを取得するには、その正確な距離にあるすべての点のペアをサンプリングします。実際には、すべての場所でサンプリングすることは不可能なので、代わりに経験的バリオグラムが使用されます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle dV}$${\displaystyle \gamma (h)}$

バリオグラムはセミバリオグラムの 2 倍であり、異なる定義として、 2 つの場所 (および、表記がからおよびに変わることに注意)におけるフィールド値の差の分散として、フィールドの実現にわたって表されます (Cressie 1993)。 ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))-E[Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})])^{2}\right].}$

空間ランダムフィールドの平均が一定である場合、これは場所と間の値の二乗増分の期待値に相当します(Wackernagel 2003) (ここで、 と は空間内の点であり、場合によっては時間内の点です)。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z( \mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].}$

定常プロセスの場合、バリオグラムとセミバリオグラムは、次の関係式によって、位置間の 差のみの関数として表すことができます (Cressie 1993)。${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)}$${\displaystyle h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _ {1})。}$

さらにプロセスが等方性である場合、バリオグラムとセミバリオグラムは距離 のみの関数で表すことができます (Cressie 1993)。 ${\displaystyle \gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})}$${\displaystyle h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{i}(h).}$

インデックスやは通常は書かれません。 用語は関数の3つの形式すべてに使用されます。さらに、「バリオグラム」という用語はセミバリオグラムを表すために使用されることがあり、記号はバリオグラムに使用されることがあり、混乱を招きます。^[3]${\displaystyle i}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \gamma}$

(Cressie 1993、Chiles and Delfiner 1999、Wackernagel 2003) によれば、理論的なバリオグラムには次の特性があります。

• セミバリオグラムは平方の期待値なので非負です。${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0}$
• 距離 0 におけるセミバリオグラムは 常に 0 です。${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _ {1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0}$
• 関数がセミバリオグラムとなるのは、条件付き負定関数である場合、つまり、条件付きで位置が次の条件を満たすすべての重みである場合のみです。${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{N}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=0}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _ {j})w_{j}\leq 0}$

これは、分散がこの二重和の負数で与えられ、非負でなければならないという事実に対応する。 ^{[異論あり–議論]}${\displaystyle var(X)}$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

• 定常過程の共分散関数が存在する場合、それはバリオグラムと次のように関係する。

  ${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})+C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• 定常ランダム場が空間依存性を持たない場合（つまり、の場合）、セミバリオグラムは原点を除くすべての場所で一定であり、原点ではゼロになります。${\displaystyle C(h)=0}$${\displaystyle h\not =0}$${\displaystyle var(Z(\mathbf {s} ))}$
• ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf { s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$対称関数です。
• したがって、は偶関数です。${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)}$
• ランダム フィールドが定常かつエルゴードである場合、 はフィールドの分散に対応します。セミバリオグラムの極限は、そのシルとも呼ばれます。${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=var(Z(\mathbf {s} ))}$
• その結果、セミバリオグラムは原点のみで非連続になる可能性があります。原点におけるジャンプの高さは、ナゲットまたはナゲット効果と呼ばれることもあります。

要約すると、バリオグラムを説明するために、次のパラメータがよく使用されます。

• ナゲット : 原点の不連続点におけるセミバリオグラムのジャンプの高さ。${\displaystyle n}$
• sill : 遅延距離が無限大になるバリオグラムの限界。${\displaystyle s}$
• 範囲 : バリオグラムとシルの差が無視できる距離。固定シルのモデルでは、これが最初に達成される距離です。漸近シルのモデルでは、セミバリアンスが最初にシルの 95% に達する距離と通常考えられます。${\displaystyle r}$

一般的に、サンプル情報はすべての場所で利用できるわけではないため、測定データには経験的バリオグラムが必要です。サンプル情報には、たとえば土壌サンプルの鉄の濃度やカメラのピクセル強度などがあります。サンプル情報の各部分には、2Dサンプル空間の座標があり、 と は地理座標です。土壌中の鉄の場合、サンプル空間は3次元になる可能性があります。時間的変動もある場合（たとえば、湖のリン含有量）、 は4次元ベクトルになる可能性があります。次元が異なる単位を持つ場合（たとえば、距離と時間）、それぞれにスケーリング係数を適用して、修正ユークリッド距離を取得できます。^[4]${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbf {s} =(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle (x,y,z,t)}$${\displaystyle B}$

サンプル観測は で示されます。サンプルは、合計で 個の異なる場所で採取される可能性があります。これにより、場所 のサンプル セットが提供されます。一般に、プロットは、サンプル ポイントの間隔 の関数としてセミバリオグラムの値を示します。経験的セミバリオグラムの場合、正確な距離ではなく間隔距離ビンが使用され、通常は等方性条件 (つまり、 はの関数のみであり、中心位置などの他の変数には依存しない) が想定されます。次に、各ビンについて経験的セミバリオグラムを計算できます。 ${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{k}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h\pm \delta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta )}$

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta ):={\frac {1}{2|N(h\pm \delta )|}}\sum _{(i,j)\in N(h\pm \delta )}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

言い換えると、（プラスマイナスあるビン幅許容範囲）で区切られた各ポイントのペアが見つかります。これらはポイントの集合 を形成します。このビン内のこれらのポイントの数は です。次に、各ポイントのペアについて、観測値（土壌サンプルの内容やピクセルの強度など）の差の二乗（）が求められます。これらの二乗された差は加算され、自然数 で正規化されます。定義により、この分離におけるセミバリオグラムの結果は 2 で割られます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle N(h\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):|\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}|=h\pm \delta ;i,j=1,\ldots ,N\}}$${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle |z_{i}-z_{j}|^{2}}$${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$

計算速度を上げるには、一意のポイント ペアのみが必要です。たとえば、離れた場所から取得された 2 つの観測ペア [ ]については、ペア [ ] は追加情報を提供しないため、[ ] のみを考慮する必要があります。 ${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$${\displaystyle h\pm \delta }$${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$${\displaystyle (z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})}$

経験的バリオグラムは、すべてのラグ距離で計算できるわけではなく、推定値の変動により、上で定義したように有効なバリオグラムであることが保証されません。ただし、クリギングなどの一部の地統計学的手法では、有効なセミバリオグラムが必要です。応用地統計学では、経験的バリオグラムは、有効性を保証するモデル関数によって近似されることがよくあります (Chiles&Delfiner 1999)。重要なモデルには、次のものがあります (Chiles&Delfiner 1999、Cressie 1993)。 ${\displaystyle h}$

• 指数バリオグラムモデル

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• 球状バリオグラムモデル

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• ガウスバリオグラムモデル

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

範囲の定義があいまいなため、パラメータの値は参照ごとに異なります。たとえば、 (Chiles&Delfiner 1999) で使用されている値です。関数は、次の場合は 1、それ以外の場合は 0 になります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle a=1/3}$${\displaystyle 1_{A}(h)}$${\displaystyle h\in A}$

地球統計学では、観測値の空間的または時間的な相関関係を記述するために、相関図、共分散、およびセミバリオグラムという3 つの関数が使用されます。最後の関数は、単にバリオグラムとも呼ばれます。

バリオグラムは、観測された現象の時間的/空間的相関のモデルを適合するために使用されるため、地統計学における重要な機能です。したがって、可能性のある時間的/空間的相関を視覚化した実験バリオグラムと、クリギング関数の重みを定義するためにさらに使用されるバリオグラム モデルを区別します。実験バリオグラムは、ガウス過程の共分散の経験的推定値であることに注意してください。そのため、正定値ではない可能性があり、制約や追加処理なしではクリギングで直接使用できません。これが、限られた数のバリオグラム モデルのみが使用される理由です。最も一般的なのは、線形、球面、ガウス、および指数モデルです。

経験的バリオグラムは、クリギングによる空間補間に必要なバリオグラム モデルの最初の推定値として地統計学で使用されます。

• 柱状平均二酸化炭素濃度の時空間変動に関する経験的バリオグラムは、衛星と地上の測定の一致基準を決定するために使用された。^[4]
• 不均質物質（ギルソカーボン）の密度について経験的バリオグラムが計算された。^[5]
• 経験的バリオグラムは地震による強震動の観測から計算される。^{[6]これらのモデルは空間的に分散したインフラの}地震リスクと損失評価に使用されている。^[7]

たとえば、バリオグラムの二乗項は、異なるべき乗に置き換えることができます。マドグラムは絶対差で定義され、ロドグラムは絶対差の平方根で定義されます。これらの低いべき乗に基づく推定量は、外れ値に対してより耐性があると言われています。これらは、「次数αのバリオグラム」として一般化できます。 ${\displaystyle (Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}}$${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|}$${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$、

ここで、バリオグラムは2次のバリオグラム、マドグラムは1次のバリオグラム、ロドグラムは0.5次のバリオグラムである。^[8]

バリオグラムがさまざまな変数の相関関係を記述するために使用される場合、それはクロスバリオグラムと呼ばれます。クロスバリオグラムはコクリギングで使用されます。変数がバイナリであるか、値のクラスを表す場合は、インジケーターバリオグラムについて話していることになります。インジケーターバリオグラムはインジケータークリギングで使用されます。

• Cressie, N.、1993、「空間データの統計」、Wiley Interscience。
• Chiles, JP、P. Delfiner、1999、「地球統計学、空間的不確実性のモデリング」、Wiley-Interscience。
• Wackernagel, H.、2003 年、多変量地球統計学、Springer。
• Burrough, PA および McDonnell, RA、1998、「地理情報システムの原則」。
• Isobel Clark、1979 年、「Practical Geostatistics」、Applied Science Publishers。
• Clark, I.、1979 年、「Practical Geostatistics」、Applied Science Publishers。
• David, M.、1978、「地統計的鉱石埋蔵量推定」、Elsevier Publishing。
• Hald, A.、1952、「統計理論と工学的応用」、John Wiley & Sons、ニューヨーク。
• Journel, AG および Huijbregts, Ch. J.、1978 Mining Geostatistics、Academic Press。
• Glass, HJ、2003、「バリオグラムの品質を評価する方法」、南アフリカ鉱業冶金学会誌。

• AI-GEOSTATS: 地統計学と空間統計学に関する教育リソース
• 地統計学：ウィーン工科大学におけるルドルフ・ダッターの講義

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