E9ハニカム

幾何学において、E ₉ハニカムは、9 次元双曲空間における均一な多面体のモザイク状配置です。また、(E ₁₀ ) はパラコンパクト双曲群であるため、面または頂点図形のいずれも境界が付けられません。 ${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$

E _{10 は}、長さが 6、2、1 の分岐したCoxeter-Dynkin 図を持つCoxeter 群のシリーズの最後です。そのCoxeter-Dynkin 図のすべての組み合わせにより、 1023 個の一意の E ₁₀ハニカムが存在します。その Coxeter 図は非線形グラフであるため、このファミリには通常のハニカムはありませんが、3 つの枝の端に単一のリングを持つ 3 つの最も単純なハニカムがあります: 6 ₂₁、 2 ₆₁、 1 ₆₂。

6 ₂₁ハニカムは、E _{10コクセター群の対称性の範囲内で、交互に並ぶ}9 単体面と9 直交面から構成されます。

_{このハニカムは、その対称群 (アフィン E 9}ワイル群)がk ≤ 7のk面に対して推移的に作用するという意味で、非常に正則です。k ≤ 8のk面はすべて単体です。

このハニカムは、1900年にソロルド・ゴセットによって列挙されたk ₂₁多面体のシリーズの最後であり、完全に正多面体とハニカムがリストされていますが、彼のリストは8次元のユークリッドハニカム5 ₂₁で終わります。^[1]

これは、9 次元双曲空間内の 10 個の超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

2 長さの枝の端にあるノードを削除すると、9 オルソプレックス、 7 ₁₁が残ります。

長さ 1 の枝の端にあるノードを削除すると、9 単体が残ります。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、5 ₂₁ハニカムが作成されます。

頂点図形から環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、辺図形が決定されます。これにより、4 21多面体_が作成されます。

面図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、エッジ図形から決定されます。これにより、3 ₂₁多面体が作成されます。

面図形から環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることでセル図形が決定されます。これにより、2 21多面体_が作成されます。

6 ₂₁は、1900 年にThorold Gossetによって特定された、半正多面体とハニカムの次元シリーズの最後です。シーケンスの各メンバーは、その前の要素を頂点図形としています。これらの多面体のすべての面は、正多面体、つまり単体と正多面体です。

2 ₆₁ハニカムは、 2 ₅₁ 9 ハニカム面と9 単体面から構成され、2 _k1ファミリーの最後の図形です。

これは、9 次元双曲空間内の 10 個の超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

短い枝のノードを削除すると、9 単体が残ります。

長さ 6 の枝の端にあるノードを削除すると、2 _{51 の}ハニカムが残ります。E10 はパラコンパクト双曲群であるため、これは無限ファセットです。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接ノードを環状にすることで決定されます。これにより、9-デミキューブ、1 ₆₁が作成されます。

エッジ図形はエッジ図形の頂点図形です。これにより、正規化された8単体、0 ₅₁が作成されます。

面図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、エッジ図形から決定されます。これにより、5 単体プリズムが作成されます。

2 _61は、均一な多面体とハニカム の次元シリーズの最後です。

1 ₆₂ハニカムには、 1 ₅₂ (9 ハニカム) ファセットと1 ₆₁ 9 デミキューブ ファセットが含まれます。これは、 1 _k2多面体ファミリーの最後の図形です。

これは、9 次元空間内の 10 個の超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

長さ2の枝の端にあるノードを削除すると、9デミキューブ、1 ₆₁が残ります。

長さ 6 の枝の端にあるノードを削除すると、1 _{52 の}ハニカムが残ります。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接ノードを環状にすることで決定されます。これにより、9 次元の双曲線単体、0 ₆₂が作成されます。

1 _62は、均一な多面体とハニカム の次元シリーズの最後です。

• 物事の対称性2008年、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、ISBN  978-1-56881-220-5 [1]
• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』、ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築） 
• コクセター 正多面体（1963年）、マクミラン社
  • Regular Polytopes、第 3 版、(1973)、Dover 版、ISBN 0-486-61480-8 (第 5 章: 万華鏡) 
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [2]  
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]