S（集合論）

S は、ジョージ・ブーロスが1989 年の論文「Iteration Again」で提唱した公理的集合論です。一階述語論理であるS は、その存在論に集合だけでなく「段階」も含まれるため、2 ソートされています。ブーロスは、集合の「反復的概念」とそれに関連する反復的階層構造に対する自身の理解を具体化するためにSを設計しました。Sの重要な特性として、外延公理と選択公理を除く、ツェルメロ集合論Zのすべての公理は、 Sの定理、またはそれをわずかに修正したものです。

数学的、抽象的、あるいは具体的な対象がどのような形で集まったものであっても、それは集合（コレクション）と呼ばれ、他の集合論でいうところのクラスと同義である。集合を構成するものは要素またはメンバーと呼ばれる。集合の一般的な例としては、一階述語論理の議論領域が挙げられる。

すべての集合はコレクションですが、集合ではないコレクションも存在します。集合ではないコレクションの同義語は「固有クラス」です。公理的集合論の重要な課題は、集合と固有クラスを区別することです。なぜなら、数学は集合に基づいており、固有クラスは純粋に記述的な役割に限定されているからです。

フォン・ノイマン宇宙は、集合の宇宙を一連の「ステージ」に階層化することによって「集合の反復的概念」を実現し、特定のステージの集合は、それより高いすべてのステージで形成される集合の可能なメンバーとなります。ステージの概念は次のようになります。各ステージには順序番号が割り当てられます。最も低いステージであるステージ 0 は、メンバーを持たないすべてのエンティティで構成されます。ステージ 0 の唯一のエンティティは空集合であると仮定しますが、このステージには、私たちが認めることを選択する任意の要素が含まれます。ステージn ( n > 0) は、番号がnより小さい任意のステージで見つかる要素から形成されるすべての可能な集合で構成されます。ステージnで形成されるすべての集合は、nより大きいすべてのステージでも形成できます。^{[ 1 ]}

したがって、各段階は入れ子構造で整然とした順序を形成し、集合のメンバーシップが推移的であれば階層構造を形成することになる。反復的な概念は、その歴史的起源が十分に理解されていないにもかかわらず、徐々に受け入れられるようになってきている。

集合の反復的概念は、ラッセル、ブラリ＝フォルティ、カントールのよく知られたパラドックスを、説得力のある形で回避する。これらのパラドックスはすべて、素朴な集合論の内包原理を無制限に用いることから生じる。「すべての集合のクラス」や「すべての順序数のクラス」といった集合は、反復階層のすべての段階の集合を含む。したがって、そのような集合はどの段階でも形成できず、集合とはなり得ない。

この節はBoolos（1998: 91）に従う。変数xとyは集合を範囲とし、r、s、tは段階を範囲とする。原始的な2項述語は3つある。

• 集合-集合: x ∈ y は、通常どおり、集合xが集合yの要素であることを示します。
• セット-ステージ: Fxr は、セットxがステージrで「形成される」ことを示す。
• ステージ-ステージ: r < s は、ステージrがステージsより「早い」ことを意味します。

以下の公理には、定義済みの2項集合段階述語Bxrが含まれており、これは以下を省略したものです。

$${\displaystyle \exists s[s<r\land Fxs].}$$

Bxrは「セットxはステージrの前に形成される」と読みます。

中置記号「=」で表される同一性は、他の集合論における役割をSでは果たしておらず、Boolosは背景論理に同一性が含まれているかどうかを完全に明示していません。Sには外延性の公理はなく、他のSの公理にも同一性は存在しません。同一性は、 S+とSを区別する公理図式^{[ 2 ]}、およびZのペアリング、空集合、無限公理のSにおける導出^{[ 3 ]}に現れます。

以下に示す記号公理はBoolos（1998: 91）によるもので、集合とステージの振る舞いと相互作用を規定するものです。自然言語による公理の表現は、直感的な理解を助けることを目的としています。

公理は3つずつ2つのグループに分かれています。最初のグループは、ステージとステージ間の関係「<」のみに関する公理で構成されています。

トラ：${\displaystyle \forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.}$

「～以前」は他動詞です。

ネット：${\displaystyle \forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.}$

ネットの結果として、すべての段階は、ある段階よりも前の段階である。

情報：${\displaystyle \exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.}$

Infの唯一の目的は、 Sにおいて他の集合論の無限公理を導出できるようにすることである。

2番目で最後の公理群は、集合と段階の両方、および「<」以外の述語に関係しています。

全て：${\displaystyle \forall x\exists rFxr\,.}$

すべての集合は、階層構造のどこかの段階で形成される。

いつ：${\displaystyle \forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.}$

ある集合が何らかの段階で形成されるのは、その構成要素がそれ以前の段階で形成されている場合に限る。

A ( y )を、 yは自由項であるがxは自由項ではないSの論理式とする。このとき、以下の公理図式が成り立つ。

仕様：${\displaystyle \exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.}$

A ( y )を満たすすべての集合がrより前の段階で形成されるような段階rが存在するならば、 A ( y )を満たす集合のみを要素とする集合xが存在する。SにおけるSpecの役割は、Zの仕様の公理図式の役割に類似している。

ブーロスは、外延性を除いたツェルメロ集合論をZ- と名付けた。ブーロスはSにおいて、選択公理を除くZ-のすべての公理を導出した。^{[ 4 ]}この演習の目的は、従来の集合論のほとんどが、 Sに具体化されていると仮定される集合の反復的概念からどのように導出できるかを示すことであった。外延性は反復的概念から導かれるものではないため、 Sの定理ではない。しかし、Sが矛盾を起こさないならば、 S + 外延性は矛盾を起こさない。

ブーロスは、 S+と呼ばれるSの変種を得るためにSpecを変更し、置換の公理図式がS+ +拡張性で導出可能であるようにした。したがって、S+ + 拡張性はZFの能力を持つ。ブーロスはまた、選択の公理は反復概念から導かれるものではないと主張したが、選択を何らかの方法でSに追加できるかどうかについては言及しなかった。 ^{[ 5 ]}したがって、S+ + 拡張性は、証明に選択を必要とする従来の集合論ZFCの定理を証明することはできない。  

Inf は段階 ω の存在と、有限のn に対する ω + nの存在を保証するが、段階 ω + ω の存在は保証しない。それにもかかわらず、S は現代数学のほぼすべてを基礎づけるのに十分なカントールの楽園をもたらす。^{[ 6 ]}   

ブーロスはSを、フレーゲの基本法則体系の変形とかなり詳しく比較している。この変形では、ヒュームの原理が公理として採用され、フレーゲの基本法則V（フレーゲの体系を矛盾させていた無制限の理解の公理）に取って代わっている。ラッセルのパラドックスを参照。

• ブーロス、ジョージ（1989）「再び反復」、Philosophical Topics、17（2）：5–21、doi：10.5840/philtopics19891721、JSTOR 43154050 再録：ジョージ・ブーロス（1998）『論理、論理、そして論理』ハーバード大学出版局、 88～ 104ページ、 ISBN  9780674537675。
• ポッター、マイケル（2004）、『集合論とその哲学』、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780199269730。