ジャック機能

数学において、ジャック関数はヘンリー・ジャックによって導入されたジャック多項式 の一般化です。ジャック多項式はシューア多項式とゾーン多項式を一般化した同次対称多項式であり、ヘックマン・オプダム多項式とマクドナルド多項式によって一般化されます。

整数パーティション、パラメータ、引数 のJack 関数は、次のように再帰的に定義できます。 ${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$ ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$

m =1の場合

${\displaystyle J_{k}^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )}$

m >1の場合

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },}$

ここで、合計は、歪んだ分割が水平方向の帯状であるようなすべての分割にわたって行われます。つまり、 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \kappa /\mu}$

${\displaystyle \kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \ mu _{n-1}\geq \kappa _{n}}$（ゼロまたはそれ以外）および${\displaystyle \mu_{n}}$${\displaystyle J_{\mu}(x_{1},\ldots,x_{n-1})=0}$

${\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}$

ここで、は の場合は、の場合は に等しくなります。 および の式は、それぞれおよびの共役分割を表します。 という表記は、の分割 のヤング図におけるボックスのすべての座標に対して積が取られることを意味します。 ${\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}$${\displaystyle \kappa _{j}'=\mu _{j}'}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)}$${\displaystyle \kappa '}$${\displaystyle \mu'}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (i,j)\in \kappa }$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \kappa}$

1997年にF. KnopとS. Sahi ^[1]はn変数のジャック多項式の純粋に組み合わせ的な公式を与えた。 ${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}}$

${\displaystyle J_{\mu}^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.}$

合計は、 形状と${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in T{\text{ critical}}}d_{\lambda }(\alpha )(s)}$

と

${\displaystyle d_{\lambda}(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda}(s)+1)+(l_{\lambda}(s)+1).}$

形状の許容タブローとは、ヤング図を1、2、…、nの数字で埋めたもので、タブロー内の 任意のボックス( i、j )について、${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$

• ${\displaystyle T(i,j)\neq T(i',j)}$いつでも${\displaystyle i'>i.}$
• ${\displaystyle T(i,j)\neq T(i,j-1)}$いつでも${\displaystyle j>1}$${\displaystyle i'<i.}$

ボックスは、タブローTにとって重要であり、${\displaystyle s=(i,j)\in \lambda }$${\displaystyle j>1}$${\displaystyle T(i,j)=T(i,j-1).}$

この結果は、マクドナルド多項式のより一般的な組み合わせ公式の特殊なケースとして見ることができます。

ジャック関数は対称多項式の空間で直交基底を形成し、内積は次のようになります。

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}$

この直交性は正規化の影響を受けません。上で定義した正規化は、通常J正規化と呼ばれます。C正​​規化は次のように定義されます。

${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

どこ

${\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}$

はしばしば と表記され、ゾーン多項式と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

P正規化は恒等式で与えられ、ここで ${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}$

${\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}$

ここで、 と はそれぞれ腕と脚の長さを表します。したがって、 は通常のシューア関数です。 ${\displaystyle a_{\lambda }}$${\displaystyle l_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}$

シューア多項式と同様に、ヤングの表の合計として表現できます。ただし、パラメータに応じて各表に追加の重みを追加する必要があります。 ${\displaystyle P_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha }$

したがって、ジャック関数の式^[2]は次のように与えられる。 ${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)}}$

ここで、和は形状 のすべてのタブローにわたって取られ、Tのボックスsのエントリを表します。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T(s)}$

重みは次のように定義できます。形状Tの各タブローは、パーティションのシーケンスとして解釈できます。 ${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda }$

ここで、T内のコンテンツiの傾斜形状を定義します。 ${\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}$

${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha )}$

どこ

${\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}$

そして、積は、 s が同じ行にあるが同じ列にはないボックスを持つ、s内 のすべてのボックスに対してのみ取られます。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda /\mu }$

ジャック関数がシュア多項式のスカラー倍である場合${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

どこ

${\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}$

は、 のすべてのフックの長さの積です。 ${\displaystyle \kappa }$

パーティションの部分が変数の数よりも多い場合、Jack 関数は 0 になります。

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.}$

いくつかのテキスト、特にランダム行列理論では、ジャック関数で行列引数を使用する方が便利であると著者らは考えています。その関係は単純です。が固有値を持つ行列である 場合、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}$

• デメル、ジェームズ、コエフ、プラメン (2006)、「シュア関数とジャック関数の正確で効率的な評価」、計算数学、75 (253): 223–239、CiteSeerX  10.1.1.134.5248、doi :10.1090/S0025-5718-05-01780-1、MR  2176397。
• ジャック、ヘンリー(1970–1971)、「パラメータを持つ対称多項式のクラス」、エディンバラ王立協会紀要、セクション A. 数学、69 : 1–18、MR  0289462。
• ノップ、フリードリヒ; サヒ、シッダールタ (1997 年 3 月 19 日)、「ジャック多項式の再帰と組み合わせ式」、Inventiones Mathematicae、128 (1): 9–22、arXiv : q-alg/9610016、Bibcode :1997InMat.128....9K、doi :10.1007/s002220050134、S2CID  7188322
• マクドナルド、IG（1995）、対称関数とホール多項式、オックスフォード数学モノグラフ（第2版）、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853489-1、MR  1354144
• スタンレー、リチャード P. (1989)、「ジャック対称関数のいくつかの組み合わせ特性」、数学の進歩、77 (1): 76–115、doi : 10.1016/0001-8708(89)90015-7、MR  1014073。

• Plamen Koev と Alan Edelman による Jack 関数を計算するためのソフトウェア。
• MOPS: 多変数直交多項式 (記号的) (Maple パッケージ) 2010-06-20 にWayback Machineでアーカイブ
• Jack 対称関数の SAGE ドキュメント