コスタント分割関数

数学の一分野である表現論において、バートラム・コスタント (1958, 1959)によって導入されたルート系のコスタント分割関数は、ベクトル (重み) を正のルートの非負整数線形結合として表現できる方法の数です。コスタントはこれを使用して、ワイル指標式を半単純リー代数の既約表現の重みの重複度の式 (コスタント重複度式)として書き直しました。場合によっては計算効率が向上する別の式として、フロイトェンタールの式があります。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta ^{+}\subset \Delta }$

コスタント分割関数はKac-Moody 代数に対しても定義でき、同様の特性を持ちます。

正のルート、、およびを持つ A2 ルート システムを考えます。要素が、、およびの非負の整数線形結合として表現できる場合、であるため、正の単純ルートおよびの非負の整数線形結合としても表現できます。 ${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}:=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$

ここで、と は非負の整数です。この式は、を非負の整数の組み合わせとして正の根として書く1つの方法を示しています。他の式は、 を何回かで置き換えることによって得られます。 を で置き換えて、回行うことができます。したがって、コスタント分割関数が で表されている場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq k\leq \mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$。

この結果は、右の図にグラフィカルに示されています。要素がの形式でない場合は、 となります。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$${\displaystyle p(\mu )=0}$

他の階数2のルートシステムの分割関数はより複雑ですが、明示的に知られています。^{[1] [2]}

B ₂の場合、正の単純根は であり、正の根は およびを伴う単純根です。分割関数は、要素 を表す2 つの非負整数との関数として考えることができます。次に、分割関数は2 つの補助関数の助けを借りて区分的に定義できます。 ${\displaystyle \alpha _{1}=(1,0),\alpha _{2}=(0,1)}$${\displaystyle \alpha _{3}=(1,1)}$${\displaystyle \alpha _{4}=(2,1)}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})}$

の場合、 です。 の場合、 です。 の場合、 です。 の補助関数は に対して定義され、 は によって与えられ、偶数の場合は 、奇数の場合は です。 ${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=b(n_{1})}$${\displaystyle n_{2}\leq n_{1}\leq 2n_{2}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})-b(2n_{2}-n_{1}-1)=b(n_{1})-q_{2}(n_{1}-n_{2}-1)}$${\displaystyle 2n_{2}\leq n_{1}}$${\displaystyle P(n_{1},n_{2})=q_{2}(n_{2})}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle q_{2}(n)={\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)}$${\displaystyle b(n)={\frac {1}{4}}(n+2)^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}(n+1)(n+3)}$${\displaystyle n}$

G ₂の場合、正の根はと で、 は短い単純根を表し、 は長い単純根を表します。 ${\displaystyle (1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)}$${\displaystyle (3,2)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,1)}$

パーティション関数は、2 つの補助関数を使用して、ドメインを 5 つの領域に分割して区分的に定義されます。

各根と各に対して、等比級数の和の公式を 正式に適用して、${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+ \cdots }$

ここで収束については心配する必要はない。つまり、等式は形式的な冪級数のレベルで理解される。ワイルの分母公式を用いると

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},}$

ワイル分母の逆数の形式的な表現が得られる: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}} }&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^ {-\mu (H)}\end{整列}}}$

ここで、最初の等式は等比級数の公式の正の根の積を取ることによって得られ、2 番目の等式は、特定の指数が積に現れる可能性のあるすべての方法を数えることによって得られます。引数が回転の場合、関数は0 になり、引数が反射の場合、関数は 1 になります。 ${\displaystyle e^{\mu (H)}}$${\displaystyle \ell (w)}$

この議論は、ワイル特性式を最高重みを持つ既約表現に変換できることを示しています。 ${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

商から積へ:

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

前述の指標式の書き直しを使うと、指標を指数の和として書くのは比較的簡単です。これらの指数の係数は対応する重みの重複度です。こうして、最高重みを持つ既約表現における与えられた重みの重複度の式が得られます。^[4]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mathrm {mult} (\mu )=\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$。

この結果はコスタントの多重度公式です。

この式の主要な項は項 です。この項の寄与は で、これは最高重み を持つVerma モジュールにおけるの重複度に相当します。が基本ワイル チェンバー内で十分に離れており、に十分近い場合、式内の他のすべての項がゼロになることがあります。具体的には、が より大きくない限り、 上のコスタント分割関数の値はゼロになります。したがって、合計は名目上ワイル群全体にわたりますが、ほとんどの場合、非ゼロ項の数はワイル群の位数よりも小さくなります。 ${\displaystyle w=1}$${\displaystyle p(\lambda -\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}$${\displaystyle \mu +\rho }$${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}$