Demazure モジュール

数学において、 デマズール加群は、デマズール (1974a, 1974b) によって導入され、ボレル部分代数の作用下で極値ウェイト空間によって生成される有限次元表現のサブ加群です。デマズール(1974b、定理 2)によって導入されたデマズール指標式は、デマズール加群の指標を与えるもので、ワイル指標式 を一般化したものです。デマズール加群の次元は、最高ウェイトの多項式であり、デマズール多項式と呼ばれます。

gが複素半単純リー代数であり、ボレル部分代数 b がカルタン部分代数 h を含むと仮定する。 gの既約有限次元表現V はhの固有空間の和として分割され、最高重み空間は 1 次元でbの固有空間である。ワイル群W はVの重みに作用し、この作用による最高重みベクトル λ の共役w λ は極値重みであり、その重み空間はすべて 1 次元である。

デマズール加群は、極値ベクトルw λの重み空間によって生成されるVのbサブ加群であるため、 Vのデマズール加群はワイル群Wによってパラメータ化されます。

2 つの極端なケースがあります。w が自明な場合、デマズール モジュールは 1 次元になります。また、w がWの最大長の要素である場合、デマズール モジュールは既約表現V全体になります。

デマズール加群は、カッツ・ムーディ代数の最高重み表現に対して同様の方法で定義できますが、ボレル部分代数bまたはその反対の部分代数によって生成される部分加群を考慮できるため、2 つのケースが存在する点が異なります。有限次元では、これらはワイル群の最長要素によって交換されますが、無限次元では最長要素が存在しないため、これは当てはまりません。

デマズール指標式は (デマズール 1974b、定理 2) によって導入された。 ビクター カックは、デマズールの証明には重大な欠陥があると指摘した。それは、デマズール 1974a、命題 11、セクション 2 に依存しているが、これは誤りである。カックの反例については、(ジョセフ 1985、セクション 4) を参照のこと。アンダーセン (1985) は、シューベルト多様体の幾何学に関するラマナン & ラマナサン (1985) およびメータ & ラマナサン (1985) の研究を使用して、デマズールの指標式の証明を与えた。ジョセフ (1985) は、リー代数の手法を使用して、十分に大きい優勢な最高重みモジュールの証明を与えた。柏原 (1993) は、リッテルマン (1995) が推測した (そして多くの場合証明された) デマズール指標式の改良版を証明した。

デマズール文字の公式は

${\displaystyle {\text{Ch}}(F(w\lambda ))=\Delta _{1}\Delta _{2}\cdots \Delta _{n}e^{\lambda }}$

ここ：

• w はワイル群の元であり、単純根の反射の積としてw  =  s ₁ ... s _{nという簡約分解を持ちます。}
• λ は最小の重みであり、e ^{λ は}重み格子の群環の対応する要素です。
• Ch( F ( wλ ))はデマズール加群F ( wλ )の指標である。
• Pは重み格子であり、Z [ P ]はその群環である。
• ${\displaystyle \rho}$は基本重みの合計であり、ドットアクションは によって定義されます。${\displaystyle w\cdot u=w(u+\rho )-\rho }$
• Δ _α（α 根）は、Z加群Z [ P ] の準同型写像であり、次のように定義される。

${\displaystyle \Delta _{\alpha }(u)={\frac {u-s_{\alpha }\cdot u}{1-e^{-\alpha }}}}$

そしてΔ _{j は}Δ _{αであり、α は}s _jの根である。

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• ミシェル・デマズール(1974a)、「シューベルトの多様性の特異化」、高等師範科学誌、シリーズ 4、7 : 53–88、doi : 10.24033/asens.1261、ISSN  0012-9593、MR  0354697
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• Joseph, Anthony (1985)、「Demazure 文字式について」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、Série 4、18 ( 3): 389–419、doi : 10.24033/asens.1493、ISSN  0012-9593、MR  0826100
• 柏原正樹(1993)、「結晶基底とリッテルマンの改良されたデマズール特性式」、デューク数学ジャーナル、71 (3): 839–858、doi :10.1215/S0012-7094-93-07131-1、ISSN  0012-7094、MR  1240605
• リッテルマン、ピーター（1995）、「結晶グラフとヤングの図」、代数ジャーナル、175（1）：65–87、doi：10.1006/jabr.1995.1175、ISSN  0021-8693、MR  1338967
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