慣性マニホールド

数学において、慣性多様体は散逸 力学系の解の長期的挙動に関係する。慣性多様体は有限次元で滑らかで不変な多様体であり、大域アトラクターを含み、すべての解を指数関数的に速く引き付ける。慣性多様体は元のシステムが無限次元であっても有限次元であり、システムのダイナミクスのほとんどは慣性多様体上で発生するため、慣性多様体上のダイナミクスを研究することで、元のシステムのダイナミクスの研究が大幅に簡素化される。^[1]

多くの物理的応用において、慣性多様体は、短波長構造と長波長構造の間の相互作用法則を表現します。短波長は長波長に従属していると考える人もいます (例:相乗効果)。慣性多様体は、気象学でよく見られる低速多様体として、または任意の分岐における中心多様体として現れることもあります。計算上、偏微分方程式の数値スキームは長期的なダイナミクスを捉えようとするため、そのような数値スキームは近似的な慣性多様体を形成します。

2つの変数と パラメータを持つ 力学系を考える : ^[2]${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=ap-pq\,,\qquad {\frac {dq}{dt}}=-q+p^{2}-2q^{2}.}$

• それは（放物線）の1次元慣性多様体を持っています 。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle q=p^{2}/(1+2a)}$
• この多様体は力学に対して不変である。なぜなら多様体上で ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

 ${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {p^{2}}{1+2a}}={\frac {2p{\frac {dp}{dt}}}{1+2a}}={\frac {2ap^{2}}{1+2a}}-{\frac {2p^{4}}{(1+2a)^{2}}}}$これは以下と同じです

 ${\displaystyle -q+p^{2}-2q^{2}=-{\frac {p^{2}}{1+2a}}+p^{2}-2\left({\frac {p^{2}}{1+2a}}\right)^{2}={\frac {2ap^{2}}{1+2a}}-{\frac {2p^{4}}{(1+2a)^{2}}}.}$

• 多様体は、 原点の近くにあるため、原点の周りの有限領域内のすべての軌道を引き付けます  (ただし、以下の厳密な定義では、すべての初期条件からの引き付けが必要です)。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}\approx -q}$

したがって、元の 2 次元力学系の長期的な動作は、慣性多様体上の「より単純な」 1 次元力学 、つまり によって与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=ap-{\frac {1}{1+2a}}p^{3}}$

が動的システムの解を表すと します。解は、 内の発展ベクトルである場合もあれば、無限次元バナッハ空間内の発展関数である場合もあります。 ${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle H=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$

興味深い多くのケースでは、 の発展は、 たとえば初期値 を持つにおける微分方程式の解として決定されます 。いずれの場合も、すべての時間とすべての初期値 に対してとなるように、動的システムの解が半群演算子、または状態遷移行列で記述できると仮定します。状況によっては、マップのダイナミクスのように、時間の離散値のみを考慮する場合があります。 ${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {du}/{dt}=F(u(t))}$${\displaystyle u(0)=u_{0}}$${\displaystyle S:H\to H}$${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle u_{0}}$

動的半群の 慣性多様体^[1]は、 ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$有限次元である、
2. ${\displaystyle S(t){\mathcal {M}}\subset {\mathcal {M}}}$いつまでも 、${\displaystyle t\geq 0}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$すべての解を指数関数的に速く引き寄せます。つまり、すべての初期値に対して、 となる定数が存在します 。${\displaystyle u_{0}\in H}$${\displaystyle c_{j}>0}$${\displaystyle {\text{dist}}(S(t)u_{0},{\mathcal {M}})\leq c_{1}e^{-c_{2}t}}$

したがって、微分方程式を 慣性多様体に 制限すると、慣性システムと呼ばれる明確に定義された有限次元システムになります。^[1] 微妙に、多様体が魅力的であることと、多様体上の解が魅力的であることの間には違いがあります。それでも、適切な条件下では、慣性システムはいわゆる漸近完全性を備えています。^[3]つまり、微分方程式のすべての解には、 にあり、長時間にわたって同じ動作を生成する 対となる解があります 。数学では、すべて に対してが存在し 、となる ような時間シフトが存在する可能性があります 。 ${\displaystyle du/dt=F(u)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle v_{0}\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \tau \geq 0}$${\displaystyle {\text{dist}}(S(t)u_{0},S(t+\tau )v_{0})\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

2000年代の研究者は、このような慣性多様体を時間依存型（非自律型）および/または確率的力学系（例えば^{[4] [5]}） に一般化した。

証明された存在結果は、グラフとして表現可能な慣性多様体を扱っています。^[1] 支配的な微分方程式は、より具体的には、定義域 、非線形演算子 を持つ非有界自己随伴閉演算子 の 形式で書き直されます。通常、初等スペクトル理論は、順序付けられた固有値 に対して、固有ベクトル、 、で構成される の正規直交基底を与えます 。 ${\displaystyle du/dt+Au+f(u)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(A)\subset H}$${\displaystyle f:D(A)\to H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle Av_{j}=\lambda _{j}v_{j}}$${\displaystyle j=1,2,\ldots }$${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots }$

ある与えられた数 のモードに対して、は の が張る空間へ  の射影を表し 、 は が張る空間への直交射影を表します 。グラフ として表現される慣性多様体を探します 。このグラフが存在するための最も制限的な要件は、定数が システムに依存するスペクトルギャップ条件^[1]です。このスペクトルギャップ条件では、 のスペクトルには 存在が保証されるために大きなギャップが含まれていなければなりません。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle Q=IP}$${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$${\displaystyle \Phi :PH\to QH}$ ${\displaystyle \lambda _{m+1}-\lambda _{m}\geq c({\sqrt {\lambda _{m+1}}}+{\sqrt {\lambda _{m}}})}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$

慣性多様体の近似を構築するいくつかの方法が提案されており、^[1]いわゆる固有低次元多様体もその1つである。^{[6] [7]}

最も一般的な近似方法は、グラフの存在から得られます。 遅い変数、および「無限」の 速い変数を定義します。次に、微分方程式を と の両方に 投影して 、 結合システム と を 取得します。 ${\displaystyle m}$  ${\displaystyle p(t)=Pu(t)}$ ${\displaystyle q(t)=Qu(t)}$${\displaystyle du/dt+Au+f(u)=0}$${\displaystyle PH}$${\displaystyle QH}$${\displaystyle dp/dt+Ap+Pf(p+q)=0}$${\displaystyle dq/dt+Aq+Qf(p+q)=0}$

慣性多様体のグラフ上の軌道の場合 、高速変数 。微分して結合システムの形式を使用すると、グラフの微分方程式が得られます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle q(t)=\Phi (p(t))}$

${\displaystyle -{\frac {d\Phi }{dp}}\left[Ap+Pf(p+\Phi (p))\right]+A\Phi (p)+Qf(p+\Phi (p))=0.}$

この微分方程式は、通常、漸近展開で「小さい」範囲で近似的に解かれ 、不変多様体モデル^[8] または非線形ガラーキン法^[9]が得られます。 どちらもグローバル基底を使用するのに対し、いわゆる 全体論的離散化ではローカル基底を使用します。^[10] 慣性多様体の近似に対するこのようなアプローチは、中心多様体の近似と非常に密接に関連しており 、ユーザーが入力したシステムの近似を構築するためのWebサービスが存在します。^[11]${\displaystyle p}$

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