キックされたローテーター

キック回転子（キック回転子とも表記）は、ハミルトンカオス（ハミルトン系におけるカオスの研究）と量子カオスの両方の典型的なモデルである。これは、短いパルスで周期的にオンになる不均一な「重力のような」場の中で、（慣性モーメント を持つ）自由に回転する棒を記述する。このモデルは、ハミルトンによって記述される。${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\theta ,p_{\theta },t)={\frac {p_{\theta }^{2}}{2I}}+K\cos \theta \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)}$、

ここで、はスティックの角度位置（ は静止している回転子の位置に対応）、はの共役運動量、はキックの強さ、はキックの周期、はディラックのデルタ関数です。 ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ]}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle p_{\theta }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \textstyle \delta }$

キックされた回転体の運動方程式は次のように書けます。これらの方程式は、2 回の連続するキックの間では、回転体が自由に動くだけであることを示しています。つまり、運動量は保存され、角度位置は時間とともに線形に増加します。一方、各キックの間、運動量は突然 の量だけジャンプします。ここで、 はキックの近くの角度位置です。キックされた回転体のダイナミクスは、離散マップ^[1]で記述できます。ここで、および は、 - 番目のキックの直前の時刻 における標準座標です。通常は、無次元の運動量、時間、キックの強さを導入して、ダイナミクスをChirikov 標準マップと呼ばれる単一のパラメーター マップに簡略化する方が便利です。ただし、は標準マップのように周期的ではないことに注意してください。しかし、初期角度位置は同じだが無次元運動量がシフトし(任意の整数) 、2 つの回転子がまったく同じストロボ ダイナミクスを持ち、無次元運動量が任意の時点でシフトされることを直接確認できます(キックされた回転子のストロボ位相ポートレートが通常 1 つの運動量セルに表示されるのはこのためです)。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {p}{I}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta }}=K\sin \theta \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle KT\sin \theta }$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+KT\sin \theta _{n}\quad {\text{and}}\quad \theta _{n+1}=\theta _{n}+{\frac {T}{I}}p_{n+1}}$$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle t=nT^{-}}$${\displaystyle n}$${\textstyle p\rightarrow p/{\frac {I}{T}}}$${\textstyle t\rightarrow t/T}$${\textstyle K\rightarrow K/{\frac {I}{T^{2}}}}$$${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin \theta _{n}\quad {\text{and}}\quad \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}}$$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle p_{0}}$${\textstyle p_{0}+2\pi l}$${\displaystyle l}$${\textstyle 2\pi l}$${\textstyle p\in [-\pi ,\pi ]}$

キック回転子は、ハミルトン系、特にコルモゴロフ・アーノルド・モーザー定理における可積分性からカオスへの遷移を説明するために使用されるプロトタイプモデルです。 の極限では、系は回転子の自由運動を記述し、運動量は保存され（系は可積分）、対応する軌道は平面（位相空間）内の直線、つまりトーラスになります。 小さいがゼロではない摂動 の場合、不安定性とカオスが発生し始めます。準周期軌道（位相空間の不変トーラスによって表される）のみが安定を保ち、他の軌道は不安定になります。 が大きい場合、不変トーラスは最終的に摂動によって破壊されます。 の値 の場合、位相空間でと を接続する最後の不変トーラスが破壊されます。${\displaystyle K=0}$${\displaystyle (\theta ,p)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K=K_{c}\approx 0.971635\dots }$${\displaystyle \theta =-\pi }$${\displaystyle \theta =\pi }$

の場合、カオス的不安定軌道は運動量方向の不変トーラスによる制約を受けなくなり、完全な位相空間を探索できます。 の場合、各キック後の粒子は通常、大きな距離を移動し、次のキックの振幅と符号を大幅に変更します。十分に長い時間では、粒子は準ランダムな振幅を持つ一連のキックを受けることになります。この準ランダムウォークは、運動量方向の拡散プロセス（平均が異なる初期条件を通過する）の原因となります。 ${\displaystyle K>K_{c}}$${\displaystyle K\gg K_{c}}$${\displaystyle \langle (\Delta p_{n})^{2}\rangle =2D_{\text{cl}}n}$

より正確には、キック後、初期運動量を持つ粒子の運動量は^[2]と書きます （標準マップを 回反復して取得）。キックがランダムで時間的に相関がないと仮定すると、運動量分布の広がりは と書きます。運動量方向の古典的な拡散係数は、最初の近似で で与えられます。無視された相関項から来る補正は実際に考慮することができ、改善された式^[3]につながります。ここで は第 1 種の ベッセル関数です。${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle p_{0}}$${\textstyle p_{n}=p_{0}+K\sum _{i=0}^{n-1}\sin \theta _{i}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle =\left\langle {(p_{n}-p_{0})}^{2}\right\rangle =K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}\theta _{i}\right\rangle +K^{2}\sum _{i\neq j}^{}\left\langle \sin \theta _{i}\sin \theta _{j}\right\rangle \approx K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}\theta _{i}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n}$$${\textstyle D_{\text{cl}}={\frac {K^{2}}{4}}}$$${\displaystyle D_{\text{cl}}={\frac {K^{2}}{4}}[1-2J_{2}(K)+2J_{2}^{2}(K)]}$$${\textstyle J_{2}}$

量子キック回転子（波動関数）のダイナミクスは、時間依存のシュレーディンガー方程式によって支配される。${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =\left[{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2I}}+K\cos {\hat {\theta }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)\right]|\psi (t)\rangle }$

（または同等に） と。${\displaystyle [{\hat {\theta }},{\hat {p}}]=i\hbar }$${\textstyle \langle \theta |{\hat {p}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

古典力学に関しては、キック周期にわたる時間伝播関数（つまりフロケ演算子）を導入することによって、ストロボスコープの観点を採用することができ、 となる。時間依存シュレーディンガー方程式を注意深く積分すると、 は2 つの演算子 の積として表せることがわかる。我々は古典的な解釈を取り戻す。つまり、2 回のキック間の量子キック回転子の力学は、ある時間中の自由伝播の後に短いキックが続くというものである。フロケ演算子（運動量基底の対角演算子と角度位置基底の対角演算子の 2 つの演算子の積）のこの単純な表現により、分割ステップ法を使用して、与えられた波動関数の発展を数値的に簡単に解くことができる 。 ${\displaystyle {\hat {U}}}$${\displaystyle |\psi (t+T)\rangle ={\hat {U}}|\psi (t)\rangle }$${\displaystyle {\hat {U}}}$$${\displaystyle {\hat {U}}=\exp \left[-i{\frac {{\hat {p}}^{2}T}{2I\hbar }}\right]\exp \left[-i{\frac {KT}{\hbar }}\cos {\hat {\theta }}\right]}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\hat {U}}}$

における周期境界条件により、任意の波動関数は離散運動量基底（、整数）で展開することができる（ブロッホの定理を参照）。したがって、 ${\displaystyle \theta =\pm \pi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\textstyle |l\rangle }$${\displaystyle p=l\hbar }$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \langle \theta |\psi \rangle =\sum _{l=-\infty }^{\infty }\langle l|\psi \rangle \mathrm {e} ^{il\theta }\Leftrightarrow \langle l|\psi \rangle =\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}\langle \theta |\psi \rangle \mathrm {e} ^{-il\theta }}$

この関係を上記の式と用いると、再帰関係^[4]が求まります。ここで、は第一種 ベッセル関数です。${\displaystyle {\hat {U}}}$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-i)^{m-l}J_{m-l}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\langle m|\psi (t)\rangle }$$${\displaystyle \textstyle {J}_{n}}$

デモンストレーション

実際、次の式が得られるので、二重和のゼロでない項のみを保持して結果を回復できます。$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\langle l|{\hat {U}}|\psi (t)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\langle l|\exp \left(-i{\frac {KT\cos {\hat {\theta }}}{\hbar }}\right)|\psi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{-il\theta }\exp \left(-i{\frac {KT\cos {\hat {\theta }}}{\hbar }}\right)\langle \theta |\psi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{-il\theta }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\mathrm {e} ^{-in\theta }\sum _{m=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{im\theta }\langle m|\psi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\left[\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{i(m-l-n)\theta }\right]\langle m|\psi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right){\frac {\sin([m-l-n])\pi }{(m-l-n)\pi }}\langle m|\psi (t)\rangle }$$${\displaystyle m-l-n=0}$

量子キック回転子では古典的な拡散が抑制されることが発見されている[ ^{1] 。後に[5] [6] [7] [8]}、これはアンダーソン局在と並行する量子動的局在効果の現れであると理解された。拡散挙動のブレークタイムの次の推定につながる 一般的な議論がある^{[9] [10]。}

${\displaystyle t^{*}\ \approx \ D_{cl}/\hbar ^{2}}$

ここで、は古典的な拡散係数です。したがって、運動量における関連する局在スケールは です。 ${\displaystyle D_{cl}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {D_{cl}t^{*}}}}$

量子キックローターは、実際には、格子サイト状態 を持つ無秩序格子内の電子を記述する有名なハミルトニアンであるアンダーソンタイトバインディングモデルに形式的に関連付けることができます。ここで、アンダーソン局在化が（1次元で）発生し、 はランダムなオンサイトエネルギー、 はサイトと間のホッピング振幅です。 ${\displaystyle |n\rangle }$$${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n}\varepsilon _{n}|n\rangle \langle n|+\sum _{n\neq m}t_{n-m}|n\rangle \langle m|}$$${\displaystyle \varepsilon _{n}}$${\displaystyle t_{n-m}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

量子キック回転子では、量子化された運動量を持つ平面波が格子サイト状態の役割を果たすことが示されています^[11] 。アンダーソンタイトバインディングモデルへの完全なマッピングは次のようになります（準エネルギーを持つフロケ演算子の与えられた固有状態に対して）。量子キック回転子の動的局在は、実際には運動量基底で発生します。 ${\displaystyle |p\rangle }$${\displaystyle p=n\hbar }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle t_{n}=-\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}\tan[K\cos(x)/2]\mathrm {e} ^{-ixn}\quad {\text{and}}\quad \varepsilon _{n}=\tan(\omega /2-n^{2}/4)}$$

システムにノイズが加わると、動的局在は破壊され、拡散が誘発される。^{[12] [13] [14]} これはホッピングコンダクタンスに多少似ている。適切な分析には、局在効果の原因となる動的相関がどのように減少するかを把握する必要がある。

拡散係数は であることを思い出してください。なぜなら、運動量の変化は準ランダムキックの合計だからです。 の正確な式は、相関関数の「面積」、つまり合計を計算することによって得られます。 に注意してください。同じ計算方法は、量子力学の場合にも当てはまり、ノイズが追加された場合にも当てはまります。 ${\displaystyle D_{cl}\approx K^{2}/2}$${\displaystyle (p(t)-p(0))}$${\displaystyle K\sin(x(n))}$${\displaystyle D_{cl}}$${\displaystyle C(n)=\langle \sin(x(n))\sin(x(0))\rangle }$${\displaystyle D=K^{2}\sum C(n)}$${\displaystyle C(0)=1/2}$

量子の場合、ノイズがなければ、下の面積はゼロになります（長い負の裾のため）。一方、ノイズがある場合、実用的な近似では、コヒーレンス時間はノイズの強度に反比例します。したがって、ノイズによって生じる拡散係数は、 ${\displaystyle C(n)}$${\displaystyle C(n)\mapsto C(n)e^{-t/t_{c}}}$${\displaystyle t_{c}}$

${\displaystyle D\approx D_{cl}t^{*}/t_{c}\quad [{\text{assuming }}t_{c}\gg t^{*}]}$

また、散逸を伴う量子キック回転子の問題（熱浴との結合による）も検討されている。ここでは、位置座標の角度周期性を尊重し、空間的に均一な相互作用をどのように導入するかという問題がある。最初の研究 ^{[15] [16]}では、運動量依存の結合を含む量子光学型相互作用が想定されていた。その後^{[17]、カルデリア・レゲットモデルのように、純粋に位置依存の結合を定式化する方法を見つけ出したが、これは}DLDモデルの初期バージョンとみなすことができる。 ${\displaystyle x}$

量子キック回転子の最初の実験的実現は、 1995年にマーク・G・ライゼンのグループ^{[18] [19]}によって達成され、その後オークランドのグループ^[20]がそれに続き、理論的分析への新たな関心を促しました。この種の実験では、磁気光学トラップによって提供された冷たい原子のサンプルが光のパルス定在波と相互作用します。原子遷移に関して光がデチューンされているため、原子は空間周期的な保存力を受けます。したがって、実験的アプローチでは、角度依存性が位置依存性に置き換えられます。量子効果を得るには、サブミリケルビンの冷却が必要です。ハイゼンベルクの不確定性原理により、ド・ブロイ波長、つまり原子波長は、光波長に匹敵する可能性があります。詳細については、^[21]を参照してください。 この技術のおかげで、次のような注目すべき現象を含むいくつかの現象が調査されました。

• 量子ラチェット^[22]
• 3Dにおけるアンダーソン遷移^[23]

• 円形マップ

• Scholarpedia のエントリ