無意味なトポロジー

数学において、ポイントレストポロジー（ポイントフリートポロジー、またはポイントフリートポロジー、あるいはポイントとロケール理論のないトポロジーとも呼ばれる）は、開集合の格子が原始概念であり、点の部分集合から構成される必要がないトポロジーへのアプローチである。^{[ 1 ]}このアプローチでは、純粋に代数的なデータからトポロジー的に興味深い空間を構築することが可能になる。^{[ 2 ]}この場合、点は原始概念ではなく派生概念であり、点を持たない非自明な空間が存在する。

位相幾何学への最初のアプローチは幾何学的で、ユークリッド空間から出発して様々なものをつなぎ合わせていくものでした。しかし、 1930年代のマーシャル・ストーンによるストーン双対性に関する研究は、位相幾何学が代数的観点（格子理論）から見ることができることを示しました。カール・メンガーはこの分野の初期の先駆者であり、点のない位相幾何学に関する彼の研究は、ホワイトヘッドの点のない幾何学に触発されたもので、平面の縮小領域を使用して点をシミュレートしました。^{[ 3 ]}

ストーン以外にも、ヘンリー・ウォールマンもこのアイデアを活用した。他の人々もこの道を歩み続け、 1950年代後半にシャルル・エレスマンとその弟子ジャン・ベナブー（および同時期に他の者たち）が大きな一歩を踏み出した。彼らの洞察は「位相的」および「微分可能」なカテゴリーの研究から生まれた。^{[ 2 ]}

エレスマンのアプローチは、分配法則を満たす完備束を対象とし、有限な交わりと任意の結合を保存する写像を射とする圏を用いるものであった。彼はそのような束を「局所束」と呼んだが、今日では束論における他の概念との曖昧さを避けるために「フレーム」と呼ばれている。^{[ 4 ]}

現代的な意味でのフレームとロケールの理論は、その後数十年にわたり（ジョン・イズベル、ピーター・ジョンストン、ハロルド・シモンズ、ベルンハルト・バナシェフスキ、アレシュ・プルトル、ティル・プレヴェ、ヤピー・フェルミューレン、スティーブ・ヴィッカーズ）発展し、トポロジーの活発な分野となり、さまざまな分野、特に理論計算機科学にも応用されている。ロケール理論の歴史については、ジョンストンの概要を参照のこと。^{[ 5 ]}

従来、位相空間は点の集合と位相、すなわち開集合と呼ばれる部分集合のシステムから構成され、和集合（結合）と交差集合（ 交わり）の操作によって 特定の性質を持つ格子を形成します。具体的には、任意の開集合族の和集合は再び開集合となり、有限個の開集合の交差集合も再び開集合となります。点のない位相では、格子の要素が何らかの基礎空間の点の集合であることや、格子の操作が交差集合と和集合であることを要求せずに、これらの格子の性質を基本とします。むしろ、点のない位相は、広がりを持たない点ではなく、「現実的なスポット」の概念に基づいています。これらの「スポット」は結合（記号）することができます。${\displaystyle \vee }$）組合に似ており、スポットのミーティング操作もあります（シンボル${\displaystyle \land }$）は、交差に似ています。これら2つの操作を用いることで、スポットは完全な格子を形成します。スポットが他のスポットの結合点と交わる場合、そのスポットは構成要素の一部と交わる必要があり、これは大まかに言えば分配法則につながります。

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

どこで${\displaystyle a_{i}}$そして${\displaystyle b}$スポットとインデックスファミリー${\displaystyle I}$は任意に大きくすることができる。この分配法則は、位相空間の開集合の束によっても満たされる。

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は、開集合の格子を持つ位相空間であり、${\displaystyle \Omega (X)}$そして${\displaystyle \Omega (Y)}$それぞれ、${\displaystyle f\colon X\to Y}$が連続写像である場合、連続写像による開集合の逆像は開集合であるため、反対方向の格子写像が得られます。${\displaystyle f^{*}\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$このように「反対方向」の格子写像は、点のない設定における連続写像の適切な一般化として機能する。

基本的な概念は、一般的な分配法則を満たす完全な格子であるフレームである。

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

フレーム準同型写像は、フレーム間の写像であり、すべての結合（特に、格子の最小要素）と有限の交点（特に、格子の最大要素）を尊重します。フレームは、フレーム準同型写像とともに、圏を形成します。

フレームのカテゴリの反対のカテゴリは、ロケールのカテゴリとして知られています。ロケール${\displaystyle X}$したがって、これは単なるフレームです。これをフレームとして考えると、次のように書きます。${\displaystyle O(X)}$局所射${\displaystyle X\to Y}$地域から${\displaystyle X}$その場所へ${\displaystyle Y}$フレーム準同型によって与えられる${\displaystyle O(Y)\to O(X)}$。

すべての位相空間${\displaystyle T}$フレームを生み出す${\displaystyle \Omega (T)}$開集合の集合であり、したがってロケールである。ロケールが空間的であるというのは、この方法で位相空間から生じるロケールと（ロケールの圏において）同型である場合である。

• 前述のように、すべての位相空間${\displaystyle T}$フレームを生み出す${\displaystyle \Omega (T)}$開集合の集合であり、したがって定義上、空間的な場所である。
• 位相空間が与えられた場合${\displaystyle T}$また、その正則開集合の集合も考えることができます。これは、和集合の閉包の内部を結合し、交差部と交わるフレームです。したがって、に関連付けられた別の局所が得られます。${\displaystyle T}$このロケールは通常、空間的なものではありません。
• 各${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$そしてそれぞれ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$記号を使用する${\displaystyle U_{n,a}}$そして、これらの記号に基づいて、関係式を法として自由フレームを構築する。

$\displaystyle \bigvee _{a\in \mathbb {R} }U_{n,a}=\top \ {\text{すべての }}n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle U_{n,a}\land U_{n,b}=\bot \ {\text{すべての }}n\in \mathbb {N} {\text{およびすべての }}a,b\in \mathbb {R} {\text{で }}a\neq b} に対して}$

$\displaystyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }U_{n,a}=\top \ {\text{すべての }}a\in \mathbb {R} について}$

（どこ${\displaystyle \top }$最大の要素を表し、${\displaystyle \bot }$（フレームの最小要素。）結果として得られるロケールは「全射関数のロケール」として知られています。$\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$「。これらの関係は、${\displaystyle U_{n,a}}$それらすべての全射関数の集合として${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$と${\displaystyle f(n)=a}$もちろん、そのような全射関数は存在しない。$\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$、これは空間的な場所ではありません。

ファンクターがあることがわかった${\displaystyle \Omega }$位相空間と連続写像の圏からロケールの圏への関手です。この関手を完全な部分圏であるソバー空間に限定すると、ソバー空間と連続写像の圏からロケールの圏への完全な埋め込みが得られます。この意味で、ロケールはソバー空間の一般化です。

点集合トポロジーのほとんどの概念をロケールの文脈に翻訳し、類似の定理を証明することが可能です。選択原理に依存する古典トポロジーの重要な事実のいくつかは選択フリーになります（つまり、構成的になります。これは特にコンピュータサイエンスにとって魅力的です）。したがって、たとえば、コンパクトロケールの任意の積は構成的にコンパクトになります（これは点集合トポロジーにおけるチホノフの定理です）、または一様ロケールの完備化は構成的です。これは、選択公理を持たないトポスで作業する場合に役立ちます。 ^{[ 6 ]}その他の利点としては、パラコンパクト性の挙動がはるかに優れていること、パラコンパクトロケールの任意の積はパラコンパクトになりますが、これはパラコンパクト空間では真ではありません、またはロケーリック群の部分群は常に閉じているという事実があります。

トポロジーとロケール理論が大きく異なるもう1つの点は、部分空間と部分ロケールの概念、および密度です。ロケールの任意の密な部分ロケールの集合が与えられた場合、${\displaystyle X}$それらの交差部分も密集している${\displaystyle X}$[ ^{7 ]}これにより、イスベルの密度定理が導かれる。すなわち、すべての局所に^は最小の密な部分局所が存在する。これらの結果は、位相空間の領域には同等のものは存在しない。

• ハイティング代数。フレームは、完全ハイティング代数と同じであることが判明する（ただし、フレーム準同型写像はハイティング代数準同型写像である必要はない）。
• 完全ブール代数。完全ブール代数はフレームである（それが空間フレームであるのは、それが原子である場合に限る）。
• 位相空間のカテゴリーとロケールのカテゴリーの関係、特にソバー空間と空間ロケールの等価性の明示的な構成については、ストーン双対性に関する記事を参照してください。
• ホワイトヘッドの点のない幾何学。
• 部分トポロジー。