量子計算

量子計算は、極限のない計算とも呼ばれ、極限の概念のない従来の無限小計算と同等です。量子計算の 2 種類の計算は、 q計算とh計算です。どちらの種類の計算も、数学的オブジェクトの「類似物」を見つけることが目的です。特定の極限をとった後、元のオブジェクトが返されます。q計算では、 q が1 に近づく極限は、 q類似物から取られます。同様に、h計算では、h が 0 に近づく極限は、h類似物から取られます。パラメータとは次の式で関連付けることができます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle h}$${\displaystyle q=e^{h}}$

q微分とh微分は次のように定義されます。

${\displaystyle d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)}$

そして

${\displaystyle d_{h}(f(x))=f(x+h)-f(x)}$、

それぞれq微分とh微分は次のように定義される 。

${\displaystyle D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}}$

そして

${\displaystyle D_{h}(f(x))={\frac {d_{h}(f(x))}{d_{h}(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

それぞれq微分または h 微分としての極限を取ることで、導関数を得ることができます。 ${\displaystyle q\rightarrow 1}$${\displaystyle h\rightarrow 0}$

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}D_{q}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}D_{h}f(x)={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}}$

関数F ( x ) がf ( x )の q 積分であるとは、 D _q F ( x ) =  f ( x ) が成り立つ場合です。q 積分 (または q 積分) は で表され、 F ( x )の式はで求められます。これはf ( x )のジャクソン積分と呼ばれます。0 < q < 1の場合、| f ( x ) x ^α | が区間 (0, A ] で有界となる ( 0 ≤ α < 1 の場合)場合、この級数は区間(0, A ]で関数F ( x ) に収束します。 ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x}$${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x=(1-q)\sum _{j=0}^{\infty }xq^{j}f(xq^{j})}$

q 積分は、点q jで無限に増加するステップ関数に関するリーマン・スティルチェス積分です^。点q ^jでのジャンプはq ^jです。このステップ関数をg _q ( t )と呼ぶと、 dg _q ( t ) = d _q tとなります。^[1]

関数F ( x ) がf ( x )の h 不定積分であるとは、 D _h F ( x ) =  f ( x ) の場合です。h 積分は で表されます。aとb がhの整数倍異なる場合、定積分は、区間[ a , b ]を等しい幅hの部分区間に分割した上での f ( x )のリーマン和で与えられます。h 積分の目的は、f(x) のリーマン和にあります。古典積分の目的の考え方に従うと、古典積分のいくつかの特性は h 積分でも当てはまります。この概念は、数値解析、特に差分計算に幅広く応用されています。 ${\textstyle \int f(x)\,d_{h}x}$${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,d_{h}x}$

微分積分学では、関数の導関数は（ある正の整数 に対して）となる。q計算とh計算 における対応する式は次のようになる。${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle nx^{n-1}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle D_{q}(x^{n})={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}\ x^{n-1}}$

q括弧はどこにありますか${\displaystyle [n]_{q}}$

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{h}(x^{n})&={\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&={\frac {1}{h}}\left(\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}-x^{n}}\right)\\&={\frac {1}{h}}\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k-1}}\\&=nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}hx^{n-2}+\cdots +nh^{n-2}x+h^{n-1},\end{aligned}}}$

それぞれです。この式はq類似体であり、 は正の整数乗のべき乗則のh類似体です。q-テイラー展開により、正弦関数など、通常の関数のすべてに対するq類似体の定義が可能になり、そのq導関数は余弦関数のq類似体になります。 ${\displaystyle [n]_{q}x^{n-1}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k-1}}}$

h計算は差分計算であり、ジョージ・ブールらによって研究され、組合せ論や流体力学で有用であることが証明されています。ある意味では、q計算はレオンハルト・オイラーやカール・グスタフ・ヤコビにまで遡りますが、可換関係やリー代数、特に量子群との密接な関係から、量子力学で有用性が見出され始めたのはごく最近のことです。

• 非可換幾何学
• 量子微分積分
• 時間スケール計算
• q-アナログ
• 基本的な超幾何級数
• 量子二重対数

• ジョージ・ガスパー、ミザン・ラーマン、『Basic Hypergeometric Series』、第 2 版、ケンブリッジ大学出版局 (2004)、ISBN 978-0-511-52625-1、doi :10.1017/CBO9780511526251 

• ジャクソン、FH (1908)。「q関数と特定の差分演算子について」。エディンバラ王立協会紀要。46 (2): 253– 281。doi :10.1017/S0080456800002751。S2CID 123927312  。
• エクストン、H. (1983)。q-超幾何関数とその応用。ニューヨーク：ハルステッド・プレス。ISBN 0-85312-491-4。
• Kac, Victor ; Cheung, Pokman (2002).量子計算. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8。